Rezolvare subiecte simulare matematica cls. a XI-a Stiintele naturii

Prezentam  rezolvarea pentru subiecte simulare matematica clasa a XI-a. Stiintele naturii.

1) Determinati numarul real x stiind ca numerele x, 36 si 4 sunt in progresie geometrica.

Solutie:

36=\sqrt{4\cdot x}\Rightarrow 36^{2}=4\cdot x\Rightarrow\frac{36\cdot 36}{4}=x\Rightarrow

x=\frac{9\cdot 36}{1}\Rightarrow x=324

2) Fie functia f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=x+a, \in R Determinati a stiind ca \left(f 0 f\right)\left(x\right)=x

Solutie

\left(f 0f\right)\left(x\right)=f\left(f\left(x\right)\right)=f\left(x+a\right)=x+a+a=x+2a

Deci x+2a=x\Rightarrow 2a=0\Rightarrow a=0

3) Rezolvati ecuatia

3^{-x+2}=\sqrt{3}\Rightarrow 3^{-x+2}=3^{\frac{1}{2}}\Rightarrow -x+2=\frac{1}{2}\Rightarrow -x=\frac{1}{2}-2\Rightarrow -x=\frac{1-4}{2}\Rightarrow -x=\frac{-3}{2}\Rightarrow x=\frac{3}{2}

Observati ca pentru x=\frac{3}{2} ecuatia se verifica

3^{-\frac{3}{2}+2}=3^{\frac{-3+4}{2}}=3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}

4)

Numărul submulţimilor cu cel mult 3 elemente ale mulţimii M este C^{0}_{4}+C^{1}_{4}+C^{2}_{4}+C^{3}_{4}=\frac{4!}{\left(4-0\right)\cdot 0!}+\frac{4!}{\left(4-1\right)!\cdot 1!}+\frac{4!}{\left(4-2\right)!\cdot 2!}+\frac{4!}{\left(4-3\right)!\cdot 3!}=\frac{4!}{4!}+\frac{4!}{3!}+\frac{4!}{2!\cdot 2!}+\frac{4!}{1!\cdot 3!}=1+4+\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{1\cdot 2\cdot 1\cdot 2}+\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{1\cdot 1\cdot 2\cdot 3}=5+3\cdot 2+4=5+6+4=15.

4) In reperul cartezian XOY se considera punctul A\left(2,-3\right) si dreapta d:2x+y-5=0. Determinati ecuatia dreptei care trece prin punctul A si este perpendiculara pe dreapta d.

Solutie :

Gasim mai  intai ecuatia dreptei d’ care trece prin punctul A\left(2, -3\right), astfel avem y-\left(-3\right)=m'\left(x-2\right)\Rightarrow y+3=m'\left(x-2\right), unde

m este panta dreptei d si m’ este panta dreptei d’, unde m_{d}=m'_{d'}

Conditia ca dreptele sa fie perpendiculare este m\cdot m'=-1

Acum sa aflam panta dreptei d.

2x+y-5=0\Rightarrow y=-2x+5

Astfel panta dreptei este m_{d}=-2

Acum din conditia de mai sus avem :

m_{d}\cdot m'_{d'}=-1\Rightarrow -2\cdot m'_{d'}=-1\Rightarrow m'_{d'}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}.

Astfel ecuatia dreptei este :

y+3=m'\left(x-2\right)\Rightarrow

y+3=\frac{1}{2}\left(x-2\right)\Rightarrow

2y+6=x-2

\Rightarrow 2y+6-x+2=0\Rightarrow -x+2y+8=0\Rightarrow x-2y-8=0

5) Calculati \sin 2x stiind ca x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right) si \cos x=\frac{3\sqrt{5}}{7}

Solutie:

Stim ca :

\sin^{2} x+\cos^{2} x=1

Astfel gasim ca :

\sin^{2} x+\left(\frac{3\sqrt{5}}{7}\right)^{2}=1\Rightarrow \sin^{2} x=1-\frac{9\cdot 5}{49}\Rightarrow \sin^{2} x=\frac{49-9\cdot 5}{49}=\frac{49-45}{49}\Rightarrow \sin^{2} x=\frac{4}{49}\Rightarrow \sin x=\pm \sqrt{\frac{4}{49}}\Rightarrow \sin x=\pm \frac{2}{7}

Astfel avem ca :

\sin 2x=2\sin x\cdot \cos x=2\cdot \frac{2}{7}\cdot\frac{3\sqrt{5}}{7}=\frac{2\cdot 2\cdot 3\sqrt{5}}{7\cdot 7}=\frac{12\sqrt{5}}{49}

Acum am luata sinusul pozitiv deoarece suntem in cadranul I, iar sinusul este pozitiv

Operatii cu functii Compunerea functiilor

Dupa cum bine observati si din titlul articolului ,astazi o sa discutam despre Operatii cu functii Compunerea functiilor.

Cu ajutorul operatiilor  cu functii o sa invatam sa calculam suma functiilor, diferenta functiilor, produsul functiilor, catul functiilor.

Fie functiile f, g: A\rightarrow R, A\subset R, doua functii numerice:

Functia f+g:A\rightarrow R, \left(f+g\right)\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right) se numeste suma functiilor f si g.

