Bisectoarea unui unghi Proprietatea bisectoarei

Despre bisectoarea unui unghi am mai invatat si in primul semestru la capitolul Unghi. Dar acum discutam si de proprietatea bisectoarei, cat si despre concurenta bisectoarelor intr-un triunghi, deoarece dupa cum am mai spus si intr-un alt articol, bisectoarea este una din liniile importante intr-un triunghi.

Astfel reamintindu-ne definitia bisectoarei spunem ca:

Definitie: Bisectoarea unui unghi este semidreapta cu originea in varful unghiului, interioara unghiului si care care imparte  unghiul in doua unghiuri.

cum rezolvam problemele cu bisectoare

Proprietatile bisectoarei:
Un punct interior unui unghi este situat la egala distanta de laturile unghiului daca si numai daca apartine bisectoarei acelui unghi.
punctele interioare ale unui unghi
Avem in ipoteza [OZ bisectoare unghiului \widehat{XOY}
M\in [OZ

Concluzie: d(M, OX)=d(M, OY)

Astfel stim ca distanta de la un punct la o dreapta este piciorul perpendicularei din punctul dat pe drepata respectiva.

Stim ca [OZ este bisectoarea unghiului \widehat{XOY}, astfel avem:
\widehat{XOZ}\equiv\widehat{YOZ}
Mai stim si ca MA\perp[OX, A\in [OX\Rightarrow d\left(M, OX\right)=MA
Dar si MB\perp[OY, B\in [OY\Rightarrow d\left(M, OY\right)=MB
Iar in triunghiurile MAO si MBO, avem m\left(\widehat{MAO}\right)=m\left(\widehat{MBO}\right)=90^{0}, adica avem triunghiuri dreptunghice.
Mai stim si ca [MO]\equiv[MO](latura comuna)
Dar si \widehat{MOA}\equiv\widehat{MOB}
Deci cu cazul de congruenta de la triunghiurile dreptunghice I.U, avem ca
\Delta MAO\equiv\Delta MBO de unde obtinem ca [MA]\equiv[MB], adica d(M, OX)=d(M, OY)

locul geometric al bisectoarei unui unghi
Bisectoarea unui unghi este locul punctelor situate la egala distanta de laturile unui triunghi.

Teorema. Bisectoarele unghiurilor unui triunghi sunt concurente. Punctul de intersectie al bisectoarelor este situat la distanta egala de laturile triunghiului se noteaza cu I. Punctul de concurenta al bisectoarelor se numeste centrul cercului inscris.

Centrul inscris in triunghi este cercul care este tangent la laturile triunghiului, adica are in comun un singur punct cu fiecare latura a triunghiului.

cum arata bisectoarele intr-un triunghi
Observati ca AA’, BB’ si CC’ sunt bisectoare in triunghiul ABC, adica
– AA’ bisctoarea unghiului \widehat{BAC}
– BB’ bisctoarea unghiului \widehat{ABC}
– CC’ bisctoarea unghiului \widehat{ACB}
Iar punctul de intersectie il notam cu I, numit centrul cercului inscris.
cum se noteaza punctul de intersectie al bisectoarelor
Aplicatii:

In triunghiul \Delta ABC avem: D\in(BC), E\in(AC), F\in(AB) astfel incat AD\perp BC, \widehat{ABE}\equiv\widehat{CBE}, \widehat{ACF}\equiv\widehat{BCF}, BE\cap CF\cap AD=\left\{I\right\}. Aratati ca [AB]\equiv[AC]
Demonstratie:

Observam ca [BE si [CF sunt bisectoarele unghiurilor \widehat{ABC}, \widehat{ACB} dar si BE\cap CF\cap AD=\left\{I\right\}, atunci obtinem si ca [AD este bisectoarea unghiului \widehat{BAC}, adica obtinem ca:
\widehat{BAD}\equiv\widehat{CAD}
Astfel consideram triunghiurile: \Delta BAD si \Delta CAD
unde am gasit ca:

\widehat{BAD}\equiv\widehat{CAD}
[AD]\equiv[AD] (latura comuna)
Dar si \widehat{BDA}\equiv\widehat{CDA} (deoarece AD\perp BC, adica formeaza un unghi de 90^{0})
Si cu cazul de congruneta U.L.U, obtinem ca \Delta BAD\equiv\Delta CAD, de unde obtinem si ca [AB]\equiv[AC] ceea ce trebuia sa demonstram.

bisectoarea unui unghi intr-un triunghi

Metoda triughiurilor congruente

In majoritatea problemelor de geometrie trebuie sa demonstram ca doua segmente sunt congruente sau doua unghiuri sunt congruente.

