Subiecte posibile Evaluarea Nationala Matematica

Subiectul I.

1.  Rezultatul calcului \left(\frac{1}{3}\right)^{2}:\left(0,25-\frac{1}{6}\right)-\frac{1}{3} este…..

2. Dintre numerele \frac{1}{\sqrt{3}} si \frac{1}{2} mai mare este…….

3. Dupa o ieftinire cu 20%, un costum de 1200 de lei va costa ….

4. Un dreptunghi are latimea egala cu un sfert din lungime si perimetrul de 20 cm. Aria dreptunghiului este de….

5. Un tetraedru regulat are muchia de 2 cm. Aria sa totala este de……

6. Sinusul unghiului format de o diagonala a unui cub cu una dintre fetele sale este… .

Solutie:

1. Pentru a afla rezultatul calculului mai intai efectuam operatiile:

\left(\frac{1}{3}\right)^{2}:\left(0,25-\frac{1}{6}\right)-\frac{1}{3}=\frac{1^{2}}{3^{2}}:\left(\frac{25}{100}^{(25}-\frac{1}{6}\right)-\frac{1}{3}=\frac{1}{9}:\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{6}\right)-\frac{1}{3}=\frac{1}{9}:\left(\frac{3\cdot 1-2\cdot 1}{12}\right)-\frac{1}{3}=\frac{1}{9}:\left(\frac{3-2}{12}\right)-\frac{1}{3}=\frac{1}{9}:\frac{1}{12}-\frac{1}{3}=\frac{1}{9}\cdot\frac{12}{1}-\frac{1}{3}=\frac{12}{9}^{(3}-\frac{1}{3}=\frac{4}{3}-\frac{1}{3}=\frac{4-1}{3}=\frac{3}{3}^{(3}=1

Observati ca la exercitiul de mai sus mai intai am efectuat ridicarea la putere a fractiei cu un numar natural, adica am folosit regulile de calcul cu puteri, apoi in parateza rotunda am transformat fractia zecimala in fractie ordinara  si am simplificat unde s-a putut. Apoi in paranteza rotunda am efectuat calculele, adica am adus la acelasi numitor, iar cu  rezultatul obtinut din paranteza rotunda am efectuat impartirea, adica am inmultit prima fractie cu inversul celei de-a doua, am efectuat inmultire, eventual am simplificat, iar apoi am efectuat calculele intre cele doua fractii ordinare, iar rezultatul obtinut este 1.

2.  Acum sa vedem cum comparam cele doua numere, observati ca avem doua fractii ordinare, dar la prima apare si radicalul, astfel prima fractie o putem scrie:

\frac{1}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{1}{3}}

Iar cea de-a doua:

\frac{1}{2}=\frac{1}{\sqrt{4}}=\sqrt{\frac{1}{4}}

Astfel avem numerele

\sqrt{\frac{1}{3}} si \sqrt{\frac{1}{4}}

Dar observam ca numarul

\frac{1}{3}>\frac{1}{4}

Deci

\frac{1}{\sqrt{3}}>\frac{1}{2}

Sau mai putem sa comparam si astfel

\frac{1}{\sqrt{3}}

Iar cel de-al doilea numar il scriem:

\frac{1}{2}=\frac{1}{\sqrt{4}}

Astfel observam ca

\sqrt{3}<\sqrt{4}

Iar

\frac{1}{\sqrt{3}}>\frac{1}{\sqrt{4}} (acest lucru rezulta din compararea fractiilor ordinare).

3. Stim ca ieftinirea este de 20%, astfel calculam:

\frac{20}{100}\cdot 1200=\frac{24000}{100}^{(100}=\frac{240}{1}=240

Deci costumul s-a ieftinit cu 240 lei, astfel costumul va cost:

1200-240=960\;\;lei

Deci costumul va costa 960 lei

4. Scriem notiunile prezentate sub forma algebrica, astfel avem ca:

l=\frac{1}{4}\cdot L (latimea este egala cu un sfert din lungime) sau mai putem sa scriem si sub forma de fractie zecimala, astfel avem:

l=0,25\cdot L

Dar mai stim si ca perimetrul este de 20 cm

Stim ca perimetrul unui dreptunghi este:

P_{dreptunghi}=2L+2l=2\left(L+l\right)

dar stim ca perimetrul este de 20 cm, astfel obtinem:

2\left(L+l\right)=20|:2\Rightarrow L+l=10

Dar stim ca latimea este un sfert din lungime si daca inlocuim mai sus obtinem:

L+0,25L=10\Rightarrow 1,25L=10\Rightarrow L=10:1,25\Rightarrow L=1000:125\Rightarrow L=8

Deci lungimea este de 8 cm, iar latimea

l=0,25\cdot 8=2

Deci latimea este de 2 cm, astfel aria dreptunghiului este

A_{dreptunghi}=L\cdot l=8\cdot 2=16\;\; cm^{2}

5. Cum aflam aria tetraedrului regumat?

Pai in cel mai bun caz trebuie sa stim formula pe care am invatat-o la clasa,adica

A_{totala}=l^{2}\sqrt{3}=2^{2}\sqrt{3}=4\sqrt{3}=4\sqrt{3}\;\; cm^{2}

Dar daca nu stim formula putem sa o deducel foarte usor, astfel stim ca tetraedrul regulat are toate fetele triunghiuri echilaterale. Noi stim ca aria totala a unei piramide regulate este egala cu

A_{totala}=A_{l}+A_{b}

Iar in cazul nostru stim ca aria unui triunghi echilateral este:

A_{\Delta ABC}=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}

Mai stim si ca tetraedrul regulat are 3 fete laterale, adica trei triunghiuri echilaterale, iar aria bazei tot un triunghi echilateral, astfel avem ca

=3\cdot \frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}+\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{3l^{2}\sqrt{3}+l^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{4l^{2}\sqrt{3}}{4}=l^{2}\sqrt{3}

Deci aria totala a unui tetraedru regulat este formata din 4 triunghiuri echilaterale.

