Aria unui triunghi si aria triunghiului dreptunghic

Despre aria unui triunghi am mai invatat si in clasa a VI-a, dar intuitiv, astazi o sa vorbim atat despre aria unui triunghi cat si despre aria patrulaterelor pe care le-am invatat pana acum, adica paralelogramul, dreptunghiul, rombul, patratul dar si trapezul.

Incepem cu aria triunghiului

Aria triunghiului este egala cu semiprodusul dintre lungimea unei laturi si inaltimea corespunzatoare ei.
A_{\Delta ABC}=\frac{b\cdot h}{2}
unde b este baza sau lungimea unei laturi si
h este inaltimea corespunzatoare ei

Daca avem un triunghi dreptunghic atunci aria sa este egala cu semiprodusul celor doua catete.
cum  calculam aria unui triunghi  dreptunghic
 A_{\Delta ABC}=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{2}=\frac{AB\cdot AC}{2}
Iar daca aplicam si prima formula in triunghiului dreptunghic obtinem ca
 A_{\Delta ABC}=\frac{b\cdot h}{2}=\frac{BC\cdot AD}{2}
pentru ca stim inca din clasa a VI-a ca intr-un triunghi dreptunghic putem duce trei inaltimi doua dintre ele coincid cu cele doua catete, iar cea de-a treia inaltime este AD cea corespunzatoare iptotenuzei, in cazul nostru BC.
Egaland cele doua relatii (cele doua formule ale ariei ) de mai sus obtinem
 \frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{BC\cdot AD}{2}\Rightarrow AD=\frac{AB\cdot AC}{BC}

Deci putem spun ca lungimea inaltimii intr-un triunghi dreptunghic este egala cu raportul dintre produsul celor doua catete si ipotenuza.
Dar aria unui triunghi putem sa o calculam si cu alte formule:

-Formula lui Heron
 A_{\Delta}=\sqrt{p\left(p-a\right)\cdot\left(p-b\right)\left(p-c\right)}
unde  p=\frac{a+b+c}{2} este semiperimetrul tringhiului, iar a este o latura a triunghiului, b cealalta latura, iar c cea de-a treia latura.

Problema

1) In triungiul ABC  m\left(\prec B\right)=30^{0}, BC=12\;\; cm si AB= 8 cm. Calculati:
a) aria triughilui ABC
b) distanta e la C la latura AB
Solutie
problma rezolvata distanta de la un punct la o dreapta
Ca sa aflam aria triunghiului ducem inaltimea din varful unghiului A, deci fie AD perpendiculara pe BC
cum duucem inaltimea ca sa aflam aria unui triunghi
Cum AD este perpendiculra pe BC rezulta ca m\left(\prec ADB\right)=90^{0} , stim ca  m\left(\prec ABD\right)=30^{0} si deci  m\left(\prec BAD\right)=60^{0}
Si astfel in triunghiul ABD, dreptunghic in D aplicam Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0}, deci
 AD=\frac{AB}{2}\Rightarrow AD=\frac{8}{4}\Rightarrow AD=4\;\; cm.
Acum aplicam formula pentru arie
A_{\Delta ABC}=\frac{b\cdot h}{2}=\frac{BC\cdot AD}{2}=\frac{12\cdot 4}{2}=\frac{12\cdot 2}{1}=24\;\; cm^{2}.

b) Ca sa aflam distanta de la un punct la o dreapta trebuie sa stim ca este piciorul perpendicularei de la punctul respectiv la dreapta respectiva, in cazul nostru:
distanta de la un punct lao dreapta
 d\left(C, AB\right)=CE
Dupa ce am aflat care este segmentul trebuie sa aflam lungimea segmentului.
Daca stim deja aria triunghiului, ne gandim ca sa aplicam din nou formula pentru aria triunghiului daca consideram baza AB si inaltimea CE, care este si lungimea segmentului nostru. Deci
 A_{\Delta CBA}=\frac{AB\cdot CE}{2}=\frac{8\cdot CE}{2}
Egalam cu aria pe care am gasit-o la primul subpunct, adica rezultatul care l-am gasit si obtinem:
 \frac{8\cdot CE}{2}= 24\Rightarrow CE=\frac{24\cdot 2}{8}\Rightarrow CE=\frac{3\cdot 2}{1}\Rightarrow CE=6 cm

Ca sa ne simplificam calculele am simplificat pe unde am putut.

