Perpendicularitatea Inaltimea in triunghi Concurenta inaltimilor intr-un triunghi

 Despre perpendicularitate si inaltimea intr-un triunghi

Dupa ce am definit notiunea de triunghi si am invatat elementele sale, dar si tipurile de triunghi precum si cum sa aratam ca doua triunghiuri sunt congruente, adica congruenta triunghiurilor, a venit vremea sa discutam despre
Perpendicularitatea, Inaltimea intr-un triunghi, Concurenta inaltimilor intr-un triunghi
Despre Perpendicularitate am mai auzit, dar haideti sa ne reamintim, astfel :
Definitie Doua drepte se numesc perpendiculare daca formeaza un unghi de 90^{0}.
Cand doua drepte sunt perpendiculare
g\perp d daca si numai daca m\left(\prec g, d\right)=90^{0}.
Acum definim inaltimea intr-un triunghi.
Definitie: Perpendiculara construita din varful triunghiului pe latura opusa se numeste inaltime.
Care este inaltimea intr-un triunghi
Redactarea simbolurilor
AD inaltime in triunghiul ABC, daca si numai daca AD\perp BC
Observatie: Punctul D se numeste piciorul inaltimii din A, iar BC este baza triunghiului, sau AD este inaltimea corespunzatoare laturii BC in triunghiul ABC.
Orice triunghi are trei inaltimi.
Concurenta inaltimilor intr-un triunghi
Teorema. Intr-un triunghi inaltimile sunt concurente, iar punctul de intersectie se numeste ortocentrul triunghiului care se noteaza cu H.
cate inaltimi putem duce intr-un triunghi
AD, BE, CF sunt inaltimi in \Delta ABC, daca si numai daca exista H, astfel incat AD\cap BE\cap BF=\left\{H\right\}
Observatie : In orice triunghi ascutitunghic inaltimea este situata in interiorul triunghiului.
Care sunt inaltimile inr-un triunghi ascutit unghic?
Scriem H\in Int \Delta ABC
In orice triunghi dreptunghic ortocentru coincide cu varful drept al triunghiului, deoarece doua dintre inaltimi sunt cele doua catete ale triunghiului.
Scriem H\in \Delta ABC
Care sunt inaltimile intr-un triunghi dreptunghic?
In orice triunghi obtuzunghic ortocentrul se afla in exteriorul triunghiului.
Scriem H\in Ext \Delta ABC.
Inaltimea intr-un triunghi obtuz
Problema

1) In triunghiul ABC construim inaltimea AM cu M\in \left[BC\right], stiind ca M este mijlocul laturii \left[BC\right], aratati ca triunghiul ABC este isoscel.
Demonstratie:
cum aratam ca un triunghi este isoscel

Daca M este mijlocul lui BC stim ca
\left[BM\right]\equiv\left[MC\right] (din ipoteza)
Stim ca AM este inaltime in triunghiul ABC, deci \prec AMB\equiv\prec AMC (deoarece AM este perpendiculara dusa din varful triunghiului pe latura BC, deci m\left(\prec AMB\right)=m\left(\prec AMC\right)=90^{0})
Dar mai stim si ca \left[AM\right]\equiv\left[AM\right] (latura comuna).
Deci avem :
\left[BM\right]\equiv\left[MC\right]  \\ \prec AMB\equiv\prec AMC  \\ \left[AM\right]\equiv\left[AM\right]\Rightarrow \Delta AMB\equiv \Delta AMC, de aici gasim si ca AB=AC si astfel triunghiul ABC este isoscel, deoarece am gasit ca are doua laturi egale.

Congruenta triunghiurilor oarecare Criterii de congruenta a triunghiurilor

Congruenta triunghiurilor oarecare

Stiti inca din  capitolele anterioare,  cand am invatat,  ca doua segmente sunt congruente sau doua unghiuri sunt congruenete. Astfel dupa cum bine va amintiti doua segmente sunt congruente daca au aceeasi lungime, adica

conditia ca doua segmente sa fie congruente\left[AB\right]\equiv\left[CD\right] \Leftrightarrow AB=CD.

Iar doua unghiuri sunt congruente daca au aceeasi masura,  adica

conditia ca doua unghiuri sa fie congruente

 

\prec AOB\equiv \prec CDE

\Leftrightarrow m\left(\prec AOB\right)=m\left(\prec CDE\right)

Dupa ce ne-am reamintit cand doua segmente sunt congruente sau cand doua unghiuri sunt congruente, astazi o sa discutam despre  Congruenta triunghiurilor oarecare Criterii de congruenta a triunghiurilor. Acum o sa definim cand doua triunghiuri sunt congruente.

