Probleme rezolvate cu functiile trigonometrice

Prezentam o problema pe care o rezolvam cu ajutorul functiilor trigonometrice, dar si probleme rezolvate cu ajutorul ecuatiilor

Rombul ABCD are latura AB=10 cm .Daca tg unghiului \tan\widehat{BAC}=\frac{3}{4} ,determinati lungimile diagonalelor .

Demonstratie:

Stim ca diagonalele intr-un romb sunt perpendiculare astfel avem ca: AC\cap BD=\left\{O\right\}

Dar si AC\perp BD

Deci avem ca: \Delta BAO este dreptunghic in O, adica putem aplica  functiile trigonometrice 

\tan\widehat{BAC}=\tan\widehat{BAO}=\frac{BO}{AO}\Rightarrow \frac{3}{4}=\frac{BO}{AO}\Rightarrow BO=\frac{3}{4}\cdot AO

Dar cu Teorema lui Pitagora avem ca:

AB^{2}=AO^{2}+BO^{2}\Rightarrow 10^{2}=AO^{2}+\left(\frac{3}{4}\cdot AO\right)^{2}\Rightarrow AO^{2}+\frac{9}{16}AO^{2}=100\Rightarrow \frac{16}{16}AO^{2}+\frac{9}{16}AO^{2}=100\Rightarrow \frac{25}{16}AO^{2}=100\Rightarrow AO^{2}=100:\frac{25}{16}\Rightarrow AO^{2}=100\cdot\frac{16}{25}\Rightarrow AO^{2}=4\cdot 16\Rightarrow AO=\sqrt{4\cdot 16}=2\cdot 4\Rightarrow AO=8\;\; cm

Iar AC=2\cdot AO=2\cdot 8=16

cum  aplicam functiile trigonometriceIar BO=\frac{3}{4}\cdot 8=\frac{3\cdot 8}{4}=\frac{24}{4}=6\;\; cm

Iar BD=2\cdot BO=2\cdot 6=12\;\; cm

2. Petre citeste o carte in 3 zile.In prima zi  el citeste de 2 ori mai mult decat in a doua zi , iar in a treia zi citeste jumatate din numarul de pagini citite in a doua zi . Cartea are 56 de pagini. Afla cate pagini a citit elevul in fiecare zi.

Solutie:

Notam cu x numarul de pagini citite in a doua zi:

In prima zi  citeste: 2x

In a trei zi citeste \frac{x}{2}

Astfel avem: 2x+x+\frac{x}{2}=56\Rightarrow \frac{4x}{2}+\frac{2x}{2}+\frac{x}{2}=56\Rightarrow

\frac{7x}{2}=56\Rightarrow x=56:\frac{7}{2}\Rightarrow

x=56\cdot\frac{2}{7}\Rightarrow x=8\cdot 2=16

Deci in a doua zi 16 pagini.

Iar in prima zi 2\cdot x=2\cdot 16=32

Iar in a treia zi \frac{x}{2}=\frac{16}{2}=8

3. Suma a 5 nr consecutive este egala cu 5 sa sa afle nr

Solutie:

Fie n, n+1, n+2, n+3, n+4 numerele consecutive

n+n+1+n+2+n+3+n+4=5

De unde obtinem: 5n+10=5
Adica obtinem  5n=5-10
Adica
5n=-5
Iar n=-1
Adica primul numar este -1
Al doilea numar este: n+1=-1+1=0
Al treilea numar este n+2=-1+2=1
Al patrulea n+3=-1+3=2
Iar la V lea n+4=-1+4=3
Deci numerele sunt: -1; 0; 1; 2; 3;

Rezolvarea triunghiului dreptunghic cu functiile trigonometrice

Dupa ca am invatat sa aplicam Teorema lui Pitagora, adica sa rezolvam triunghiul dreptunghic cu ajutorul Teoremei lui Pitagora, Teoremei inaltimii, Teoremei catetei, a venit vremea sa invatam sa rezolvam Triunghiul dreptunghic cu ajutorul functiilor trigonometrice.

Astfel, pentru orice triunghi dreptunghic se definesc rapoartele sinus, cosinus, tangenta si cotangenta numite functiile trigonometrice.

cum aplicam functiile trigonometrice

Acum definim functia sinus pentru unghiul x ca fiind \sin x^{0}=\frac{cateta. opusa}{ipotenuza}=\frac{AC}{BC}

Functia cosinusului: \cos x^{0}=\frac{cateta, alaturata}{ipotenuza}=\frac{AB}{BC}

Functia tangenta \tan x^{0}=\frac{cateta. opusa}{cateta. alaturata}=\frac{AC}{AB}

Functia cotangenta x^{0}=\frac{cateta alaturata}{cateta. opusa}=\frac{AB}{AC}

Se observa ca \tan x^{0}=\frac{\sin x^{0}}{\cos x^{0}} dar si  functia cotangenta x^{0}=\frac{cos x^{0}}{\sin x^{0}} dar si

\sin^{2} x^{0}+\cos^{2} x^{0}=1

Important cand aplicam functiile trigonometrice este sa avem triunghi dreptunghic, deci functiile trigonometrice se aplica in triunghiurile dreptunghice.