In rezolvarea unei astfel de probleme se poate utiliza metoda triunghiurilor congruente care consta in parcurgerea  urmatoarelor etape:

– sa identificam doua triunghiuri care contin cele doua elemente care trebuie demonstrate ca sunt congruente, in pozitii corespunzatoare, si a caror congruenta poate fi aratata cu criteriile de congruenta

– aratam ca cele doua triunghiuri sunt congruente

– si cu definitia triunghiurilor congruente obtinem congruenta celor doua elemente.

Acum sa ne reamintim criteriile de congruenta:

Cazul L.U.L

Daca doua triunghiuri au cate doua  laturi respectiv congruente si unghiurile format de aceste laturi congruente, atunci triunghiurile sunt congruente.

Cazul U.L.U

Daca doua triunghiuri au cate o latura si unghiurile alaturate acestei baze respectiv congrunete, atunci triunghiurile sunt congruente.

Cazul L.L.L

Daca doua triunghiuri au laturile respectiv congruente, atunci triunghiurile sunt congruente.

Cu ajutorul acestor criterii de congruenta, pentru a  verifica congruenta celor doua triunghiuri  nu mai este nevoie sa verificam toate cele 6 perechi de elemente corespunzatoare asa cum ne cere definitia, ci doar a trei dintre acestea corespunzatoare unuia dintre cele trei criterii.

Observatii.

1. Cand folosim metoda triunghiurilor congruente trebuie sa tinem cont de informatiile pe care ni le furnizeaza enuntul problemei, informatiile obtinute din figura corespunzatoare, dar si de elementele teoretice pe care le cunoastem.

2. In cazul problemelor mai simple, cele trei  informatii pe care trebuie sa le utilizam in cazul de congruenta, sunt furnizate cu usurinta chiar din ipoteza problemei.

3. In cazul unei probleme mai dificile, in majoritatea timplului, sunt necesare demonstratii pregatitoare pe care le folosim cand aratam congruenta celor doua triunghiuri, asadar metoda triunghiurilor congruente poate fi folosita de mai multe ori intr-o problema.

Aplicatii:

1. Fie  ABC si DEF doua triunghiuri in care AB=4 cm m\left(\widehat{ABC}\right)=50^{0}, BC=\frac{3}{2}\cdot AB, EF=6 cm, m\left(\widehat{DEF}\right)=50^{0} si DE=\frac{2}{3}\cdot EF. aratati ca [AC]\equiv [DF], \widehat{BAC}\equiv\widehat{EDF} si \widehat{ACB}\equiv\widehat{DFE}

Astfel avem:

Ipoteza: \Delta ABC, \Delta DEF

AB=4 cm m\left(\widehat{ABC}\right)=50^{0}, BC=\frac{3}{2}\cdot AB, EF=6 cm, m\left(\widehat{DEF}\right)=50^{0}

DE=\frac{2}{3}\cdot EF

Concluzie: [AC]\equiv [DF], \widehat{BAC}\equiv\widehat{EDF}

\widehat{ACB}\equiv\widehat{DFE}

Demonstratie:

Stim BC=\frac{3}{2}\cdot AB=\frac{3}{2}\cdot 4=\frac{3\cdot 4}{2}=\frac{12}{2}=6\;\; cm

Dar si DE=\frac{2}{3}\cdot EF=\frac{2}{3}\cdot 6=\frac{2\cdot 6}{3}=\frac{12}{3}=4\;\; cm.

cum demonstram congruneta triunghiurilor

Stim in ipoteza ca AB=4=DE, adica [AB]\equiv [DE]

Dar stim si ca

BC=6=EF, adica [BC]\equiv [EF]

Dar mai stim si din ipoteza ca m\left(\widehat{ABC}\right)=50^{0}=m\left(\widehat{DEF}\right), adica \widehat{ABC}\equiv\widehat{DEF}

Observati ca am obtinut doua laturi respectiv congruente, dar si unghiul format de aceste laturile sunt congruente.