6. Acum sa vede cu aflam sinusul unghiului format de o diagonala a unui cub si una dintre fetele sale

Astfel consideram ca avem cubul ABCDA’B’C’D’

sinusul unghiului formata de o dreapta cu un plan

 

 

 

\sin\widehat{ AC^{'},\left(BCB'C'\right)}=    \sin\widehat{AC^{'},\left(AC\right)}=\sin\widehat{AC^{'},AC}=\sin\widehat{C^{'}AC}=\frac{CC^{'}}{AC^{'}}=\frac{l}{l\sqrt{3}}^{(l}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.

 

 

 

 

Cubul Aria totala Aria laterala si Volumul unui cub

Dupa cum bine stiti am inceput prin a calcula Aria totala Aria laterala si Volumul pe cazul general al unei prisme drepte, apoi am inceput cu cu cazul particular, adica am calculat Aria laterala Aria totala si  Volumul paralelipipedului dreptunghic. Acum a venit vremea sa discutam despre Cub. Dar si sa aflam Aria laterala, Aria totala si Volumul unui cub.

Astfel astazi discutam despre Cubul ,Aria totala, Aria laterala si Volumul unui cub .

Cubul este un paralelipiped dreptunghic cu toate dimensiunile egale (L=l=h). In cazul unui cub avem:

A_{l}=P_{b}\cdot h=4l\cdot l=4l^{2}

A_{l}+2\cdot A_{b}=4l^{2}+2\cdot l^{2}=6l^{2}

V=A_{b}\cdot h=l^{2}\cdot l=l^{3},

deoarece stim ca in cub toate dimensiunile sunt egale.

cum calculam aria laterala aria total si volumul unui cub

 

1) Fie M si N respectiv mijloacele laturilor AB si BC ale cubului ABCDA’B’ C’D’. Stiind ca MN=10\sqrt{2}, calculati:

a) lungimea muchiei cubului

b) volumul cubului

c) aria triunghiului ACD’

d) lungimea diagonalei cubului.

Demonstratie:

Problema rezolvata Aria totala  Volumul si diagonala intr-un cub

Stim ca MN este linie mijlocie in triunghiul ABC, astfel
MN=\frac{AC}{2}\Leftrightarrow 10\sqrt{2}=\frac{AC}{2}\Leftrightarrow 10\sqrt{2}\cdot 2=AC\Leftrightarrow AC=20\sqrt{2}.
Dar stim ca AC este diagonala in patratul ABCD, adica baza cubului, iar diagonala intr-un patrat este AC=l\sqrt{2}, acum obtinem
l\sqrt{2}=20\sqrt{2}\Rightarrow l=20, deci latura cubului este de 20 de cm.

b) Acum volumul cubului
V=l^{3}=20^{3}=8000\;\; cm^{3}.
c) A_{\Delta ACD'}=?
aria laterala aria totala si volumul unui cubaria laterala aria totala si volumul unui cub
Observam ca triunghiul ACD’ este echilateral, deoarece AC=20\sqrt{2} este diagonala in patratul ABCD, dar AD’ de asemenea diagonala in patratul ADA’D’, deci si AD'=20\sqrt{2}, dari si D’C diagonala in patratul DCD’C’, deci si D'C'=20\sqrt{2}, deci
A_{\Delta ACD'}=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{\left(20\sqrt{2}\right)^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{400\cdot 2\sqrt{3}}{4}=\frac{800\sqrt{3}}{4}=200\sqrt{3}\;\; cm^{2}
Deci am aflat si aria triunghiului ACD’
d) d_{cub}=l\sqrt{3}=20\sqrt{3}, deci diagonala intr-un cub este l\sqrt{3} ceea ce am demonstrat intr-un alt articol.
2) In cubul ABCDA’B’C’D’ produsul lungimilor diagonalelor bazei este egala cu 288\;\; cm^{2}

a) Calculati aria totala si volumul cubului

b) Fie M\in \left[AA'\right] si N\in \left[DD'\right] astfel incat MN||BC. Daca m\left(\prec ABM\right)=30^{0} calculati aria patrulaterului MBCN.
ARIA UNUI PATRULATER
Stim ca produsul diagonalelor este 288, adica
AC\cdot BD=288\Rightarrow l\sqrt{2}\cdot l\sqrt{2}=288\Rightarrow l^{2}\cdot 2=288\Rightarrow l^{2}=\\frac{288}{2}\Rightarrow l^{2}=144\Rightarrow l=12 cm
Deci latura cubului este de 12 cm.

Acum
a) A_{t}=6l^{2}=6\cdot 12^{2}=6\cdot 144=864 cm^{2}
V=l^{3}=12^{3}=1728 cm^{3}.

b) Stim din ipoteza ca MN||BC, dar si BC||MN deci MNBC este paralelogram (patrulaterul care are laturile opuse paralele doua cate doua se numeste paralelogram).

Acum in triunghiul dreptunghic ABM aplicam cos AMB
\cos AMB=\frac{cat. alaturata}{ipotenuza}\Rightarrow \cos 30^{0}=\frac{AB}{MB}\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{12}{MB}\Rightarrow MB=\frac{12\cdot 2}{\sqrt{3}}=\frac{24}{\sqrt{3}}=\frac{24\sqrt{3}}{3}=8\sqrt{3}, deci BCMN dreptunghi, astfel aria este egal cu A_{BCMN}=L\cdot l=12\cdot 8\sqrt{3}=96\sqrt{3}cm^{2}.