Bisectoarea unui unghi Proprietatea bisectoarei

Despre bisectoarea unui unghi am mai invatat si in primul semestru la capitolul Unghi. Dar acum discutam si de proprietatea bisectoarei, cat si despre concurenta bisectoarelor intr-un triunghi, deoarece dupa cum am mai spus si intr-un alt articol, bisectoarea este una din liniile importante intr-un triunghi.

Astfel reamintindu-ne definitia bisectoarei spunem ca:

Definitie: Bisectoarea unui unghi este semidreapta cu originea in varful unghiului, interioara unghiului si care care imparte  unghiul in doua unghiuri.

cum rezolvam problemele cu bisectoare

Proprietatile bisectoarei:
Un punct interior unui unghi este situat la egala distanta de laturile unghiului daca si numai daca apartine bisectoarei acelui unghi.
punctele interioare ale unui unghi
Avem in ipoteza [OZ bisectoare unghiului \widehat{XOY}
M\in [OZ

Concluzie: d(M, OX)=d(M, OY)

Astfel stim ca distanta de la un punct la o dreapta este piciorul perpendicularei din punctul dat pe drepata respectiva.

Stim ca [OZ este bisectoarea unghiului \widehat{XOY}, astfel avem:
\widehat{XOZ}\equiv\widehat{YOZ}
Mai stim si ca MA\perp[OX, A\in [OX\Rightarrow d\left(M, OX\right)=MA
Dar si MB\perp[OY, B\in [OY\Rightarrow d\left(M, OY\right)=MB
Iar in triunghiurile MAO si MBO, avem m\left(\widehat{MAO}\right)=m\left(\widehat{MBO}\right)=90^{0}, adica avem triunghiuri dreptunghice.
Mai stim si ca [MO]\equiv[MO](latura comuna)
Dar si \widehat{MOA}\equiv\widehat{MOB}
Deci cu cazul de congruenta de la triunghiurile dreptunghice I.U, avem ca
\Delta MAO\equiv\Delta MBO de unde obtinem ca [MA]\equiv[MB], adica d(M, OX)=d(M, OY)

locul geometric al bisectoarei unui unghi
Bisectoarea unui unghi este locul punctelor situate la egala distanta de laturile unui triunghi.

Teorema. Bisectoarele unghiurilor unui triunghi sunt concurente. Punctul de intersectie al bisectoarelor este situat la distanta egala de laturile triunghiului se noteaza cu I. Punctul de concurenta al bisectoarelor se numeste centrul cercului inscris.

Centrul inscris in triunghi este cercul care este tangent la laturile triunghiului, adica are in comun un singur punct cu fiecare latura a triunghiului.

cum arata bisectoarele intr-un triunghi
Observati ca AA’, BB’ si CC’ sunt bisectoare in triunghiul ABC, adica
– AA’ bisctoarea unghiului \widehat{BAC}
– BB’ bisctoarea unghiului \widehat{ABC}
– CC’ bisctoarea unghiului \widehat{ACB}
Iar punctul de intersectie il notam cu I, numit centrul cercului inscris.
cum se noteaza punctul de intersectie al bisectoarelor
Aplicatii:

In triunghiul \Delta ABC avem: D\in(BC), E\in(AC), F\in(AB) astfel incat AD\perp BC, \widehat{ABE}\equiv\widehat{CBE}, \widehat{ACF}\equiv\widehat{BCF}, BE\cap CF\cap AD=\left\{I\right\}. Aratati ca [AB]\equiv[AC]
Demonstratie:

Observam ca [BE si [CF sunt bisectoarele unghiurilor \widehat{ABC}, \widehat{ACB} dar si BE\cap CF\cap AD=\left\{I\right\}, atunci obtinem si ca [AD este bisectoarea unghiului \widehat{BAC}, adica obtinem ca:
\widehat{BAD}\equiv\widehat{CAD}
Astfel consideram triunghiurile: \Delta BAD si \Delta CAD
unde am gasit ca:

\widehat{BAD}\equiv\widehat{CAD}
[AD]\equiv[AD] (latura comuna)
Dar si \widehat{BDA}\equiv\widehat{CDA} (deoarece AD\perp BC, adica formeaza un unghi de 90^{0})
Si cu cazul de congruneta U.L.U, obtinem ca \Delta BAD\equiv\Delta CAD, de unde obtinem si ca [AB]\equiv[AC] ceea ce trebuia sa demonstram.

bisectoarea unui unghi intr-un triunghi

Cum demonstram ca un patrulater este paralelogram

Prezentam o problema pe care o rezolvam folosind notiunile invatate pana in acest moment, adica notiunea de patrulater convex, cum aflam masura unghiurilor intr-un patrulater convex, cum aratam ca un triunghi este triunghi isoscel, dar si cum aratam ca un patrulater este paralelogram. Adica cum demonstram ca un patrulater este paralelogram.

 

În patrulaterul convex ABCD măsurile unghiurilor A, B, C, D, sunt direct proporționale cu numerele 2,4,6 și 8.
a) Calculați măsurile unghiurilor patrulaterului ABCD
b) Fie [DE bisectoarea unghiului ADC, E € (AB).  Arătați că triunghiul ADE este isoscel.
c) Demonstrați că BCDE este paralelogram.

Demonstratie:

a) Pentru a afla masurile unghiurilor patrulaterului trebuie sa ne reamintim notiunea de marime direct proportionala, iar cei care nu va mai reamintiti click aici.