Deci cu cazul de congruenta L.U.L \Delta ABC\equiv\Delta DEF

De unde obtine si ca [AC]\equiv [DF]

Dar si \widehat{BAC}\equiv\widehat{EDF}

Mai mult din \Delta ABC\equiv\Delta DEF\Rightarrow \widehat{ACB}\equiv\widehat{DFE}

2.  Se dau \Delta ABC\equiv\Delta DEF. Bisectoarele unghiurilor \widehat{B} si \widehat{C} se intersecteaza in M, iar bisectoarele unghiurilor \widehat{E} si \widehat{F} se intersecteaza in N. Aratati ca \widehat{BMC}\equiv\widehat{EFN}

Astfel in ipoteza avem: \Delta ABC\equiv\Delta DEF

Bisectoarele unghiurilor \widehat{B} si \widehat{C} se intersecteaza in M

Bisectoarele unghiurilor \widehat{E} si \widehat{F} se intersecteaza in N.

Concluzie: \widehat{BMC}\equiv\widehat{EFN}

Demonstratie:

Stim in ipoteza ca \Delta ABC\equiv\Delta DEF

Dar mai stim si ca:

Bisectoarele unghiurilor B si C se intersecteaza  in punctul M

Stim ca bisectoarea unui unghi imparte unghiul dat in doua unghiuri congruente

Adica bisectoarea unghiului B, imparte unghiul B in doua unghiuri congruente, adica m\left(\widehat{B_{1}}\right)=m\left(\widehat{B_{2}}\right)=\frac{m\left(\widehat{B}\right)}{2}

La fel procedam la toate unghiurile.

Mai stim din ipoteza ca \widehat{ABC}\equiv\widehat{DEF}, mai mult \widehat{MB_{2}C_{2}}\equiv\widehat{NE_{2}F_{2}}

Dar si \widehat{ACB}\equiv\widehat{DFE}, mai mult cu definitia bisectoarei obtinem \widehat{MC_{2}B}\equiv\widehat{NF_{2}E_{2}}

Tot din faptul ca \Delta ABC\equiv\Delta DEF stim si ca [BC]\equiv [EF]bisectoarea unui unghi

Astfel cu cazul de congruenta U.L.U, obtinem ca \Delta BMC\equiv\Delta ENF, de unde obtinem ca \widehat{BMC}\equiv\widehat{ENF}

Asadar astfel se aplica metoda triunghiurilor congruente.

 

Probleme rezolvate pentru Denisa

Se considera triunghiul ABC si fie D si E simetricele punctelor B si respectiv C fata de A. Aratati ca DE paralel pe BC .

Demonstratie:

cum aratam ca doua drepte sunt paralele

Daca D este simetricul lui B fata de A stim ca \left[BA\right]\equiv\left[AD\right], iar daca

E este simetricul lui C fata de A obtinem de asemenea ca \left[CA\right]\equiv\left[AE\right]

Astfel obtinem ca \Delta ABC\equiv\Delta ADE

Astfel avem ca

\left[AB\right]\equiv\left[AD\right]

\left[AC\right]\equiv\left[AE\right]

Dar mai observam si ca

\widehat{DAE}\equiv\widehat{BAC}

Deci cu cazul de congruenta L.U.L \Delta ABC\equiv\Delta ADE

Deci obtinem si ca:

\widehat{AED}\equiv\widehat{ACB}

Dar si ca

\widehat{ADE}\equiv\widehat{ABC}.

Observam ca drepta EC intersecteaza dreptele  DE si CB in doua puncte distincte diferite, adica in punctele  E si C deci EC este secanta si astfel cu criteriile de paralelism obtinem ca: ED||BC

Unghiul \widehat{DEA}\equiv\widehat{BCA} (ca unghiuri alterene interne)

In triunghiul ABC fie [BE bisectoarea unghiului B ,cu E apartine (AC) ,iar D apartine (AB) astfel incat [BD] congruent cu [DE] . Aratati ca DE paralel pe BC .

Demonstratie

criteriile de paralelism

Observam ca triunghiul BDE este isoscel de baza BD (deoarece din ipoteza avem ca \left[BD\right]\equiv\left[DE\right]), astfel obtinem ca:

\widehat{DBE}\equiv\widehat{DEB}

Dar mai stim si ca BE este bisectoare astfel obtinem ca:

\widehat{DBE}\equiv\widehat{EBC}

De unde rezulta ca si \widehat{DEB}\equiv\widehat{EBC}

Observam ca BE este intersecteaza doua drepte distincte in doua puncte diferite, astfel obtinem ca BE este secanta.

secanta a doua drepte

Si cum unghiul DEB congruent cu unghiul ECB ca perechi de unghiuri alteren interne, obtinem cu ajutorul criteriilor de paralelism ca: DE||BC.

Problema rezolvata cu trapezul isoscel

Sa vedem inca o problema rezolvata cu trapezul isoscel ,trimisa de un cititor MatePedia.

