Exercitii rezolvate cu ordinea efectuarii operatiilor

Prezentam un exercitiu rezolvat unde folosim ordinea efectuarii operatiilor si folosirea parantezelor.

\left\{0,2+\left[\left(\frac{3}{2}\right)^{2}\cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{3} + \left(-\frac{1}{3}\right) :\left(\frac{2}{3}\right)^{2}\right] :\left(-^{2)}\frac{2}{3}+^{3)}\frac{1}{2}\right)\right\}\cdot\left(\sqrt{-5}\right)^{2}

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus  respectam ordinea efectuarii operatiilor si folosirea parantezelor. Adica mai intai in paranteza dreapta efectuam ridicarea la putere prin folosirea regulilor de calcul cu puteri \left\{\frac{2}{10}^{(2}+\left[\frac{3^{2}}{2^{2}}\cdot\frac{2^{3}}{3^{3}}+\left(-\frac{1}{3}\right):\frac{2^{2}}{3^{2}}\right]:\left(-\frac{2\cdot 2}{6}+\frac{3\cdot 1}{6}\right)\right\}\cdot 5

Ca sa intelegem de ce \left(\sqrt{-5}\right)^{2}=\sqrt{-5}\cdot\sqrt{-5}=+5

Acum efectuam ridicarea la putere si obtinem \left\{\frac{1}{5}+\left[\frac{9}{4}\cdot\frac{8}{27}+\left(-\frac{1}{3}\right):\frac{4}{9}\right]:\left(-\frac{4}{6}+\frac{3}{6}\right)\right\}\cdot 5=    \left\{\frac{1}{5}+\left[\frac{1}{1}\cdot\frac{2}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)\cdot\frac{9}{4}^{(3}\right]:\left(\frac{-4+3}{6}\right)\right\}\cdot 5

Observati ca am mai efectuat anumite simplificari pentru a ne simplifica calculele, acum observam ca ne dispare paranteza rotunda, iar cea dreapta se transforma in rotunda si acolada in dreapta.

\left[\frac{1}{5}+\left(\frac{2}{3}-\frac{3}{4}\right):\left(-\frac{1}{6}\right) \right]\cdot 5=

Acum in prima paranteza aducem la acelasi numitor

Observat ca numitorul comun este 12 si obtinem \left[\frac{1}{5}+\left(\frac{8}{12}-\frac{9}{12}\right)\cdot\left(-\frac{6}{1}\right)\right]\cdot 5

Observati ca mai sus am efectuat si impartirea celor doua paranteze, adica prima fractie inmultita cu inversul celei de-a doua \left[\frac{1}{5}+\left(\frac{8-9}{12}\right)\cdot\left(-\frac{6}{1}\right)\right]\cdot 5=    \left[\frac{1}{5}+\left(-\frac{1}{12}\right)\cdot\left(-\frac{6}{1}^{(6}\right)\right]\cdot 5=    \left[\frac{1}{5}+\left(+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1}\right)\right]\cdot 5=    \left(^{2)}\frac{1}{5}+^{5)}\frac{1}{2}\right)\cdot 5=    \left(\frac{2\cdot 1}{10}+\frac{5\cdot 1}{10}\right)\cdot 5=\left(\frac{2}{10}+\frac{5}{10}\right)\cdot 5=\frac{2+5}{10}\cdot 5=\frac{7}{10}\cdot 5^{(5}=\frac{7}{2}\cdot 1=\frac{7}{2}

Si astfel am obtinut rezultatul \frac{7}{2}

2. Irina are de rezolvat 16 probleme de matematica . Poate sa rezolve in timp de doua zile repartizand un nr egal de probleme in fiecare zi ? Dar in trei zile ? Dar in patru ? Justificati.

Poate sa rezolve cele 16 probleme in doua zile si in fiecare zi acelasi numar de probleme, deoarece 16:2=8

Daca ar fi sa rezolve cele 16 probleme in 3 zile, nu se poate deoarece 16:3=5 rest 1, adica in 2 zile ar rezolva 5 probleme si in a treia zi ar rezolva 6 probleme.

Iar in patru zile poate sa rezolve problemele, adica in fiecare zi ar rezolva cate 4 probleme.

 

Ordinea efectuarii operatiilor in multimea numerelor rationale pozitive

Dupa ce am invatat ordinea efectuarii operatiilor in multimea numerelor naturale, astazi o sa discutam despre Ordinea efectuarii operatiilor in multimea numerelor rationale.

Deci pe multimea numerelor rationale pozitie definim operatiile: adunarea numerelor rationale, scaderea numerelor rationale, inmultirea numerelor rationale impartirea numerelor rationale si ridicarea la putere cu exponent naturala unui numar rational.

Ordinea efectuarii operatiilor si folosirea parantezelor este aceeasi ca si la multimea numerelor naturale, adica prima data intr-un exercitiu mai intai
– se efctueaza ridicarea la putere, inmultirile si impartirile adunarea si scaderea in ordinea in care apar
– daca intr-un exercitiu exista si paranteze rotunde, drepte si acolade se efectueaaza prima data paranteza rotunda, apoi cea dreapta si ultima data acolada.