Functia f-g:A\rightarrow R,\left(f-g\right)\left(x\right)=f\left(x\right)-g\left(x\right) se numeste diferenta functiilor f si g.

Functia f\cdot g:A\rightarrow R, \left(f\cdot g\right)\left(x\right)=f\left(x\right)\cdot g\left(x\right) se numeste produsul functiilor f si g.

Daca g\left(x\right)\neq 0, \forall x\in A, atunci functia \frac{f}{g}:A\rightarrow R; \left(\frac{f}{g}\right)\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)} se numeste catul functiilor f si g.

Iar acum ceea ce  este cel mai important la aceasta lectie;

Compunerea functiilor, este foarte important sa intelegeti compunerea functiilor, deoarece o sa mai avem de efectuat si alte exercitii cu compunerea functiilor.

Fiea A, B, C trei multimi nevide si

f:A\rightarrow B, g:B\rightarrow C doua functii. atunci functia h:A\rightarrow C, h\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right) este functia compusa a functiilor g si f si se noteaza h=g\circ f.

Cum calculam compunerea functiilor

Observatie:

Compunerea functiilor nu este comutatitva, adica \left(f\circ g\right)\neq\left(g\circ f\right)

Compunerea functiilor este asociativa f\circ \left(g\circ h\right)=\left(f\circ g\right)\circ h

Prezentam cateva exercitii prin care sa intelegem compunerea functiilor, dar si  operatiile cu functii

 

1) Se considera functiile f, g:R\rightarrow R, f\left(x\right)=2x-3 si g\left(x\right)=3x-1. Rezolvati ecuatiile:

a) \left(f\circ f\right)\left(x\right)=6

b)  \left(g\circ g\right)\left(x\right)=-8

c)  \left(f\circ g\right)\left(x\right)=9

Solutie

a)  \left(f\circ f\right)\left(x\right)=6\Rightarrow f\left(f\left(x\right)\right)=6\Rightarrow f\left(2x-3\right)=6\Rightarrow 2\cdot\left(2x-3\right)-3=6\Rightarrow 2\left(2x-3\right)=6+3\Rightarrow 2\left(2x-3\right)=9\Rightarrow 2x-3=\frac{9}{2}\Rightarrow 2x=\frac{9}{2}+3\Rightarrow 2x=\frac{1\cdot 9+2\cdot 3}{2}\rightarrow 2x=\frac{9+6}{2}\Rightarrow 2x=\frac{15}{2}\Rightarrow x=\frac{15}{4}

Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus mai intai am compus functia f cu ea insasi, observam ca am calculat f\left(f\left(x\right)\right), adica f\left(2x-3\right), deoarece f il cunoastem, iar restul este rezolvarea unei ecuatii asa cum am invatat in clasele mai mici.

b)  \left(g\circ g\right)\left(x\right)=-8\Rightarrow g\left(g\left(x\right)\right)=-8\Rightarrow g\left(3x-1\right)=-8\Rightarrow 3\cdot\left(3x-1\right)-1=-8\Rightarrow 3\left(3x-1\right)=-8+1\Rightarrow 3\left(3x-1\right)=-7\Rightarrow 3x-1=\frac{-7}{3}\Rightarrow 3x=\frac{-7}{3}+1\Rightarrow 3x=\frac{1\cdot \left(-7\right)+3\cdot 1}{3}\Rightarrow 3x=\frac{-7+3}{3}\Rightarrow 3x=\frac{-4}{3}=-\frac{4}{9}.

c) \left(f\circ g\right)\left(x\right)=9\Rightarrow f\left(g\left(x\right)\right)=9\Rightarrow f\left(3x-1\right)=9\Rightarrow 2\cdot\left(3x-1\right)-3=9\Rightarrow 2\left(3x-1\right)=9+3\Rightarrow 2\left(3x-1\right)=12\Rightarrow 3x-1=6\Rightarrow 3x=6+1\Rightarrow 3x=7\Rightarrow x=\frac{7}{3}.

La exercitiul c) observam ca avem f compus cu g si obtinem f de g de x, deci in locul lui g(x) scriem  3x-1 iar restul este calcul.

2) Se considera functiile f, g:R\rightarrow R, f\left(x\right)=2x+1 si  g(x)=x+2. Rezolvati ecuatia

\left(f\circ f\circ g\right)\left(x\right)=\left(f\circ g\circ g\right)

\left(f\circ f\circ g\right)\left(x\right)=\left(f\circ g\circ g\right) \Rightarrow    f\left(f\left(g\left(x\right)\right)\right)=f\left(g\left(g\left(x\right)\right)\right)\Rightarrow    f\left(f\left(x+2\right)\right)=f\left(g\left(x+2\right)\right)\Rightarrow    f\left(2\left(x+2\right)+1\right)=f\left(x+2+2\right)\Rightarrow    f\left(2x+4+1\right)=f\left(x+4\right)\Rightarrow    f\left(2x+5\right)=f\left(x+4\right)\Rightarrow    2\left(2x+5\right)+1=2\left(x+4\right)+1\Rightarrow    4x+10+1=2x+8+1\Rightarrow    4x+11=2x+9\Rightarrow    4x-2x=9-11\Rightarrow    2x=-2\Rightarrow x=-1

Deci important e sa stim sa compunem functiile.