Fie ABCD trapez  si \left[AD\right]\equiv\left[DC\right]\equiv\left[CB\right]. Daca AB=2a cm si m\left(\prec B\right)=60^{0} se cere:

a) Demonstrati ca (AC este bisectorea unghiului  \prec A

b) Calculati perimetrul \Delta COB, O fiind mijlocul lui AB

c) Calculati linia mijlocie a trapezului ABCD

Demonstratie:

Cum aflam perimetrul unui trapez
Observam ca :
\left[AD\right]\equiv\left[DC\right]\equiv\left[CB\right]
si astfel obtinem ca trapezul este isoscel, deci unghiurile alaturate bazei sunt congruente, astfel gasim si ca m\left(\prec A\right)=60^{0}
Acum construim perpendicularele CE si DF pe dreapta AB.
Astfel daca aplicam Teorema 30^{0}-60^{0}=90^{0}, astfel obtinem:
AF=\frac{1}{2}\cdot AD si
BE=\frac{1}{2}\cdot BC
Notam AD=DC=BC=x
AB=AF+FE+EB\Rightarrow 2a=\frac{x}{2}+x+\frac{x}{2}\Rightarrow 2a=2x\Rightarrow x=a
EF=DC=x, deoarece EFDC este dreptunghi
Din ipoteza observam ca triunghiul este isoscel de baza AC, deci unghiurile alaturate bazei sunt congruente, adica \prec DAC\equiv\prec DCA.
Dar cum am construit cele doua perpendiculare observam ca DCEF este dreptunghi si deci astfel m\left(\prec FDC\right)=m\left(\prec DCE\right)=m\left(\prec CEF\right)=m\left(\prec EFD\right)=90^{0}
DEci gasim ca
m\left(\prec ADC\right)=m\left(\prec ADF\right)+m\left(\prec FDC\right)\Rightarrow  m\left(\prec ADC\right)=30^{0}+90^{0}\Rightarrow m\left(\prec ADC\right)=120^{0}
Si cum unghiurile alaturate bazei sunt congruente rezulta ca m\left(\prec DAC\right)=m\left(\prec DCA\right)=30^{0}.
Acum :
m\left(\prec DAB\right)=m\left(\prec DAC\right)+m\left(\prec CAB\right)\Rightarrow 60^{0}=30^{0}+m\left(\prec CAB\right)\Rightarrow m\left(\prec CAB\right)=30^{0}
astfel gasim ca \prec DAC\equiv\prec CAB
Cum semidreapta AC imparte unghiul in doua unghiuri congruente rezulta ca AC este bisectoarea unghiului A.
b) Cum O este mijlocul lui AB obtinem AO=OB=a
Stim de mai sus ca BC=a, deci triunghiul COB este isoscel cu m\left(\prec CBO\right)=60^{0} si astfel triunghiul CBO echilateral astfel
P_{\Delta CBO}=3\cdot a=3a cm.
Perimetrul unui triunghi

 

 

 

 

 

 
c) Linia mijlocie a trapezului, fie M mijlocul lui AD si N mijlocul lui BC, astfel obtinem
MN=\frac{AB+BC}{2}=\frac{2a+a}{2}=\frac{3a}{2}
Linia mijlocie intr-un trapez

