Reprezentarea grafica a functiilor

In reprezentarea grafica a functiilor se recomanda parcurgerea urmatoarelor etape:

1.  Se determina domeniul maxim de definitie al functiei si intersectia graficului functiei cu axele de coordonate.

Astfel pentru functiile irationale de forma \sqrt{f\left(x\right)} si pune conditia ca f\left(x\right)\geq 0

– pentru functia logaritimica de forma \log_{a}{f\left(x\right)} se pune conditia ca f\left(x\right)>0

– pentru functiile rationale de forma \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}, g\left(x\right)\neq 0

2. Intersectia graficului functiei cu axele de coordonate:

Intersectia graficului functiei cu axa Ox se  obtine punand conditia y=0\Rightarrow f\left(x\right)=0, adica rezolvam ecuatia de mai sus

Intersectia graficului functie cu axa Oy se obtine punand conditia ca x=0 si calculand f\left(0\right)=y

3. Determinarea semnului functie si eventualele simetrii

– Daca f\left(x\right)\geq 0, graficul functie este situat deasupra axei Ox in semiplanul pozitiv

– Daca f\left(x\right)\leq 0, atunci graficul functie este situat sub axa Ox semiplanul negativ.

O functie are simetrii daca este para sau impara, o functie para este simetrica fata axa Oy, iar o functie impara este simetrica fata de origine,

4. Asimptotele functiei

Calculam limitele la capetele domeniului de definitie, studiem continuitatea si determinam eventualele asimptote daca exista.

5. Studiul functiei folosind prima derivata

Cu ajutorul derivatei intai determinam intervalele de monotonie si punctelede extrem

6. Studiul functiilor folosind derivata a doua

Cu ajutorul derivatei a doua eterminam intervalele de convexitate sau concavitate si punctele de inflexiune

7.  Tabelul de variatie al functiei

Intocmim tabelul de variatie cu datele e lapunctele precendente

8. Trasam graficul functiei

Exemplu:

1) Sa se reprezinte grafic functiile:

a) f:D\rightarrow R, f\left(x\right)=x^{3}-3x^{2}-4

In cazul functiilor polinomiale domeniul maxim de definitie este R, astfel D=R

G_{f}\cap Ox

Calculam

f\left(x\right)=0\Rightarrow x^{3}-3x^{2}-4=0\Rightarrow
x^{3}-2x^{2}-x^{2}-4=0\Rightarrow

x^{2}\left(x-2\right)-\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0\Rightarrow
\left(x-2\right)\left(x^{2}-x-2\right)=0

Deci gasim ca

x-2=0\Rightarrow x=2

Sau

x^{2}-x-2=0\Rightarrow
\Delta =\left(-1\right)^{2}-4\cdot 1\cdot\left(-2\right)=1+8=9

Calculam acum

x_{1}=\frac{1+\sqrt{9}}{2\cdot 1}=\frac{1+3}{2}=\frac{4}{2}=2

Deci ecuatia are doua solutii reale

Dar mai avem si

x_{2}=\frac{1-3}{2}=\frac{-2}{2}=-1

Deci avem

G_{f}\cap Ox=\left\{A\left(2,0\right); B\left(-1,0\right)\right\}

Calculam acum G_{f}\cap Oy, astfel calculam

f\left(0\right)=0^{3}-3\cdot 0^{2}+4=4

Astfel avem C\left(0, 4\right)

Determinam eventualele asimptote, astfel calculam

\lim\limits_{x\to-\infty}{x^{3}-3x^{2}+4}=-\infty

La fel si pentru

\lim\limits_{x\to+\infty}{x^{3}-3x^{2}+4}=+\infty

Deci functia nu are asimptote spre + si -infinit.

Studiul functiei folosind derivata intai:

f^{'}\left(x\right)=\left(x^{3}-3x^{2}+4\right)^{'}=3x^{2}-6x

Acum rezolvam

f^{'}\left(x\right)=0\Rightarrow 3x^{2}-6x=0\Rightarrow 3x\left(x-2\right)=0

Astfel obtinem fie

x=0

Sau

x-2=0\Rightarrow x=2

Acum intocmim tabelul de variatie pentru derivata I, astfel avem

intervalele de monotonie ale unei functii
Studiul functiei folosind derivata a doua:

