Linia mijlocie intr-un trapez

Dupa ce am discutat despre Linia mijlocie intr-un triunghi a venit vremea sa discuta si despre linia miljocie intr-un trapez. Dar mai intai sa definit notiunea de linie mijocie intr-un trapez.

Definitie: Segmentul care uneste mijloacele a doua laturi neparalele ale unui trapez se numeste linia mijlocie intr-un trapez.

Obsevati ca definitia de la linia mijlocie dintr-un triunghi se aseamana cu linia mijlocie intr-un trapez, diferenta o fac doar figurile geometrice si valoarea care o obtinem cand calculam linia mijlocie.
Care este linia mijlocie intr-un  trapez?
Teorema. Intr-un trapez linia mijlocie este paralela cu cele doua baze si masoara jumatate din suma celor doua baze.

Astfel stim ca ABCD trapez, EF linie mijlocie. Rezulta ca AB||EF||CD si ca EF=\frac{B+b}{2}=\frac{AB+CD}{2} unde AB este baza mare si CD- baza mica.

Teorema Intr-un trapez lungimea segmentului determinat de intersectiile liniei mijlocii cu diagonalele este egala cu jumatate din modului diferentei lungimilor bazei.
linia mijlocie intr-un trapez
ABCD trapez, EF linie mijlocie
AC\cap BD=\left\{O\right\}
Rezulta ca GH=\frac{|AB-CD|}{2}
Problema
1) In trapezul dreptunghic ABCD cu AB|| CD si AB>CD \left[AC\right]\equiv\left[BC\right], m\left(\prec B\right)=60^{0} se cunoaste lungimea segmentului care uneste mijloacele diagonalelor PQ= 8 cm. Aflati lungimile bazelor si perimetrul triunghiului ABC.
Ipoteza
ABCD trapez dreptunghic
AB|| CD, AB>CD
\left[AC\right]\equiv\left[BC\right], m\left(\prec B\right)=60^{0}
PQ=8 cm
Concluzie:
AB=?
CD=?
P_{\Delta ABC}=?
Demonstratie

Cum aplicam linia mijlocie intr-un triunghi Stim din ipoteza ca PQ= 8 cm

Conform teoremei de mai sus avem ca: PQ=\frac{AB-CD}{2}\Rightarrow AB-CD=16 cm\Rightarrow BE=16 cm, Deoarece stim ca AB=AE+EB\Rightarrow EB=AB-AE si cum AECD dreptunghi si AE=DC, astfel gasim si ca DC= 16 cm
Astfel am construit in triunghiul ABC inaltimea CE, stim ca unghiul B are 60^{0}, mai stim si ca unghiul E este de 90^{0}, si astfel gasim ca unghiul ECB este de 30^{0} si astfel aplicam teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0}, astfel obtinem ca
EB=\frac{BC}{2}\Rightarrow 2\cdot EB=BC\Rightarrow BC=2\cdot 16 cm\Rightarrow BC=32 cm
In triunghiul ABC stim ca AC=BC, dar mai stim si ca m\left(\prec B\right)=60^{0}, deci obtinem ca triunghiul ABC este echilateral, adica AB=AC=BC=32 cm.
Deci stim baza mare, acum trebuie sa aflam baza mica,
Acum stim ca AB=AE+EB, de unde obtinem
16=AE+8\Rightarrow AE=32-16\Rightarrow AE=16 cm
Mai stim ca ADCE este dreptunghi si astfel AE=DC.
Deci DC=16cm si astfel am gasit si baza mica, adica 16 cm.
Acum aflam perimetrul triunghiului ABC, cu stim ca AB=AC=BC=32 cm obtinem
P_{\Delta ABC}=3\cdot l=3\cdot 32=96 cm.

