Aria poligoanelor studiate

Dupa cum bine stiti pana acum am discutat despre aria triunghiului, unde am invatat formlula de baza pentru un triunghi oarecare, dar si aria paralelogramului, aria dreptunghiului, aria rombului si aria patratului.
Astazi o sa discutam despre Aria poligoanelor studiate.
Incepem prin a defini o noua formula pentru aria triunghiului, nu de mult am invatat si functiile trigonometrice, din acest motiv acesta formula are legatura cu notiunile trigonometrice.
Astfel aria triunghiului se poate calcula cu formulele:
cum calculam aria unui triunghi oarecare
A_{\Delta ABC}=\frac{baza\cdot h}{2}=\frac{BC\cdot AA'}{2}
Deci aria triunghiului este egala cu semiprodusul dintre baza si inaltimea corespunzatoare bazei.

Dar mai exista si alta formula pentru aria unui triunghi, astfel daca stim intr-un triunghi oarecare doua laturi si unghiul format de cele doua laturi aplicam formula:
A_{\Delta ABC}=\frac{AB\cdot AC\cdot \sin BAC}{2}=\frac{a\cdot b\cdot \sin A}{2}
Sau
A_{\Delta ABC}=\frac{AB\cdot BC\cdot \sin ABC}{2}=\frac{a\cdot c\cdot \sin B}{2}
Sau
A_{\Delta ABC}=\frac{AC\cdot BC\cdot \sin BCA}{2}=\frac{c\cdot b\cdot \sin A}{2}
Daca un triunghi ABC este dreptunghic aplicam formula
A_{\Delta ABC}=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{2}, unde c_{1}, c_{2} sunt catetele triunghiului dreptunghic.

Daca triunghiul ABC este echilateral aplicam formula A_{\Delta ABC}=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}, unde l este latura triunghiului.
Problema:
1) Fie ABC un triunghi isocel de baza BC=16 cm si inaltimea AD=6 cm. Calculati suma lungilor inaltimilor triunghiului.
Demonstratie:

Triunghiul ABC este isoscel de baza BC, cum stim baza, dar si inaltimea, putem afla lungimea segmentelor BD si DC, deoarece conform proprietatilor pentru triunghiul isocel, mediana, mediatoarea, bisectoarea si inaltimea corespunzatoare bazei coincid, deci AD este si mediana si astfel gasim ca

BD=DC=\frac{BC}{2}=\frac{16}{2}=8 cm

Acum in triunghiul ABD putem aplica Teorema lui Pitagora, astfel avem:
AB^{2}=BD^{2}+DA^{2}\Rightarrow AB^{2}=8^{2}+6^{2}\Rightarrow AB^{2}=6+4+36\Rightarrow AB=\sqrt{100}=10 cm
Cum AB=10 cm, gasim si ca AC=10 cm.
Acum sa aflam lungimea inaltimii BE, dusa din varful unghiului B pe latura opusa AC, astfel daca aflam aria triunghiului ABC de baza BC, gasim ca:
A_{\Delta BAC}=\frac{BC\cdot AD}{2}=\frac{16\cdot 6}{2}=\frac{8\cdot 6}{1}=48 cm^{2}
Acum daca calculam aria triunghiului ABC de baza AC gasim ca:
A_{\Delta ABC}=\frac{AC\cdot BE}{2}=\frac{10\cdot BE}{2}=5\cdot BE
Acum daca egalam cele doua arii care le-am gasit obtinem ca:
A_{\Delta BAC}=A_{\Delta ABC}\Rightarrow 48=5\cdot BE\Rightarrow BE=48:5\Rightarrow BE=9,6

Acum daca calculam lungimea inaltimii CF, la fel ca mai sus, gasim ca CF=9,6 cm
Astfel suma lungimi inaltimilor triunghiului este
6+9,6+9,6=25,2 cm
aria triunghiului isoscel
2) Fie ABCD un trapez dreptunghic cu m\left(\widehat{A}\right)=m\left(\widehat{D}\right)=90^{0}, AB=8 cm, BC=5 cm si CD=12 cm
Calculati aria trapezului