Astfel obtinem sirul de rapoarte:

\frac{m\left(\widehat{A}\right)}{2}= \frac{m\left(\widehat{B}\right)}{4}= \frac{m\left(\widehat{C}\right)}{6}= \frac{m\left(\widehat{A}\right)}{8}

Acum daca egalam fiecare raport cu o litera k obtinem:

\frac{m\left(\widehat{A}\right)}{2}=k\Rightarrow m\left(\widehat{A}\right)=2k

\frac{m\left(\widehat{B}\right)}{4}=k\Rightarrow m\left(\widehat{B}\right)=4k

\frac{m\left(\widehat{C}\right)}{6}=k\Rightarrow m\left(\widehat{C}\right)=6k

\frac{m\left(\widehat{D}\right)}{8}=k\Rightarrow m\left(\widehat{D}\right)=8k

Dar stim ca intr-un patrulater convex suma masurii unghiurilor este de 360^{0}

Astfel stim ca m\left(\widehat{A}\right)+m\left(\widehat{B}\right)+m\left(\widehat{C}\right)+m\left(\widehat{D}\right)=360^{0}\Rightarrow    2k+4k+6k+8k=360^{0}\Rightarrow 20k=360^{0}\Rightarrow k=360^{2}:20\Rightarrow k=18^{0}

Si astfel obtinem m\left(\widehat{A}\right)=2\cdot k=2\cdot 18^{0}=36^{0}

Iar m\left(\widehat{B}\right)=4\cdot k=4\cdot 18^{0}=72^{0}

Si m\left(\widehat{C}\right)=6\cdot k=6\cdot 18^{0}=108^{0}

Dar si m\left(\widehat{D}\right)=8\cdot k=8\cdot 18^{0}=144^{0}

unghiurile intr-un patrulater convex

Deci am aflat suma masurii unghiurilor patrulaterului.

Important ! Pentru a afla masura unghiurilor patrulaterului trebuie sa stim care este suma masurii unghiurilor intr-un patrulater.

b) Stim ca [DE este bisectoarea unghiului ADC, dar pentru a trasa in figura noastra bisectoarea sa ne reamintim mai intai ce inseamna bisectoarea intr-un unghi.

Definitie:

Semidreapta care imparte unghiul dat in doua unghiuri congrunete se numeste bisectoarea unui unghi.

Deci noi stim ca semidreapta [DE este bisectoarea unghiului ADC, dar cum din punctul anterior stim masura unghiului ADC, putem sa aflam si masura unghiului ADE, dar si masura unghiului EDC, astfel avem m\left(\widehat{ADE}\right)=m\left(\widehat{EDC}\right)=\frac{m\left(\widehat{ADC}\right)}{2}=\frac{144^{0}}{2}=72^{0}

Deci am aflat ca fiecare din unghiuri are masura de 72^{0}.

cum aratam ca un triunghi este isoscel

Observam ca ADE triunghi, dar din notiunile invatate in anii anteriori stim ca suma masurii unghiurilor intr-un triunghi este de 180^{0}

Deci in triunghiul ADE, avem: m\left(\widehat{DAE}\right)+m\left(\widehat{ADE}\right)+m\left(\widehat{AED}\right)=180^{0}\Rightarrow 36^{0}+72^{0}+m\left(\widehat{AED}\right)=180^{0}\Rightarrow 108^{0}+m\left(\widehat{AED}\right)=180^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{AED}\right)=180^{0}-108^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{AED}\right)=72^{2}

deci in triunghiul ADE, stim ca m\left(\widehat{AED}\right)=m\left(\widehat{ADE}\right)=72^{0}\Rightarrow \widehat{AED}\equiv\widehat{ADE}

Dar cu proprietatile de la triunghiul isoscel, stim ca:

-Daca intr-un triunghi unghiurile alaturate bazei sunt congruente, atunci triunghiul este isoscel.

Deci cum am aratat ca cele doua unghiuri sunt congrunete, rezulta ca triunghiul este isoscel, adica \Delta ADE isoscel,

cum sunt unghiurile intr-un triunghi isoscel

 

 

 

 

 

 

 

c) Acum sa demonstram ca BCDE este paralelogram

Observam ca in patrulaterul convex BCDE

m\left(\widehat{EDC}\right)=m\left(\widehat{EBC}\right)=72^{0}

Observam ca unghiul AEB este un unghi alungit, adica:

Stim ca m\left(\widehat{AEB}\right)=180^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{AED}\right)+m\left(\widehat{DEB}\right)=180^{0}\Rightarrow 72^{0}+m\left(\widehat{DEB}\right)=180^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{DEB}\right)=180^{0}-72^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{DEB}\right)=108^{0}.

deci cu masura unghiului gasit obtinem ca m\left(\widehat{DEB}\right)=m\left(\widehat{DCB}\right)=108^{0}\Rightarrow \widehat{DEB}\equiv\widehat{DCB}

Si cu teorema reciproca  referitoare la unghiuri intr-un paralelogram obtinem ca BCDE este paralelogram.

Stim ca daca intr-un patrulater convex unghiurile opuse sunt congruente, atunci patrulaterul este paralelogram.

 Aceasta a fost o problema rezolvata prin care am invatat cum demonstram ca un patrulater este paralelogram. Daca aveti probleme asemanatoare urmati tiparul de mai sus si cu siguranta le puteti rezolva.