Pozitiile relative a doua drepte in plan

In acest articol o sa invatam despre pozitiile relative a doua drepte in plan si care sunt  conditiile pe care trebuie sa le indeplineasca coeficientii dreptelor pentru a fi in una din pozitiile relative a doua drepte prezentate mai jos, astfel:

Consideram mai intai dreptele date prin ecuatia carteziana generala d:ax+by+c=0

si d^{'}:a^{'}x+b^{'}y+c^{'}=0
dupa cum se stie, doua drepte in plan  pot fi in urmatoarele situatii una fata de cealalata:
– concurenta
– paralele
– confundate
Conditia ca doua drepte sa fie confundate a fost caracterizata astfel: d=d^{'}\Leftrightarrow exista t\neq 0 astfel incat a^{'}=ta,b^{'}=tb, c^{'}=tc
In continuare o sa ne ocupam de situatiile cand dreptele sunt paralele sau concurente.

Daca dreptele d si d’ indeplinesc urmatoarele conditii:
– exista t\neq 0 cu proprietatea a^{'}=ta, b^{'}=tb si d\neq d^{'} atunci dreptele d si d’ sunt paralele.

Daca dreptele d si d’ nu indeplinesc conditia de mai sus, atunci sunt concurente.
Toerema (pozitia relativa a doua drepte in plan)

Fie dreptele d:ax+by+c=0 si d^{'}=a^{'}x+b^{'}y+c^{'}=0
– dreptele d si d’ sunt concurente daca si numai daca ab^{'}-a^{'}b\neq 0
– dreptele d si d’ sunt paralele daca si numai daca a^{'}=ta, b^{'}=tb, c^{'}\neq tc
– dreptele d si d’ sunt confundate daca si numai daca a^{'}=ta, b^{'}=tb, c^{'}=tc
Observatie in conditiile teoremei de mai sus rezulta ca:
a) d si d’ sunt paralele daca si numai daca ab^{'}-a^{'}b=0 si a^{'}c-ac^{'}\neq 0,bc^{'}-b^{'}c\neq 0
b) d si d’ sunt confundate daca si numai daca  ab^{'}-a^{'}b=0,ac^{'}-a^{'}c=0 si bc^{'}-b^{'}c=0.

Drepte date sub forma explicita

Fie dreptele d: y=mx+n si d^{'}:y=m^{'}x+n^{'}

1) dreptele d si d’ sunt concurente, daca si numai daca m\neq m^{'}

2) dreptele d si d’ sunt paralele, daca si numai daca m=m^{'} si n\neq n^{'}

3) dreptele d si d’ sunt paralele, daca si numai daca m=m^{'} si n=n^{'}

Aplicatii:

1) Determinati a, b\in R astfel incat d:ax+3y-8=0 si d^{'}:4x+by+20=0

a) confundate

b) paralele

Solutie:

Observam ca dreptele sunt date prin ecuatia carteziana generala, astfel dreptele d si d’ sunt confundate daca si numai daca a\cdot b-3\cdot 4=0\Rightarrow ab-12=0\Rightarrow ab=12

Dar si a\cdot 20-\left(-8\right)\cdot 4=0\Rightarrow

20a+32=0\Rightarrow 20a=-32\Rightarrow

a=\frac{-32}{20}^{(4}=\frac{-8}{5}

Dar  si 3\cdot 20-\left(-8\right)\cdot b=0\Rightarrow 60+8b=0\Rightarrow 8b=-60\Rightarrow b=\frac{-60}{8}^{(4}=    \frac{-15}{2}

Deci pentru a=\frac{-8}{2} si b=\frac{-15}{2}, dreptele sunt confundate

b) La fel ca si la punctul a dreptele sunt date cu ajutorul ecuatiei carteziene generale, astfel pentru a fi paralele din conditia de la teorema enuntata mai sus avem:

a\cdot b-3\cdot 4=0\Rightarrow ab=12

Dar si a\cdot 20-\left(-8\right)\cdot 4\neq 0

\Rightarrow 20a+32\neq 0\Rightarrow 20a\neq -32\Rightarrow

a\neq \frac{-32}{20}^{(4}\Rightarrow a\neq\frac{-8}{5}

Sau 3\cdot 20-\left(-8\right)\cdot b\neq 0\Rightarrow 60+8b\neq 0\Rightarrow 8b\neq -60\Rightarrow b\neq\frac{-60}{8}^{(4}\Rightarrow b\neq \frac{-15}{2}

Deci a\cdot b=12, dar a\neq\frac{-8}{5} sau b\neq\frac{-15}{2}.

Unghiuri determinate de doua drepte cu o secanta Drepte paralele

Despre unghiuri am mai discutat si in semestrul anterior, dar acum o sa discutam despre unghiuri  determinate de doua drepte cu o secanta .

Incepem prin a defini notiunea de secanta

Definitie: O dreapta care intersecteaza doua drepte paralele in doua puncte distincte se numeste secanta.

Care este secanta intr-o figura

a\cap d=\left\{M\right\}    \\b\cap d=\left\{N\right\}\Rightarrow d este secanta.

