Exercitii rezolvate cu criteriile de divizibilitatii

Prezentam trei exercitii care se rezolva cu ajutorul criteriilor de divizibilitate.
1. Cate nr de trei cifre avand ultima cifra egala cu 2 sunt divizibile cu 3 .
2. Cate nr de forma 2ab sunt divizibile cu 5.
3. Cate nr de forma ab6c sunt divizibile cu 2 dar cu 5 ?
Solutie:

1. Stim ca numerele de forma \bar{abc} trebuie sa fie divizibile cu 3, dar cum stim ca ultima cifra este egala cu 2, numarul devine: \bar{ab2}
Iar daca folosim criteriul de divizibilitate cu 3 stim ca un numar este divizibil cu trei daca suma cifrelor este divizibila la trei.
Astfel numarul devine: \left(a+b+2\right)\vdots 3
Cum a nu poate sa fie 0, luam pentru inceput a=1
si obtinem \left(1+b+2\right)\vdots 3\Rightarrow \left(3+b\right)\vdots 3
Astfel daca luam b=0, obtinem \left(3+0\right)\vdots 3
Deci primul numar care l-am gasit este 102
Acum daca luam b=3, obtinem numarul 132 care este divizibil cu 3
Daca luam b=6, obtinem numarul 162, care la fel este divizibil cu 3
Daca luam b=9, obtinem numarul 192, care la fel este divizibil cu 3.
Dar acum putem lua si a=2 si numarul devine \left(2+b+2\right)\vdots 3\Rightarrow \left(4+b\right)\vdots 2
Deci pentru b=2, numarul devine 222, care la fel este divizibil cu trei, deoarece \left(4+2\right)\vdots 3\Rightarrow 6\vdots 3
Pentru b=5, numarul devine 252, care este divizibil cu 3
Pentru b=8, numarul devine 282, care este divizibil cu 3 si am terminat cu a=2, deoarece daca mai incercam sa gasim un numar divizibil cu 3, pentru b trebuie sa luam o cifra si nu un numar.
Pentru a=2, numarul devine \bar{3b2} si ca sa fie divizibil cu trei suma cifrelor trebuie sa fie divizibila cu trei \left(3+b+2\right)\vdots 3\Rightarrow\left(5+b\right)\vdots 3

Astfel daca luam b=4, numarul devine 342, care este divizibil cu trei
Daca luam b=7, numarul devine 372, care este divizibil cu 3
Si astfel am terminat si pentru a=3
Acum pentru a=4, numarul devine \bar{4b2}\vdots 3\Rightarrow \left(6+b\right)\vdots 3
Pentru b=3, obtinem numarul 432, care este divizibil cu 3
Pentru b=9, obtinem numarul 492, care este divizibil cu 3 si astfel am terminat si pentru a=4 si b=9
Acum pentru a=5, numarul devine \bar{5b2}\vdots 3\Rightarrow \left(7+b\right)\vdots 3
Deci pentru b=2, numarul devine 522 si este divizbil cu 3
Pentru b=5, numarul devine 552 la fel este divizibil cu 3
Pentru b=8, numarul devine 582, care este divizibil cu 3

Acum pentru a=6, numarul devine \bar{6b2}\vdots 3\Rightarrow \left(8+b\right)\vdots 3
Iar pentru b=1, numarul devine 612, divizibil cu 3
Pentru b=4, numarul devine 642, divizibil cu 3
Pentru b=7, numarul devine 672, divizibil cu 3
Pentru a=7, numarul devine \bar{7b2}\vdots 3\Rightarrow \left(9+b\right)\vdots 3
Pentru b=0, numarul devine 702, divizibil cu 3
Pentru b=3, numarul devine 732, divizibil cu 3
Pentru b=6, numarul devine 762 divizibil cu 3
Pentru b=9, numarul devine 792, divizibil cu 3

Pentru a=8, numarul devine \bar{8b2}\vdots 3\Rightarrow \left(10+b\right)\vdots 3
Pentru b=2, numarul devine 822, divizibil cu 3
Pentru b=5, numarul devine 852 divizibil cu 3
Pentru b=8 , numarul devine 882, divizibil cu 3
si pentru a=9, numarul devine \bar{9b2}\vdots 3\Rightarrow \left(11+b\right)\vdots 3
Pentru b=1, numarul devine 912, divizibil cu 3
Pentru b=4, numarul devine 942, divizibil cu 3
Pentru b=7, numarul devine 972, divizibil cu 3

2. Cate nr de forma 2ab sunt divizibile cu 5.
Ca numerele sa fie divizibile cu 5 folosim criteriul de divizibilitate cu 5, adica ultima cifra trebuie sa fie 0 sau 5, astfel pentru inceput, daca luam b=0 numarul devine
2a0 iar cifra a poate sa fie a\in\left(0,1, 2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\right\}
deci numerele pe care le gasim sunt 200; 210; 220; 230; 240; 250; 260; 270; 280; 290
dar ultima cifra poate sa fie si 5, dupa cum am spus mai sus, astfel numrul devine
2a5, iar numerele divizibile cu 5 sunt:
205; 215; 225; 235; 245; 255; 265; 277; 285; 295.

3. Cate nr de forma ab6c sunt divizibile cu 2, dar cu 5?
Ca sa vedem cate numere sunt divizibile cu 2, folosim criteriu de divizibilitate cu 2, deci c poate sa fie 0 2, 4, 6, 8, iar a poate sa ia valorile 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 si b=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Iar ca sa fie divizibile cu 5 folosim criteriul de divizibilitate cu 5, deci ultima cifra trebuie sa fie 0 sau 5, iar a si b la fel ca mai sus.