Probleme cu unghiuri adiacene, unghiuri complementare si unghiuri suplementare

Dupa ce am invatat notiunile de unghiuri adiacente, unghiuri complementare, unghiuri complementare si despre bisectorea unui unghi, astazi o sa rezolvam probleme cu unghiuri in care apar aceste notiuni.
1) Daca \prec XOY si YOZ sunt unghiuri adiacente, \frac{m\left(\prec XOY\right)}{m\left(YOZ\right)}=\frac{2}{7}, iar bisectoarele lor formeaza un unghi de 45^{0}, aflati masurile unghiurilor \prec XOYsi \prec YOZ.
Solutie
bisectoare unui unghi
Din datele problemei am construit unghiul TOD (unghi format din bisectoarele celor doua unghiuri XOY si YOZ), stim ca m\left(\prec TOD\right)=45^{0}
Stim de asemenea ca
\frac{m\left(\prec XOY\right)}{m\left(YOZ\right)}=\frac{2}{7}\Rightarrow m\left(\prec XOY\right)=\frac{2}{7}\cdot m\left(\prec YOZ\right)
Stim ca daca OT este bisectoarea unghiului XOY rezulta ca m\left(\prec TOY\right)=\frac{1}{2}\cdot m\left(\prec XOY\right), de asemenea stim ca OD este bisectoarea unghiului YOZ rezulta ca m\left(\prec DOY\right)=\frac{1}{2}\cdot m\left(\prec YOZ\right),
Cum m\left(\prec TOD\right)=45^{0}\Rightarrow m\left(\prec TOY\right)+m\left(\prec YOD\right)=45^{0}\Rightarrow \frac{1}{2}\cdot m\left( \prec XOY\right)+\frac{1}{2}\cdot m\left(\prec YOZ\right)=45^{0}\Rightarrow \frac{m\left(\prec XOY\right)+m\left(\prec YOZ\right)}{2}=45^{0}\Rightarrow m\left(\prec XOY\right)+m\left(\prec YOZ\right)=90^{0}
Deci suma celor doua unghiuri este de 90 de grade
Dar stim ca  m\left(\prec XOY\right)=\frac{2}{7}\cdot m\left(\prec YOZ\right), inlocuind in ce am obtinut mai sus obtinem:
<br /> \frac{2}{7}\cdot m\left(\prec YOZ\right)+m\left(\prec YOZ\right)=90^{0}| \cdot 7<br /> \\2\cdot m\left(\prec YOZ\right)+7\cdot m\left(\prec YOZ\right)=90^{0}\cdot 7<br /> \\9 m\left(\prec YOZ\right)=630^{0}:9<br /> \\m\left(\prec YOZ\right)=70^{0}<br /> \\m\left(\prec XOY\right)=\frac{2}{7}\cdot m\left(\prec YOZ\right)=\frac{2}{7}\cdot 70^{0}=2\cdot 10^{0}=20^{0}<br />
Deci masura unghiului YOZ este de 70 de grade si masura unghiului XOY este de 20 de grade.
Important este sa stim cand doua unghiri sunt suplementare, coplementare sau cand sunt adiacente, sa stim definitia bisectoarei unui unghi si cum le aplicam in formule

cand douaunghiuri sunt complementare

Unghiuri adiacente, bisectoarea unui unghi, unghiuri suplementare si unghiuri complementare

Sa intelegem notiunile de unghiuri adiacente, unghiuri suplementare, unghiuri complementare si bisectoarea unui unghi. Incepem prin a defini notiunea de unghiuri adiacente, astfel:

Unghiuri adiacente

Def: Doua unghiuri proprii (unghiurile care nu sunt alungite si nu sunt nici nule)se numesc adiacente daca au o latura comuna si interioarele disjuncte (diferite, adica nu au aceiasi masura).

cand doua unghiuri sunt adiacente

Bisectoarea unui unghi

Def: Se numeste bisectoarea unui unghi, semidreapta cu originea in varful unghiului si care imparte unghiul in doua unghiuri congruente.

cum rezolvam problemele cu bisectoare
Unghiuri suplementare

Def: Doua unghiuri se numesc suplementare daca suma masurilor lor este egala cu 180^{0}.

cand doua unghiuri sunt suplementare
Unghiuri complementare

Def: Doua unghiuri se numesc complementare daca suma masurilor lor este egala cu 90^{0}.
cand douaunghiuri sunt complementare
Problema rezolvata pentru a intelege mai bine !

1) Unghiurile \prec AOB si \prec BOC sunt doua unghiuri adiacente si complementare. Aflati masurile lor stiind ca m\left(\prec AOB\right)=5 \cdot m\left(\prec BOC\right).

Solutie

Stim ca cele doua unghiuri sunt adiacente si complementare, deci scriem m\left(\prec AOB\right)+m\left(\prec BOC\right)= 90^{0}
Mai stim si ca m\left(\prec AOB\right)=5\cdot m\left(\prec BOC\right).
Inlocuind in prima relatie obtinem  5\cdot m\left(\prec BOC\right)+m\left(\prec BOC\right)=90^{0}\Rightarrow 6m\left(\prec BOC\right)=90^{0}\Rightarrow  \\m\left(\prec BOC\right)=90^{0}:6  \\m\left(\prec BOC\right)=15^{0}  \\m\left(\prec AOB\right)=5\cdot 15^{0}  \\m\left(\prec AOB\right)=65^{0}

Ca sa rezolvama problema de mai sus am tinut cont de faptul ca unghiurile sunt complementare, adica au masura de 90 de grade, dupa ce am scris suma celor doua unghiuri, am inlocuit unghiul AOB, cu notiunea pe care are o stim din ipoteza problemei, iar rezultatul obtinut l-am rezolvat ca si cum am fi rezolvat o ecuatie si am obtinut un unghi de 35 de grade si celalalt, adica complementul sau de 65 de grade.