Astfel avem
f^{''}\left(x\right)=\left(3x^{2}-6x\right)^{'}=6x-6
Rezolvam acum
f^{''}\left(x\right)=0\Rightarrow 6x-6=0\Rightarrow 6x=6\Rightarrow x=1
Intocmim tabelul de variatie pentru derivata a doua
concavitatea si convexitatea functiilor
Acum trasam graficul functiei
graficul unei functii

Rolul derivatei a doua in studiul functiilor Determinarea intervalelor de convexitate si concavitate

Dupa ce am invatat rolul derivatei intai in studiul functiilor dar si a punctelor de extrem, a venit vremea sa discutatm despre rolul derivatei a doua, in studiul functiilor dar si intervalelor de convexitate si concavitate.
Dar mai intai sa definim notiunea de convexitate si concavitate:

a) Functia f:I\rightarrow R, I un interval de numere reale, se numeste functia convexa pe intervalul I, daca pentru oricare x_{1}, x_{2}\in I si oricare t\in\left[0,1\right] are loc inegalitatea
f\left[\left(1-t\right)x_{1}+tx_{2}\right]\leq\left(1-t\right)f\left(x_{1}\right)+tf\left(x_{2}\right)

b) Functia f:I\rightarrow R, I un interval de numere reale, se numeste functia concava pe intervalul I, daca pentru oricare x_{1}, x_{2}\in I si oricare t\in\left[0,1\right] are loc inegalitatea
f\left[\left(1-t\right)x_{1}+tx_{2}\right]\geq\left(1-t\right)f\left(x_{1}\right)+tf\left(x_{2}\right)

Dupa ce am definit notiunile teoretice prezentam un criteriu practic pentu a stabili daca o functie (de doua ori derivabila) este convexa sau concava pe un interval folosind semnul derivatei a doua a functiei.

Teorema

Fie f:\left[a,b\right]\rightarrow R, a<b o functie care verifica conditiile:

a) f este continua pe intervalul inchis \left[a,b\right]
b) f este derivabila de doua ori pe intervalul deschis \left(a, b\right)

Atunci:

1) daca f^{''}\left(x\right)\geq 0,\forall x\in\left(a,b\right), rezulta ca functia f este convexa pe intervalul inchis \left[a,b\right)
2) daca f^{''}\left(x\right)\leq 0,\forall x\in\left(a,b\right), rezulta ca functia f este concava pe intervalul inchis \left[a,b\right)
Modul practic de determinare a intervalelor de convexitate si de concavitate a functiei f:\rightarrow R este urmatorul:

1) Se calculeaza derivata a doua f^{''} pe domeniul de existenta D_{f^{''}}\subset D
2) Se rezolva ecuatia f^{''}\left(x\right)=0 pe multimea D_{f^{''}}
3) Se descompune domeniul de definitie al functiei in intervalele disjuncte pe care f^{''} nu se anuleaza(prin intermediul zerourilor derivatei a doua si eventual al punctelor in care functia f nu se anuleaza de doua ori)
4) Se determina semnul derivatei a doua pe fiecare interval obtinut la 3)

Astfel daca f^{''}>0 pe un interval, rezulta ca functia este convexa pe acel interval
Daca f^{''}<0 pe un interval, rezulta ca functia este concava pe acel interval

Exemplu:

1) Sa se determine intervalele de convexitate/ concavitate pentru
a) f:D\rightarrow R, f\left(x\right)=\frac{x^{2}-1}{x-2}
Stabilim mai intai domeniul de definitie, astfel avem:
x-2\neq 0\Rightarrow x\neq 2
Deci D=R-\left\{2\right\}
Calculam acum
f^{'}\left(x\right)=\left(\frac{x^{1}-1}{x-2}\right)^{'}=\frac{\left(x^{2}-1\right)^{'}\cdot\left(x-2\right)-\left(x^{2}-1\right)\cdot\left(x-2\right)^{'}}{\left(x-2\right)^{2}}=\frac{2x\left(x-2\right)-\left(x^{2}-1\right)\cdot 1}{\left(x-2\right)^{2}}=\frac{2x^{2}-4x-x^{2}+1}{\left(x-2\right)^{2}}=\frac{x^{2}-4x+1}{\left(x-2\right)^{2}}
Acum calculam:

f^{''}\left(x\right)=\left(f\left(x\right)\right)^{'}=\left(\frac{x^{2}-4x+1}{\left(x-2\right)^{2}}\right)^{'}=
\frac{\left(2x-4\right)\cdot\left(x-2\right)^{2}-\left(x^{2}-4x+1\right)\cdot\left[2\left(x-2\right)\cdot 1\right]}{\left(x-2\right)^{4}}=
\frac{\left(x-2\right)\cdot\left[\left(2x-4\right)\left(x-2\right)-2\left(x^{2}-4x+1\right)\right]}{\left(x-2\right)^{4}}=
\frac{2x^{2}-4x-4x+8-2x^{2}+8x-2}{\left(x-2\right)^{3}}=\frac{6}{\left(x-2\right)^{3}}

