Teza clasa a VIII model Semestrul I

                                                Lucrare scrisa la matematica pe semestrul I

Nume:
Prenume:

Subiectul I

1. Rezultatul calculului \left(2\sqrt{2}-1\right)^{2}+2\sqrt{8} este……

2. Daca multimea A=\left\{x\in N^{*}||\frac{2x-1}{3}|< 5\right\}, atunci cel mai mare numar natural din multimea A este…..

3. Media geometrica a numerelor  a=\frac{2}{\sqrt{3}+1}+3-\sqrt{3} si b=\frac{2}{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}}+\left(2+\sqrt{2}\right)^{2} este egala cu ….

4. Scris sub forma de fractie ordinara ireductibila, numarul 0,08(3) este egal cu …

5. Rezultatul calculului 3\sqrt{48}-4\sqrt{12} este egal cu ….

6. Cubul ABCDA’B’C’D’ are muchia de lungime egala cu 8 cm.

a)  Determinati masura unghiului dintre dreptele AC si A’D’, m\left(\widehat{B'C, DC'}\right), precum si m\left(\widehat{AB',\left(ABC\right)}\right), \sin\left(\widehat{BD',\left(ABC\right)}\right)

b) Distanta de la punctul A’ la dreapta BC’

c) Lungimea diagonalei cubului

Subiectul II

1.a) Calculati \frac{20}{\sqrt{12}-\sqrt{2}}-\sqrt{6}\left(2\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)-|\sqrt{2}-2|

b)  Aratati ca numarul x=\left(\frac{2}{\sqrt{20}+3\sqrt{2}}\right)-|3\sqrt{2}-2\sqrt{5}|+\sqrt{\left(-4\right)^{2}} este este patrat perfect.

2. Fie E\left(x\right)=\left(x-1-\frac{x^{2}-1}{x+2}\right):\frac{x-1}{x+2}

a) Determinati valorile lui x pentru care expresia este bine definita

b) Aduceti expresia la forma cea mai simpla

c) Determinati valorile intregi a, pentru care \frac{6}{x+1}\cdot E(a) este numar intreg

3. Consideram tetraedrul ABCD de varf A, cu lungimea lui AB=8 cm

a) Calculati lungimea proiectiei segmentului AB pe planul (BCD)

b) Calculati distanta de la A la CD

c) Calculati distanta  de la A la planul (BCD)

d) Determinati sinusul unghiului dintre dreapta AB si planul (BCD)

Solutie:

1. Ca sa aflam rezultatul calculului folosim formulele de calcul prescurtat ar si scoaterea factorilor e sub radicali:

\left(2\sqrt{2}-1\right)^{2}+2\sqrt{8}=\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-2\cdot 2\sqrt{2}\cdot 1+1^{2}+2\cdot 2\sqrt{2}=8-4\sqrt{2}+1+4\sqrt{2}=9

Deci rezultatul calculului este 9.

2. Ca sa aflam cel mai mare element al multimii, mai intai aflam carui interval apartine elementul x

|\frac{2x-1}{3}|<5\Rightarrow -5<\frac{2x-1}{3}<5|\cdot 3\Rightarrow -15\cdot 3<2x-1<15|+1\Rightarrow -15+1<2x-1+1<15+1\Rightarrow -14<2x<16|:2\Rightarrow -7<x<8

Ca sa rezolvam moului de mai sus am tinut cont de regula

|x|<a\Rightarrow -a<x<a

Iar la inegalitatea gasita, am inmultit cu 3 pentru a obtine o inegalitate cu numitorul 1, apoi am adunat cifra 1 pentru toata inegalitatea si nu in ultimul rand am impartit printr-un 2 si astfel am obtinut intervalul x\in \left(-7, 8\right), adica multimea, dar frara elementul 0, deoarece

x\in N^{*}

A=\left\{1,2, 3, 4, 5, 6, 7\right\}

Deci cel mai mare element al multimii este 7.

3. Ca sa calculam media geometrica a numerelor mai intai calculam numerele:

a=\frac{2}{\sqrt{3}+1}+3-\sqrt{3}=\frac{2\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}+3-\sqrt{3}=\frac{2\left(\sqrt{3}-1\right)}{3-1}+3-\sqrt{3}=\sqrt{3}-1+3-\sqrt{3}=2

Acum calculam b

b=\frac{2}{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}}+\left(2+\sqrt{2}\right)^{2}=\frac{2}{2+2\cdot \sqrt{2}\cdot 1+1^{2}}+4+2\cdot 2\cdot \sqrt{2}+2=\frac{2}{2+2\sqrt{2}+1}+6+4\sqrt{2}=\frac{2}{3+2\sqrt{2}}+6+4\sqrt{2}=\frac{2\left(3-\sqrt{2}\right)}{3^{2}-\left(2\sqrt{2}\right)^{2}}+6+4\sqrt{2}=\frac{6-4\sqrt{2}}{9-8}+6+4\sqrt{2}=6-4\sqrt{2}+6+4\sqrt{2}=6+6=12

Observati ca in cazul exercitiului de mai sus am folosit formulele de calcul prescurtat \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}, dar si rationalizarea  numitorilor de forma \sqrt{a}+b.

Iar media geometrica a numarelor este:

M_{g}=\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{2\cdot 12}=\sqrt{2\cdot 2^{2}\cdot 3}=2\sqrt{6}

Observati ca am scos factorii de sub radicali.

4. Cum transformam fractia zecimala in fractie ordinara 0,08(3)=\frac{83-8}{900}=\frac{75}{900}^{(15}=\frac{75:15}{900:15}=\frac{5}{60}^{(5}=\frac{5:5}{60:5}=\frac{1}{12}

Si am obtinut o fractie ordinara ireductibila.