Despre unghiuri interne si unghiuri externe am mai discutat, iar notiunile noi pe care le  introducem acum sunt notiunile de: unghiuri corespondente, unghiuri interne de aceasi parte a secantei, dar si unghiuri externe de aceiasi parte a secantei, in figura alaturata o sa arata si care sunt aceste unghiuri.

Tipuri de unghiuri corespondente, alterne interne, alterne externe

Astfel fata de dreptele date  a si b, unghiurile 4, 3, 5, 6 sunt interne, iar unghiurile 1, 2, 7, 8 sunt externe.

Fata de secanta d unghiurile 1, 4, 5, 8   sunt de aceiasi parte a secantei.

La fel si fata de secanta d unghiurile 2, 3, 6,7  sunt de aceiasi parte a secantei.

Iar fata de secanta d unghiurile 2 si 8, 4 si 6 sunt de o parte si de alta a secantei.

Unghiurile determinate de doua drepte paralele cu o secanta se denumesc astfel:

–  unghiuri alterne externe: 1 si 7 sau 2 si 8

– unghiuri alterne interne: 4 si 6 sau 3 si 5

-unghiri corespondente: 2 si 6 sau 3 si 7 sau 1 si 5 sau 4 si 8.

– unghiuri externe de aceiasi parte a secantei d:1 si 8 sau  2 si 7

–  unghiuri interne de aceiasi parte a secantei d: 3 si 6 sau 4 si 5.

Dupa cum bine stiti si despre dreptele paralele am mai discutat, dar acum o sa mai invatam si anumite criteii de paralelism.

Definitie: Doua drepte se numesc paralele daca nu au niciun punct in comun.

Cand doua drepte sunt paralele?

Matematic scriem:
c||d si citim dreapta d este paralela cu dreapta c.
Problema
1) Dreptele paralele a si b sunt taiate de secanta d in punctele a\cap d=\left\{A\right\} si b\cap d=\left\{B\right\}. Prin mijlocul O a segmentului \left[AB\right] se duce o dreapta oarecare e, care intersecteaza pe a in M si pe b in N. Demonstrati ca:
a) \left[MO\right]\equiv\left[NO\right]
b) \left[MB\right]\equiv\left[NA\right]
Demonstratie

cum folosim unghiurile determinate de o secanta
Observam ca
\widehat{MAO}\equiv\widehat{NBO} (unghiuri alterne interne)
Din ipoteza stim ca
\left[AO\right]\equiv\left[BO\right]
Dar din figura observam ca
\widehat{AOM}\equiv\widehat{BON}(ca unghiuri opuse la varf).
Deci cu cazul de congruenta U.L.U
\Delta AOM\equiv\Delta BON
Si astfel gasim si ca
\left[MO\right]\equiv\left[NO\right]

congruenta triunghiurilor
b)
cum folosim unghiurile alterne interne
Stim din ipoteza ca
\left[AO\right]\equiv\left[OB\right]
Mai stim si ca
\widehat{MOB}\equiv\widehat{AON} (ca unghiuri opuse la varf)

\left[MO\right]\equiv\left[NO\right]
Si cu cazul de congruenta L.U.L
\Delta MOB\equiv\Delta NOA
Cum cele doua triunghiuri sunt congruente gasim si ca
\left[MB\right]\equiv\left[NA\right]
2) Fie triunghiul isoscel ABC cu AB=AC in care prelungim inaltimea \left[AD\right] dincolo de D cu segmentul \left[DM\right]\equiv\left[AD\right]. Demonstrati ca
a) AB||CM
b) AC||BM
.
Demonstratie:
unghiuri taiate de o secanta
a) stim din ipoteza ca
\left[AD\right]\equiv\left[MD\right]
\widehat{ADB}\equiv\widehat{MDC} (ca unghiuri opuse la varf)
Stim ca AD este inaltimea corespunzatoare bazei intr-un triunghi isoscel, deci este si mediana, conform proprietatii Triunghiului isoscel, deci \left[BD\right]\equiv\left[DC\right]
Deci mai stim si ca
\left[BD\right]\equiv\left[DC\right]
Deci cu cazul L.U.L \Delta ABD\equiv\Delta MCD
Deci obtinem din congruenta triunghiurilor ca
\widehat{ABD}\equiv\widehat{MCD}
sau mai mult
\widehat{ABC}\equiv\widehat{BCM} BC, fiind secanta, iar unghiurile au pozitia de alterne interne, conform Teoremei de mai sus rezulta ca AB||CM.
b) Stim din ipoteza ca
\left[AD\right]\equiv\left[DM\right]
\widehat{ADC}\equiv\widehat{BDM} (ca unghiuri opuse la varf)
Dar si din punctul a stim ca
\left[BD\right]\equiv\left[DC\right].
Deci cu cazul de congruenta L.U.L \Delta ACD\equiv\Delta MBD
Deci stim si ca
\widehat{ACD}\equiv\widehat{MBD}, dar mai mult
\widehat{ACB}\equiv\widehat{CBM}, avend pozitia de unghiuri alterne interne, conform teoremei de mai sus AC||MB.