Demonstratie:
Ca sa aflam aria trapezului trebuie sa aflam inaltimea tapezului, astfel construim perpendiculara din B pe CD, astfel incat AD=BE, mai stim si ca AB=BE=8 cm, deci putem afla CE=CD-BE=12-8=4 cm
Deci in triunghiul dreptunghic BEC aplicam Teorema lui Pitagora
BE^{2}=BC^{2}-CE^{2}\Rightarrow BE^{2}=25-16\Rightarrow BE=\sqrt{9}=3 cm
Deci inaltimea trapezului este de 3 cm

Acum sa aflam aria trapezului
A_{\Delta ABCD}=\frac{\left(B+b\right)\cdot h_{trapez}}{2}=\frac{\left(AB+CD\right)\cdot AD}{2}=\frac{\left(8+12\right)\cdot 3}{2}=\frac{20\cdot 3}{2}=\frac{60}{2}=30\;\;cm^{2}
cum calculam aria trapezului dreptunghic?

Aria paralelogramului Aria dreptunghiului Aria rombului Aria patratului Aria trapezului

Dupa ce am invatat despre aria unui triunghi, dar si aria triunghiului dreptunghic, acum o sa discutam despre ariile patrulaterelor. Dupa cum stiti patrulaterele pe care le-am invatat sunt: paralelogramul, dreptunghiul, rombul, patratul, dar si trapezul.

Astfel:

Aria unui paralelogram este egala cu produsul dintre lungimea unei laturi si lungimea inaltimii corespunzatoare ei.

Matematic scriem A_{paralelogram}=b\cdot h, unde b este baza, h este inaltimea corespunzatoare bazei.

Cum aflam aria unui paralelogram
Exemplu:
1) Un paralelogram ABCD, AC perpendicular pe AB si AC=24 cm, iar AB=18 cm.
a) Calculati aria paralelogramului ABCD
b) Stiind ca BC=30 cm calculati inaltimea paralelogramului dusa la latura BC

Dem:
aria unui paralelogram
Triunghiul ABC dreptunghic aplicam formula pentru aria triunghiului dreptunghic
A_{\Delta ABC}=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{2}=\frac{24\cdot 18}{2}=\frac{432}{2}=216 cm^{2}

Triunghiul ABC este congruent cu triunghiul ADC dupa cum bine observati, deci aria paralelogramului este:
A_{ABCD}=2\cdot A_{\Delta ABC}=2\cdot 216=432 cm^{2}.

b)
cum aflam inaltimea intr-un paralelogram daca stim baza si aria paralelogramului
Stiind aria paralelogramului de baza DC, aplicam aria paralelogramului cand BC este baza, deci obtinem: 432 cm^{2}=30 cm\cdot AF\Rightarrow AF=432:30=14,4 cm.

Def: Aria unui dreptunghi este egala cu produsul dintre lungime si latime.
cum calculam aria unui dreptunghi
A_{dreptunghi}=L\cdot l
Exemplu:

2) Calculati aria unui dreptunghi cu semiperimetru de 60 cm si latimea un sfert din lungime.
Solutie: p_{ABCD}=60 cm\Rightarrow P_{ABCD}=120 cm, unde p=semiperimetru si P=perimetru
l=\frac{1}{4}\cdot L
Deci obtinem: 2\left(L+l\right)=120 cm\Rightarrow L+l=60 cm\Rightarrow L+\frac{1}{4}\cdot L=60 cm\Rightarrow L\left(\frac{4+1}{4}\right)=60 cm\Rightarrow L\cdot \frac{5}{4}=60 cm\Rightarrow L=\frac{60\cdot 4}{5}\Rightarrow L=48 cm, iar latimea l=\frac{1}{4}\cdot 48\Rightarrow l=12 cm.

Deci aria dreptunghiului A_{ABCD}=l\cdot l=48\cdot 12=576 cm^{2}.