5. Ca sa aflam rezultatul calculului mai intai scoatem factorii de sub radicali

3\sqrt{48}-4\sqrt{12}=3\sqrt{2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 3}-4\sqrt{2^{2}\cdot 3}=3\cdot 2\cdot 2\sqrt{3}-4\cdot 2\sqrt{3}=12\sqrt{3}-8\sqrt{2}=4\sqrt{3}

 

Probleme rezolvate cu unghiuri Cum transformam fractiile zecimale in fractii ordinare

In acest articol prezentam un exercitiu de algebra de calasa a VI- a prin care ne reamintim cum transformam o fractie zecimala in fractie ordinara, cat si notiunea de fractie ireductibila, dar si o problema rezolvata de geometrie cu unghiuri.

1. Scrie ca fractie ordinara ireductibila :
A) 1,16 egal ……..
B) 1,15 egal ………
C) 1,00016 egal………
Soluite:
Mai intai transformam fractiile zecimale in fractii ordinare si apoi simplificam.
Observam ca avem doar fractii zecimale finitie

Astfel obtinem:
A) 1,16=\frac{116}{100}^{(4}=\frac{116:4}{100:4}=\frac{29}{25}
Cum 29 si 25 sunt prime intre ele obtinem ca fractia de mai sus este ireductibila.

B) \frac{115}{100}^{(5}=\frac{115:5}{100:5}=\frac{23}{20}
Si la fel ca mai sus numerele 23 si 20 fiind prime intre ele rezulta ca fractia este ireductibila, adica (23, 20)=1

C) 1,00016=\frac{100016}{100000}^{(4}=\frac{25004}{25000}^{(4}=\frac{25004:4}{25000:4}=\frac{6251}{6250}

Observam ca mai intai am transformat fractia zecimala in fractie ordinara pentru cei care nu va mai remaintiti click aici.

Mai intai am simplificat fractia ordinara prin 4, apoi iar printr-un 4 si astfel am obtinut la numarator numarul 6251 si la numitor numarul 6250, astfel daca descompunem fiecare numar in parte obtinem ca:
cum descompunem numerele in produs de factori primi
Astfel obtinem 6251=7\cdot 19\cdot 47\cdot 1
Dar si 6250=2\cdot 5^{5}\cdot 1
Iar cel mai mare divizor comun al numerelor este:
(6251,6250)=1, adica numerele sunt prime intre ele, la cel mai mare divizor comun al numerelor luam factorii comuni o singura data la puterea cea mai mica.

Deci important sa stim sa transformam fractiile  zecimale in fractii ordinare, dar si sa cunoastem notiunea de simplificare, adica a simplifica inseamna a imparti atat numitorul cat si numaratorul la acelasi numar, iar o fractie se numeste ireductibila daca cel mai mare divizor comun  a numitorului si numaratorului este 1, adica numerele sunt prime intre ele.

 Problema :Se considera doua drepte a si b concurente in O.Calculati masura fiecarui unghi cu varful in O stiind ca:

a)suma masurilor a doua dintre unghiuri este 108°;
b)suma masurilor a trei dintre unghiuri este 208°
Solutie:
cum arata unghiurile opue la varf
Stim ca suma masurilor a doua dintre unghiuri este de 108^{0}
Daca unghiurile ar fi opuse la varf am avea m\left(\widehat{O_{1}}\right)+m\left(\widehat{O_{3}}\right)=108^{0}

Dar stim ca unghiurile opuse la varf sunt congruente, adica m\left(\widehat{O_{1}}\right)=m\left(\widehat{O_{3}}\right)
Si obtinem: 2m\left(\widehat{O_{1}}\right)=108^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{O_{1}}\right)=108^{0}:2=54^{0}=m\left(\widehat{O_{3}}\right) iar m\left(\widehat{O_{2}}\right)=180^{0}-54^{0}=126^{0}=m\left(\widehat{O_{4}}\right)

Am folosit faptul ca m\left(\widehat{O_{2}}\right)+m\left(\widehat{O_{1}}\right)=180^{0}, iar unghiurile \widehat{O_{2}}, \widehat{O_{4}} sunt unghiuri opuse la varf.
cum aflam masura unghiurilor opuse la varf
b) suma masurilor a trei dintre unghiuri este 208°
Astfel avem ca: m\left(\widehat{O_{1}}\right)+m\left(\widehat{O_{2}}\right)+m\left(\widehat{O_{3}}\right)=208^{0}

Cum unghiurile O_{1} si o_{2} sunt situate pe aceiasi dreapta b  stim ca
m\left(\widehat{O_{1}}\right)+m\left(\widehat{O_{2}}\right)=180^{0}
Iar din relatia de mai sus obtinem 180^{0}+m\left(\widehat{O_{3}}\right)=208^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{O_{3}}\right)=208^{0}-180^{0}=28^{0}
Dar observam ca unghiurile O_{1} si O_{3} sunt opuse la varf adica congruente
Astfel obtinem 28^{0}+m\left(\widehat{O_{2}}\right)+28^{0}=208^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{O_{2}}\right)=208^{0}-56^{0}=152^{0}

Si cum unghiurile O_{4} si O_{2} sunt opuse la varf obtinem si ca
m\left(\widehat{O_{4}}\right)=152^{0}

Asadar e foarte important sa cunoastem notiunile referitoare la unghiuri, adica unghiuri opuse la varf, cum arata un unghi alungit si ce masura are acesta.