Deci obtinem ca f^{''}\left(x\right)\neq 0, \forall x\in R-\left\{2\right\}
Mai calculam si
\lim\limits_{x\to -\infty}{f\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to -\infty}{\frac{x^{2}-1}{x-2}}=\lim\limits_{x\to -\infty}{\frac{2x}{1}}=-\infty
Ca sa calculam limita de mai sus am aplicat regula lui L’Hospital.

Calculam acum si \lim\limits_{x\to+\infty}{f\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to +\infty}{\frac{x^{2}-1}{x-2}}=\lim\limits_{x\to +\infty}{\frac{2x}{1}}=+\infty

Dar si \lim\limits_{x\to 2\;\;x<2}{\frac{x^{2}-1}{x-2}}=\frac{4}{{-}_0}=-\infty
\lim\limits_{x\to 2\;\;x>2}{\frac{x^{2}-1}{x-2}}=\frac{4}{{+}_0}=+\infty
Tabelul pentru studiul convexitatii/ concavitatii functiei f este:
studiul convexitatii si concavitatii unei functii
Astfel observam ca functia f este
convexa pe intervalul \left(2,+\infty\right) si concava pe intervalul \left(-\infty,2\right)
b) f:D\rightarrow R, f\left(x\right)=\ln x+\frac{x^{2}}{2}
Aflam mai intai domeniul e definitie al functiei, astfel punem conditia ca
x>0\Rightarrow x\in\left(0,+\infty\right)
Astfel functia f este definita pe f:\left(0,+\infty\right)\rightarrow R
Acum calculam:
f^{'}\left(x\right)=\left(\ln x+\frac{x^{2}}{2}\right)^{'}=\frac{1}{x}+\frac{2x\cdot 2-x^{2}\cdot 0}{4}=\frac{1}{x}+\frac{4x}{x}=\frac{1}{x}+x

Ca sa calculam prima derivata am folosit regula de calul \left(\frac{f}{g}\right)^{'}=\frac{f^{'}\cdot g-f\cdot g^{'}}{g^{2}}
unde f=x^{2} si g=2
Calculam acum
f^{''}\left(x\right)=\left(f^{'}\left(x\right)\right)^{'}=\left(\frac{1}{x}+x\right)^{'}=-\frac{1}{x^{2}}+1=\frac{-1+x^{2}}{x^{2}}
La derivata a doua la fel am alicat formula de mai sus sau mai stim si direct ca \frac{1}{x}=-\frac{1}{x^{2}}
Acum calculam
f^{''}\left(x\right)=0\Rightarrow -1+x^{2}=0\Rightarrow x^{2}=1\Rightarrow x=\pm 1
Cum domeniul de definitie este \left(0,+\infty\right) rezulta ca doar x=1 este solutie a ecuatiei.
Calculam acum
\lim\limits_{x\to 0 x>0}{f\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to 0 x>0}{\ln x+\frac{x^{2}}{2}}=-\infty
Dar si
\lim\limits_{x\to +\infty}{f\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to +\infty}{\ln x+\frac{x^{2}}{2}}=+\infty

Acum realizam tabelul de variatie:
Calculam acum
f^{''}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{-1+\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}}=\frac{\frac{-4+1}{4}}{\frac{1}{4}}=\frac{\frac{-3}{4}}{\frac{1}{4}}=\frac{-3}{4}\cdot\frac{4}{1}=-3
Deci pe intervalul \left(0,1\right) f^{''}\left(x\right)<0, deci finctia este concava
Acum calculam:
f^{''}\left(2\right)=\frac{-1+2}{4}=\frac{1}{4}>0
Deci pe intervalul \left(1,+\infty\right), f^{''}\left(x\right)>0, functia este convexa.
cand o functie este concava