Polinoame ireductibile

Introducem notiunea de polinom ireductibil peste un corp comutativ K.

Din scoala gimnaziala vi s-a introdus notiunea de ireductibil, adica fractie ireductibila ( fractia nu se mai poate simplifica), asemenea putem intelege si ca un polinom se numeste ireductibil daca nu se poate scrie ca produs de doua  sau mai multe polinoame.

Dar aratam in continuare ca polinomele ireductibile au in aritmetica inelului  K[X], rolul pe care il au numerele prime in aritmetica lui Z.

Definitie: Fie K un corp comutativ si f\in K[X], grad f=n>0. Spunem ca polinomul f este ireeductibil peste K, daca nu exista g, h\in K[X], astfel incat: f=g\cdot h, cu grad g<n si grad h<n

In caz contrar spunem ca polinomul  f este ireductibil.

Proprietati:

1. Orice polinom f\in K[X] de grad 1 este ireductibil peste K.

Exemple de polinoame ireductibile :

2X-3\in Q[X] este ireductibil peste Q

X+\sqrt{2}\in R[X] este ireductibil peste R.

3X+2\in Z_{5}[X] este ireductibil peste Z_{5}

2. Daca un polinom f\in K[X], grad\;\; f=n>1este ireductibil peste K, atunci f\left(a\right)=\neq 0, oricare ar fi a\in K, adica polinomul f nu are radacini in K.

Dar si reciproca :

Daca grad\;\; f=n este egal cu 2 sau 3 si f\left(a\right)\neq 0, \forall a\in K, atunci f este ireductibi peste K.

Exemple:

a) Polinomul X^{2}-2\in Q[X] este ireductibil peste Q

Intr-adevar, dar ar fi reductibil peste Q, ar insemna ca exista r\in Q, astfel incat r^{2}-2=0, de unde obtinem r^{2}=2\Rightarrow r=\pm\sqrt{2} si obtinem \sqrt{2}\in Q, contradictie.

Dar polinomul X^{2}-2\in R[X] este ireductibil peste R, pentru ca X^{2}-2=0\Rightarrow X^{2}=2\Rightarrow X=\pm \sqrt{2}

Adica polinomul putem sa-l scriem X^{2}-2=\left(X-\sqrt{2}\right)\cdot\left(X+\sqrt{2}\right), cu X-\sqrt{2}\in R[X] si X+\sqrt{2}\in R[X].

Important e sa stim multimile de numere.

In contiuare vom determina polinoamele ireductibile peste corpul C al numerelor complexe, si peste corpul R al numerelor reale, astfel vom folosi Teorema fundamentala a algebrei.

Teorema:

Oricare ar fi f\in C[X], grad\;\; f>0, exista z\in C, astfel incat f\left(z\right)=0, astfel spus orice polinom de grad mai mare sau egal decat 1, avand coeficienti complecsi admite cel putin o radacina complexa.

Observatie. Singurele polinoame ireductibile peste C sunt polinoamele de gradul I din C[X].

Teorema. Daca z este o radacina complexa a polinomului f\in R[X], atunci si \overline{z} este o radacina a lui f.

Observatie: Singurele polinoame ireductibile peste corpul R, al numerelor reale sunt:

– polinoamele de gradul  intai:aX+b, a,b\in R, a\neq 0

– polinoamele de gradul al doilea: aX^{2}+bX+c, cu a\b, c\in R, a\neq 0, b^{2}-4\cdot a\cdot c<0(adica cele care nu au radacini reale).

Aplicatii:

1. Fie polinoamele:

f, g\in R[X], f=\left(X^{2}+X+1\right)^{9}, g=X^{2}+1

a) Aratati ca g|f

b) Stabiliti daca polinomul g este ireductibil peste R.

c)  Stabiliti daca polinomul g este ireductibil peste C.

d) Stabiliti daca polinomul f este ireductibil peste R.

e)  Stabiliti daca polinomul f este ireductibil peste C.

Solutie:

a) Stim ca g\left(X\right)=0\Rightarrow X^{2}+1=0\Rightarrow X^{2}=-1\Rightarrow X^{2}=i^{2}\Rightarrow X=\pm\sqrt{i^{2}}\Rightarrow X=\pm i

Astfel polinomul g\left(X\right)=\left(X-i\right)\cdot\left(X+i\right).

Astfel polinomul g|f, daca si numai daca:

f\left(i\right)=0\Rightarrow \left(i^{2}+i+1\right)^{0}=0

f\left(-i\right)=0\Rightarrow\left[\left(-i\right)^{2}+\left(-i\right)+1\right]^{9}=0

b) g=X^{2}+1

Daca calculam \Delta=b^{2}-4\cdot a\cdot c=0^{2}-4\cdot 1\cdot 1=-4<0

Cum \Delta<0, polinomul este ireductibil in R[X].

c) g=X^{2}+1=\left(X+i\right)\cdot\left(X-i\right), deci polinomul g este reductibil peste C.

d) f=\left(X^{2}+X+1\right)^{9}

Astfel, ecuatia x^{2}+x+1=0

Calculam \Delta =1^{2}-4\cdot 1\cdot 1=-3, deci polinomul este ireductibil peste R.

e) Acum sa vedem daca este sau nu ireductibil peste C

Stim ca \Delta=-3 deci obtinem x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2\cdot a}=\frac{-1+\sqrt{3i^{2}}}{2\cdot 1}=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}

Si x_{2}=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}

Deci polinomul f=\left[\left(X-\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)\cdot\left(X-\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\right)\right]^{9}=\left[\left(X-\frac{1-i\sqrt{3}}{2}\right)\cdot\left(X+\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\right)\right]^{9}, deci este reductibil peste C.

Asadar este foarte important sa cunoastem notiunea de polinom ireductibil peste anumite corpuri.