Aria rombului

Def: Aria rombului este egala cu semiprodusul celor doua diagonale.
A_{romb}=\frac{d_{1}\cdot d_{2}}{2}.

Exemplu:
3) Un romb are diagonalele de 18 cm si 2,4 dm si latura egala cu 15 cm. Calculati:
a) aria rombului
b) inaltimea rombului

Solutie
Ca sa aflam aria rombului aplicam formula de mai sus astfel, dar mai intai transformam decimetri in centimetri astfel obtinem 2,4 dm=24 cm :
A_{romb}=\frac{24\cdot 18}{2}=\frac{432}{2}=216 cm^{2}
b)
cum calculam aria rombului
Cum stim ca rombul este un caz particular de paralelogram aplicam formula urmatoare pentru a afla inaltimea A_{ABCD}=b\cdot h=DC\cdot AT=15 \cdot AT
Cum aria rombului este 216 cm egalam si obtinem:
216 cm^{2}=15 cm\cdot AT\Rightarrow AT=216:15=14,4 cm

Aria patratului
Def: Aria unui patrat este egala cu patratul lungimii laturii sale l.
A_{patrat}=l^{2}

Exemplu:
4) Daca aria unui patrat are perimetrul egal cu 48 cm atunci aria patrartului este:
Dupa cum stiti ca perimetrul unui patratului este 4l obtinem
4l=48 cm\Rightarrow l=48:4\Rightarrow l=12 cm
Si astfel A_{patrat}=l^{2}=12^{2}=144 cm^{2}.
cum aflam aria unui patrat
Aria trapezului
Def: Aria unui trapez este egala cu semiprodusul dintre suma lungimilor bazelor si lungimea inaltimii h a trapezului.

Obs: Inaltimea intr-un trapez este distanta dintre dreptele ce contin bazele.
A_{trapez}=\frac{\left(B+b\right)\cdot h}{2}, unde
B este baza mare, b= este baza mica si h este inaltimea.
Exemplu:
5) Trapezul dreptunghic ABCD are AB|| CD m\left(\prec D\right)=m\left(\prec A\right)=90^{0} si m\left(\prec B\right)=45^{0}. Stiind ca CD=10 cm si AB=2CD, aflati:
a) inaltimea trapezului
b) aria trapezului

Solutie:

AB=2CD=2\cdot 10=20 cm

 

cum calculam aria unui trapez
AB=AE+EB\Rightarrow 20=10+EB\Rightarrow EB=20 cm-10 cm\Rightarrow EB=10 cm

Observam ca masura unghiului ABC este de 45 de grade, observam ca am construit si perpendiculara CE pe dreapta AB, observam ca masura unghiului CEB este de 90 de grade si astfel obtinem m\left(\prec EBC\right)+m\left(\prec ECB\right)+m\left(\prec CEB\right)=180^{0}

Cum m\left(\prec CEB\right)=90^{0},m\left(\prec EBC\right)=45^{0} obtinem: 45^{0}+m\left(\prec ECB\right)+90^{0}=180^{0}\Rightarrow 135^{0}+m\left(\prec ECB\right)=180^{0}\Rightarrow m\left(\prec ECB\right)=180^{0}-135^{0}\Rightarrow m\left(\prec ECB\right)=45^{0}, deci triunghiul CEB dreptunghi isoscel si astfel obtinem ca EB=EC=10 cm, deci am aflat inaltimea trapezului care este de 10 cm (stiti ca daca un triunghi are unghiurile alaturate bazei congruente atunci triunghiul este isoscel si daca mai are si un unghi de 90 de grade se numeste triunghi dreptunghic isoscel).

b) Acum stiind si baza mare, dar si baza mica, dar si inaltimea putem aplica formula pentru aria trapezului A_{ABCD}=\frac{\left(AB+DC\right)\cdot CE}{2}=\frac{\left(20+10\right)\cdot 10}{2}=\frac{30\cdot 10}{2}=\frac{300}{2}=150 cm^{2}.

Deci e important la ariile patrulaterelor sa stim formulele, dar si elementele componente ale figurilor care le-am studiat.