Exemplu:
1) Efectuati:
a) \frac{7}{5}+3^{2}\cdot\left(5-3\cdot\frac{2}{12}\right)=  \frac{7}{5}+9\cdot\left(5-\frac{3\cdot 2}{12}\right)=  \frac{7}{5}+9\cdot\left(5-\frac{6}{12}\right)=  \frac{7}{5}+9\cdot\left(5-\frac{1}{2}\right)=  \frac{7}{5}+9\cdot\frac{2\cdot 5-1\cdot 1}{2}=  \frac{7}{5}+9\cdot\frac{10-1}{2}=\frac{7}{5}+9\cdot\frac{9}{2}=  \frac{7}{5}+\frac{81}{2}=\frac{2\cdot 7+5\cdot 81}{10}=\frac{14+405}{10}=\frac{449}{10}=44,9

b) \left[\frac{1}{3}+\frac{1}{3}:\left(1-\frac{1}{3}\right)\right]:\frac{3}{2}=  \left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}:\frac{3\cdot 1-1\cdot 1}{3}\right):\frac{3}{2}=  \left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}:\frac{3-1}{3}\right):\frac{3}{2}=  \left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}\right):\frac{3}{2}=  \left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\right):\frac{3}{2}=  \frac{2\cdot 1+3\cdot 1}{6}:\frac{3}{2}=  \frac{2+3}{6}:\frac{3}{2}=  \frac{5}{6}\cdot\frac{2}{3}=  \frac{5}{9}

La exercitiul b) am tinut cont de ordinea efectuarii operatiilor dar si de paranteze, adica mai intai am efectuat scaderea in paranteza rotunda, apoi paranteza dreapta s-a transformata in paranteza rotunda si am efectuat impartirea rezultata din noua paranteza rotunda. De unde am obtinut din nou o adunare pe care am efectuat-o cu regula pe care am invatat-o la adunarea numerelor rationale pozitive, iar apoi am folosit si impartirea numerelor rationale pozitive, dar si inmultirea numerelor rationale pozitive, pe unde am putut am si simplificat.

c) 21\frac{1}{5}:\left(7\frac{1}{5}-3\frac{1}{10}+6\frac{1}{2}\right)+\frac{2}{3}\cdot\left(\frac{5}{2}-\frac{5}{9}\right):\frac{1}{27}=  \frac{21\cdot 5+1}{5}:\left(\frac{7\cdot 5+1}{5}-\frac{3\cdot 10+1}{10}+\frac{6\cdot 2+1}{2}\right)+\frac{2}{3}\cdot\left(\frac{9\cdot 5-2\cdot 5}{18}\right):\frac{1}{27}=  \frac{106}{5}:\left(\frac{36}{5}-\frac{31}{10}+\frac{13}{2}\right)+\frac{2}{3}\cdot \frac{45-10}{18}:\frac{1}{27}=  \frac{106}{5}:\left(\frac{2\cdot 36-1\cdot 31+5\cdot 13}{10}\right)+\frac{2}{3}\cdot \frac{35}{18}:\frac{1}{27}=  \frac{106}{5}:\left(\frac{72-31+65}{10}\right)+\frac{1}{3}\cdot\frac{35}{9}\cdot\frac{27}{1}=  \frac{106}{5}:\frac{106}{10}+\frac{35}{27}\cdot\frac{27}{1}=  \frac{106}{5}\cdot\frac{10}{106}+\frac{35}{1}\cdot\frac{1}{1}=  \frac{1}{1}\cdot\frac{2}{1}+\frac{35}{1}=  \frac{2}{1}+\frac{35}{1}=37

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus mai intai am introdus intregii in fractii, apoi in paranteza am adus la acelasi numitor comun si am efectuat calculele, folosind atat adunarea numerelor rationale pozitive cat si inmultirea si impartirea numerelor rationale pozitive.

Foarte important ;Putem sa simplificam doar cand avem inmultire sau impartire.

Ordinea efectuarii operatiilor Folosirea parantezelor la rapoarte algebrice

Dupa ce am invatat sa inmultim doua rapoarte sa impartim doua rapoarte sa scadem si sa adunam doua rapoarte algebrice, astazi o sa efectuam operatii cu rapoarte algebrice, care dupa cum v-am spus joaca un rol important pentru examenul de Evaluare Nationala .

Cu rapoartele algebrice efectuam urmatoarele tipuri de operatii:

– de ordinul I (adunarea si scderea)

– de ordinul II (inmultirea si impartirea )

-de  ordinul III (ridicarea la putere).

Calculul cu rapoarte algebrice se face respectand regulile pe  care le respectam si cand efctuam operatii cu numere rationale.

Astfel avem urmatoarele reguli:

– daca avem operatii de acelasi ordin, se efectueaza operatiile in care apar, in ordinea in care sunt scrise

– daca avem operatii de ordin diferit, se efectueaza mai intai operatiile de gradul III, apoi cele de gradul II si in final cele de gradul I, iar daca apar si paranteze , efectuam mai intai operatiile din parantezele rotunde, apoi cele patrate, si, ultima data cele din acolade.