Exemplu:

In triunghiul ABC m\left(\widehat{A}\right)=75^{0} si m\left(\widehat{B}\right)=60^{0}. Daca Ac=5\sqrt{6}, calculati perimetrul triunghiului ABC.

Demonstratie:

Observam ca triunghiul nu este dreptunghic, dar putem afla si masura unghiului C astfel:

m\left(\widehat{A}\right)+m\left(\widehat{B}\right)+m\left(\widehat{C}\right)=180^{0}\Rightarrow
75^{0}+60^{0}+m\left(\widehat{C}\right)=180^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{C}\right)=180^{0}-135^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{C}\right)=45^{0}

Acum construim perpendiculara din
cum aflam perimetrul unui triunghi
A pe BC, astfel obtinem doua triunghiuri dreptunghice, fie Ad\perp BC

Acum in triunghiul ACD aplicam cosinusul unghiului de 45 de grade

\cos 45^{0}=\frac{cateta.alaturata}{ipotenuza}\Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{CD}{AC}\Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{CD}{5\sqrt{6}}\Rightarrow CD=\frac{5\sqrt{6}\cdot \sqrt{2}}{2}=\frac{5\cdot 2\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}

Observam ca masura unghiului C este de 45 de grade, masura unghiului D este de 90 de grade si astfel gasim si ca m\left(\widehat{CAD}\right)=45^{0}

Si astfel triunghiul ACD este dreptunghic isoscel , deci CD=AD=5\sqrt{3}

Acum, daca in triunghiul ADC aplicam sinusul unghiului B obtinem

\sin B=\frac{cateta. opusa}{ipotenuza}\Rightarrow \sin 60^{0}=\frac{AD}{AB}\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5\sqrt{3}}{AB}\Rightarrow AB=\frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=10
Acum daca aplicam \cos 60^{0}=\frac{BD}{AB}\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{BD}{10}\Rightarrow BD=5\;\;cm

Deci BC=BD+DC=5\sqrt{3}+5

Astfel perimetrul triunghiului ABC este P_{\Delta ABC}=AB+AC+BC=10+5\sqrt{6}+5\sqrt{3}+5=15+5\sqrt{6}+5\sqrt{3}=5\left(3+\sqrt{6}+\sqrt{3}\right)

Deci daca nu avem triunghi dreptunghic construim perpendiculara dintr-un varf al unghiului pe latura opusa unghiului.

Fie triunghiul ABC dreptunghic in A.Daca BC =25 cm si sin B +sin C=1,4, aflati perimetrul triunghiului;

Demonstratie:
In triunghiul ABC aplicam
\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{AC}{25}
Dar si \sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{AB}{25}
Acum daca inlocuim in relatia de mai sus avem
\sin B+\sin C=1,4\Rightarrow \frac{AC}{25}+\frac{AB}{25}=1,4\Rightarrow \frac{AB+AC}{25}=1,4\Rightarrow AB+AC=25\cdot 1,4\Rightarrow AB+AC=35(1)
Acum, daca in triunghiul ABC aplicam Teorema lui Pitagora obtinem
AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}\Rightarrow 25^{2}=\left(AB+AC\right)^{2}-2\cdot AB\cdot AC\Rightarrow 625=1125-2\cdot AB\cdot AC\Rightarrow 625-1125=-2\cdot AC\cdot AB\Rightarrow -2\cdot AB\cdot AC=-600\Rightarrow AB\cdot AC= 300\Rightarrow
Acum, daca scoatem din relaia (1) AB obtinem AB=35-AC si inlocuim in relatia de mai sus avem
AB\cdot AC=250\Rightarrow \left(35-AC\right)\cdot AC=300\Rightarrow 35\cdot AC-AC^{2}=300\Rightarrow -AC^{2}+35\cdot AC-300=0|\cdot \left(-1\right)\Rightarrow AC^{2}-35\cdot AC+300=0\Rightarrow AC^{2}-20\cdot AC-15\cdot AC+300=0\Rightarrow AC\left(AC-20\right)-15\left(AC-20\right)=0\Rightarrow \left(AC-20\right)\left(AC-15\right)=0
Deci gasim o data ca AC-20=0\Rightarrow AC=20 sau AC-15=0\Rightarrow AC=15
Acum aflam AB, astfel AB=35-AC\Rightarrow AB=35-15=20

Sau AB=35-AC=35-20=15
Acum daca efectuam proba obtinem
\sin B+\sin C=1,4\Rightarrow \frac{AC}{25}+\frac{AB}{25}=\frac{AB+AC}{25}=\frac{15+20}{25}=\frac{35}{25}=1,4
Deci se verifica.
Acum daca aplicam si Teorema lui Pitagora obtinem
AB^{2}+AC^{2}=25^{2}\Rightarrow 15^{2}+20^{2}=225+400=625
Deci se verifica.
Si astfel gasim ca perimetrul triunghiului este P_{\Delta ABC}=AB+AC+BC=15+20+25=60
Deci AB=20 si AC=15
Sau AB=15 si AC=20