Ne punem intrebarea fireasca cand doua triunghiuri sunt congruente?

Iar raspunsul este: ca putem aseza unul dintre triunghiuri peste celalalt astfel incat ele sa coincida, adica sa aiba laturile congruente, dar si unghiurile congruente.

Def: Fiind date doua triunghiuri \Delta ABC si \Delta DEF spunem ca sunt congruente si notam \Delta ABC\equiv\Delta DEF daca au loc relatiile:

conditia ca doua triunghiuri sa fie congruente

 

 

\left[AB\right]\equiv\left[DE\right], \left[AC\right]\equiv\left[DF\right],

\left[BC\right]\equiv\left[EF\right] ,

\prec A\equiv \prec D, \prec B\equiv \prec E, \prec C\equiv \prec F.

Def:  Doua triunghiuri sunt congruente daca au laturile respectiv congruente, dar si unghiurile respectiv congruente.

Dar avem si cateva cazuri de congruenta in care nu trebuie sa stim daca toate laturlile sunt congruente sau toate unghiurile congruente, dupa cum am invatat la constructia triughiurilor. Astfel primul caz:

Cazul L.U.L de congruenta

Doua triunghiuri care au doua laturi si unghiul cuprins intre ele  respectiv congruente sunt congruente.

Ca in figura de mai sus

\Delta ABC\equiv \Delta DEF daca si numai daca \left[AB\right]\equiv\left[DE\right],  \left[AC\right]\equiv\left[DF\right], \prec A\equiv\prec D.

Deci la acest caz trebuie sa gasim doua laturi respectiv congruente si unghiurile cuprins intre ele si astfel obtinem ca triunghiurile sunt congruente.

Cazul U.L.U de congruenta

Doua triunghiuri care au o latura si unghiurile alaturale ei respectiv  congruente sunt congruente.

Tot din figura de mai sus avem ca

\Delta ABC\equiv \Delta DEF daca si numai daca \left[BC\right]\equiv\left[EF\right], \prec B\equiv E, \prec C\equiv \prec F.

Cazul L.L.L de congruenta

Doua triunghiuri cu toate  laturile respectiv congruente sunt congruente.

\Delta ABC\equiv \Delta DEF daca si numai daca \left[AB\right]\equiv\left[DE\right],

\left[AC\right]\equiv\left[DF\right], \left[BC\right]\equiv\left[EF\right].

Deci la probleme cand avem sa aratam ca triunghiurile sunt congruente trebuie sa aplicam unul din cazurile de mai sus.

Problema

1) Se considera triunghiul isoscel ABC cu baza \left[BC\right]  si (AD bisectoarea unghiului \prec BAC, \in BC. Daca M este un punct oarecare pe segmentul (AD) aratati ca

a) \Delta ABM\equiv \Delta ACM

b) \Delta BDM\equiv \Delta CDM.

cum aratam ca doua triunghiuri sunt congruentea) Cum stim ca triunghiul ABC este isoscel stim si ca AB=AC, stim ca AD este bisectoare deci unghiul \prec BAM\equiv \prec CAM, iar AM este latura comuna scriem AM=AM

Scriem

\left[AB\right]\equiv \left[AC\right](din faptul ca triunghiul ABC isoscel)

\prec BAM\equiv\prec CAM (AD este bisectoare in triunghiul ABC si stim ca bisectoarea imparte unghiul in doua unghiuri congruente).

\left[AM\right]\equiv\left[AM\right] (din constructia triunghiului AM observam da se afla in ambele triunghiuri deci latura comuna)

Deci stim ca avem doua laturi congruente si unghiul cuprins intre ele congruent, rezulta ca triunghiurile \Delta ABM\equiv \Delta ACM

b) Din congruenta \Delta ABM\equiv \Delta ACM rezulta ca \left[BM\right]\equiv \left[MC\right]. Dar \left[BD\right]\equiv \left[DC\right] (observam ca triunghiul ABD congruent cu triunghiul ADC) si \left[MD\right]\equiv \left[MD\right] (latura comuna).

Si astfel cu cazul de congruenta L.L.L triunghiurile sunt congruente    \Delta BDM\equiv \Delta CDM.