Prezentam cateva exemple care sa ne faca sa intelegem ce am spus mai sus:

Exemplu:

1) Efectuati:

a) \frac{x^{2}+1}{x}-\frac{x^{2}}{x+1}-\frac{1}{x+x^{2}}-\frac{x^{2}-1}{x^{2}+2x+1}:\frac{x-1}{x+1}=    \frac{x^{2}+1}{x}-\frac{x^{2}}{x+1}-\frac{1}{x\left(1+x\right)}-\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)^{2}}\cdot\frac{x+1}{x-1}=\frac{x^{2}+1}{x}-\frac{x^{2}}{x+1}-\frac{1}{x\left(1+x\right)}-\frac{1}{x+1}\cdot\frac{x+1}{1}=\frac{x^{2}+1}{x}-\frac{x^{2}}{x+1}-\frac{1}{x\left(1+x\right)}-\frac{x+1}{x+1}=\frac{x^{2}+1}{x}-\frac{x^{2}}{x+1}-\frac{1}{x\left(1+x\right)}-1=\frac{\left(x^{2}+1\right)\cdot\left(x+1\right)-x\cdot x^{2}-1-x\left(x+1\right)}{x\left(x+1\right)}=\frac{x^{3}+x^{2}+x+1-x^{3}-1-x^{2}-x}{x\left(x+1\right)}=\frac{0}{x\left(x+1\right)}=o

Ca sa rezolvam raportul de mai sus prima data am tinut cont de ordinea efectuarii operatiilor, adica am efectuat prima data impartirea, am dat factor comun pe unde am putut iar apoi am simplificat la produs unde am putut.  Apoi am adus la acelasi numitor rapoartele rezultate (adica am descompus numitorii in produs de factorii primii si am gasit c.m.m.m.c al numitorilor si apoi am amplificat fiecare fractie), am efectuat calculele si am observat ca la numaratori  s-au redus toti termenii si am obtinut rezultatul 0.

2) Fie expresia

E\left(x\right)=\left(\frac{x+2}{x+3}+\frac{x-2}{x-3}-\frac{x^{2}-3}{x^{2}-9}\right)\cdot\frac{x^{2}-4}{x^{2}+4x+4}

a) Determinati valorile lui x pentru care expresia este bine definita.

b) Aratati ca E\left(x\right)=\frac{x-2}{x+2}

c) Rezolvati ecuatia 2\cdot E\left(x\right)=1

a) Ca sa aflam valorile lui x pentru care expresia este bine definita punem conditia ca numitorii sa fie diferiti de 0:

x+3\neq 0 \Rightarrow x\neq -3    \\ x-3\neq 0\Rightarrow x\neq 3    \\ x^{2}+4x+4\neq 0\Rightarrow \left(x+2\right)^{2}\neq 0\Rightarrow x=-2

Deci domeniul de definitie al raportului este x\in R-\left\{3, -3, -2\right\}

Ca sa aflam valorile lui x rezolvam toate ecuatiile de la numitorii rapoartelor si astfel le aflam.

b) Ca sa aducem expresia la forma procedam astfel:

Rezolvam mai intai  paranteza, iar in paranteza descompunem numitorii in produs de factori primi si gasim numitorul comun:

E\left(x\right)=\left(\frac{x+2}{x+3}+\frac{x-2}{x-3}-\frac{x^{2}-3}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\right)\cdot\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)^{2}}=

 

\left(\frac{\left(x-3\right)\left(x+2\right)+\left(x+3\right)\left(x-2\right) -1\cdot \left(x^{2}-3\right)}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}\right)\cdot\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)^{2}}=

\left(\frac{x^{2}+2x-3x-6+x^{2}-2x+3x-6-x^{2}+3}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\right)\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)^{2}}=

\left(\frac{x^{2}-9}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\right)\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)^{2}}=    \left(\frac{x^{2}-9}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}\right)\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)^{2}}=    \left(\frac{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}\right)\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)^{2}}=\frac{x-2}{x+2}

c) Rezolvam ecuatia 2\cdot E\left(x\right)=1\Rightarrow 2\cdot\frac{x-2}{x+2}=1\Rightarrow \frac{x-2}{x+2}=\frac{1}{2}\Rightarrow 2\cdot\left(x-2\right)=1\cdot\left(x+2\right)\Rightarrow 2x-4=x+2\Rightarrow x=6

Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus in locul expresiei am pus valoarea pe care am gasit-o la b, apoi am facut produsul mezilor egal cu produsul extremilor, iar restul este o rezolvare de clasa a V-a  si astfel am gasit solutia ecuatiei.

Deci, important la operatii cu rapoarte , este sa stim foarte bine descompunerea rapoartelor, formulele de calcul prescurtat (ca sa putem sa restrangem patratele) si sa gasim corect numitorul comun.