Recapitulare geometrie evaluarea initiala clasa a VIII-a

In clasa a VII-a  profesorul vostru a insistat foarte mult sa invatati Teorema lui Pitagora, Teorema inaltimii, Teorema catetei. Poate v-ati intrebat de ce! Pentru ca o sa va ajute foarte mult in clasa a VIII-a si la Evaluarea Nationala.
Ca sa putem sa le folosim trebuie sa ne reamintim enunturile, dar si cum ne ajuta sa rezolvam problemele pentru geometrie evaluarea initiala.
1) In triunghiul dreptunghic ABC  m(\prec A)=90^{0}, AD\bot BC , D\in (BC) si AM mediana <br /> M\in (BC), AB<BC, AB=16 cm.
a) Calculati aria si perimetrul triunghiului ABC
b) Inaltimea dusa din varful unghiului drept
Ip:
\Delta ABC<br /> m(\prec A)=90^{0}, AD\bot BC , D\in (BC)
AM mediana
<br /> M\in (BC), AB<BC, AB=16 cm, m(\prec DAM)=30^{0}.
Cz:
A_{\Delta ABC}=?<br /> P_{\Delta ABC}=?

Dem:
b
<br /> \\m(\prec DAM)=30^{0}<br /> \\AD\bot BC \Rightarrow m(\prec ADM)=90^{0}<br /> \\ m(\prec ADM)+m(\prec DAM)+m(\prec AMD)=180^{0} \Rightarrow<br /> \\90^{0}+30^{0}+m(\prec AMD)=180^{0}\Rightarrow<br /> \\120^{0}+m(\prec AMD)=180^{0} \Rightarrow<br /> \\m(\prec AMD)=180^{0}-120^{0}\Rightarrow<br /> \\ m(\prec AMD)=60^{0}=m(\prec BMA)<br />
<br /> \\ m(\prec BMC)=180^{0}<br /> \\m(\prec BMC)=m(\prec BMA)+m(\prec AMC)\Rightarrow<br /> \\ 180^{0}=60^{0}+ m(\prec AMC)\Rightarrow<br /> \\ m(\prec AMC)=120^{0}<br /> .
Cum AM mediana constatam ca triunghiul AMC  isoscel, avand un unghi de
<br /> 120^{0}celelalte doua alaturate bazei o sa aiba  60^{0}:2=30^{0}. Rezulta ca  m(\prec ACB)=30^{0}. Stiind ca AB=16 cm. Putem sa aplicam fie Teorema  30^{0}-60^{0}-90^{0}, fie functiile trigonometrice. Daca aplicam Teorema  30^{0}-60^{0}-90^{0} obtinem BC=32 cm.
Acum, aplicand Teorema lui Pitagora in triunghiul ABC, obtinem AC.
<br /> \\BC^{2}=AB^{2}+AC^{2} \Rightarrow<br /> \\1024=256+AC^{2}\Rightarrow<br /> \\ 1024-256=AC^{2}\Rightarrow<br /> \\768=AC^{2}\Rightarrow<br /> \\AC=\sqrt{768}<br />
Daca scoatem factorii de sub radical obtinem AC=16\sqrt{3}
Astfel
<br /> P_{\Delta ABC}=AB+AC+BC<br /> \\=16+32+16\sqrt{3}=<br /> \\= 48+16\sqrt{3}=<br /> \\16(3+\sqrt{3}).
Aria triunghiului, aplicam formula bine cunoscuta pentru triunghiul dreptunghic
<br /> A_{\Delta ABC}=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{2}=<br /> \\\frac{16\cdot 16\sqrt{3}}{2}=<br /> \\\frac{256\sqrt{3}}{2}<br /> \\ 128\sqrt{3} cm^{2}.
b) inaltimea in triunghiul ABC o calculam cu formula(atentie numai in cazul in care triunghiul este dreptunghic, acelasi lucru si daca vrem sa aplicam functiile trigonometrice, triunghiul unde aplicam trebuie sa fie dreptunghic)
<br /> AD=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{ipotenuza}=<br /> \\\frac{16\cdot 16\sqrt{3}}{32}=<br /> \\\frac{256\sqrt{3}}{32}=<br /> \\8\sqrt{3}