Problema rezolvata linia mijlocie intr-un trapez

Plane perpendiculare

Dupa ce am invatat cand doua drepte sunt perpendiculare acum o sa discutam despre Plane perpendiculare. Asa cum bine stiti doua drepte sunt perpendiculare daca formeaza un unghi de 90^{0}, astfel

Definitie: Doua plane se numesc perpendiculare daca  formeaza un unghi diedru cu masura de  90^{0} (diedru drept).

conditia ca doua plane sa fie perpendiculare
\alpha\perp\beta
Stim ca:
a\perp b  \\a\perp d  \\b,d\subset \beta\Rightarrow a\perp\beta
Deci in cazul a doua plane perpendiculare unul dintre plane contine o dreapta perpendiculara pe cel de-al doilea.
Teorema. Daca un plan contine o dreapta perpendiculara pe un alt plan atunci cele doua plane sunt perpendiculare.
Cand O dreapta este perpendiculara pe un plan?

AB\perp\beta  \\BC\subset\beta\Rightarrow \alpha\perp \beta.
Planele formeaza un unghi diedru drept, adica sunt perpendiculare.
Problema
1) Triunghiul echilateral ABC de latura 24 cm si triunghiul isoscel BCD BD=CD=6\sqrt{5} sunt situate in plane perpendiculare. Aflati
a) distanta de la punctul D la dreapta AC

b) aria triunghiului ABD
Demonstratie:

distanta de la un punct la o dreapta
DE\perp BC  \\EF\perp AC\Rightarrow EF\perp AC
Cu teorema celor trei perpendiculare am gasit ca distanta de la punctul D la dreapta AC este segmentul EF.
Stim ca DE este inaltime in triunghiul DBC care este isoscel, dar mai stim ca inaltimea intr-un triunghi isoscel coincide cu mediana deci stim ca BE=EC=12 cm, cum DC stim, Calculam acum DE, astfel aplicam teorema lui Pitagora
DE^{2}=DC^{2}-EC^{2}\Rightarrow DE^{2}=\left(6\sqrt{5}\right)^{2}-12^{2}\Rightarrow DE^{2}=180-144\Rightarrow DE^{2}=36\Rightarrow DE=\sqrt{36}\Rightarrow DE=6 cm.
Acum ca sa aflam pe EF, stim ca E este mijlocul lui BC, deci BE=EC=12 cm. In triunghiul EFC stim ca m\left(\prec EFC\right)=60^{0}, m\left(\prec EFC\right)=90^{}0 si gasim ca m\left(\prec FEC\right)=30^{0}, deci putem aplica Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0} astfel FC=\frac{EC}{2}\Rightarrow FC=\frac{12}{2}\Rightarrow FC=6 cm, acum daca aplicam Teorema lui Pitagora in triunghiul EFC, gasim ca EF^{2}=EC^{2}-FC^{2}\Rightarrow EF^{2}=144-36\rightarrow EF=\sqrt{108}\Rightarrow EF=6\sqrt{3}.
Sau daca ducem inaltimea in triunghiul ABC,
PLANE perpendiculare

Fie AE perpendicular pe BC, abtinem AE=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{24\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3}, acum observam ca triunghiul AEC este dreptunghic in E, deci aplicam Teorema inaltimii, astfel EF=\frac{AE\cdot EC}{AC}=\frac{12\sqrt{3}\cdot 12}{24}=6\sqrt{3}.

Acum cum stim cele doua catete ale triunghiului dreptunghic DEF aplicam teorema lui Pitagora
DF^{2}=DE^{2}+EF^{2}\Rightarrow DF^{2}=6^{2}+\left(6\sqrt{3}\right)^{2}\Rightarrow DE^{2}=36+108\Rightarrow DF^{2}=144\Rightarrow DF=\sqrt{144}\Rightarrow DF=12 cm.
b)A_{\Delta ABD}=?
Stim ca AB=24 cm BD=6\sqrt{5}. Mai stim ca AE=12\sqrt{3},ED=6 cm.
Dar daca privim figura observam ca:
\Delta ABD\equiv\Delta ADC:  \\\left[AB\right]\equiv\left[AC\right]  \\\left[BD\right]\equiv\left[DC\right]  \\\left[AD\right]\equiv\left[AD\right] (latura comuna).
Cum cele doua triunghiuri sunt congruente stim astfel ca si ariile sunt egale.
Importante  sa stim conditia ca doua plane sa fie perpendiculare.