Probleme rezolvate pentru Evaluarea Nationala Matematica

Subiectul III
1. In figura alaturata este reprezenata schematic o gradina in forma de trapez dreptunghic ABCD, cu AB||CD si m\left(\widehat{A}\right)=90^{0} si AB=40 m. Se stie ca triunghiul ABC este echilateral.
problema rezolvata cu trapezul dreptunghic
a) Aflati lungimea gardului care inconjoara gradina
b) Calculati suprafata gradinii
c) Determinati distanta AE, unde E\in\left(AB\right) astfel incat parcelele AECD si BCE sa aiba suprafetele egale.
2. Un cort din panza are forma de piramida triunghiulara regulata, avand ca baza triunghiul echilateral ABC cu latura de 3 m si cu inaltimea VO de 1 m.
a) Determinati masura unghiului dintre drepata VA si planul (ABC)
b) Calculati aria laterala a piramidei
c) Cati metri patrati de panza sunt necesari pentru confectionarea cortului, stiind ca in acest proces se pierde 10% din panza utilizata?( Pentru \sqrt{7} se va folosi valoarea aproximativa \sqrt{7}\approx 2,64).
Demonstratie:
1. a) Stim ca AB=40 m, si mai stim tot din ipoteza problemei ca triunghiul ABC este isoscel, deci gasim ca AB=AC=BC=40 m.
Si astfel daca ducem perpendiculara din C pe AB putem afla inaltimea trapezului si astfe stim si AD.
Astfel fie
CF\perp AB, si cum triunghiul ABC este echilateral, rezulta ca CE este inaltime in trighiul echilateral ABC, stim ca inaltimea intr-un triunghi echilateral este h_{\Delta echilateral}=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{40\sqrt{3}}{2}=20\sqrt{3}.
Observam ca ADCF este dreptunghi si astfel obtinem ca AD=CF=20\sqrt{3}, dar si DC=AF.
Acum mai avem sa aflam DC, observati ca am dus perpendiculara din C pe AB si astfel observam ca triunghiul BCF este dreptunghic in F. Acum daca aplicam Teorema lui Pitagora putema afla BF, astfel avem ca:
BF^{2}=BC^{2}-CF^{2}\Rightarrow BF^{2}=40^{2}-\left(20\sqrt{3}\right)^{2}\Rightarrow BF^{2}=1600-400\cdot 3\Rightarrow BF^{2}=1600-1200\Rightarrow BF=\sqrt{400}\Rightarrow BF=20
Cum stim BF=20, putem afla AF, astfel avem ca
AB=AF+FB\Rightarrow 40=AF+20\Rightarrow AF=20
Deci AF=20 m
Si cum stim AF, am aflat si DC=AF=20 cm.
Putema sa aflam AF si astfel stim ca CF este inaltime in triunghiul echilateral ABC, dar stim de la proprietatile triunghiului echilateral ca: Intr-un triunghi echilateral medianele, mediatoarele, bisectoarele si inaltimile coincid, deci stim ca CF este inaltime dar si mediana si astfel obtinem ca CF imparte segmentul AB in oua segmente congruente.
Deci AF=FB=20 m.
Deci lungimea gardului care inconjoara gradina este:
P_{ABCD}=AB+BC+CD+AD=40+40+20+20\sqrt{3}=100+20\sqrt{3}=20\left(5+\sqrt{3}\right)
Ca sa calculam suprafata gradinii, calculam aria trapezului, astfel avem ca
A_{ABCD}=\frac{\left(B+B\right)\cdot h}{2}=\frac{\left(40+20\right)\cdot 20\sqrt{2}}{2}=\frac{60\cdot 20\sqrt{3}}{2}=\frac{1200\sqrt{3}}{2}=600\sqrt{3}\;\; m^{2}
cum calculam aria unui trapez dreptunghic
c) Stim din ipoteza ca A_{AECD}=A_{BCD}\Rightarrow \frac{\left(B+b\right)\cdot h}{2}=\frac{b\cdot h}{2}\Rightarrow \frac{\left(DC+AE\right)\cdot AD}{2}=\frac{EB\cdot CF}{2}\Rightarrow \frac{\left(20+AE\right)\cdot 20\sqrt{3}}{2}=\frac{BE\cdot 20\sqrt{3}}{2}\Rightarrow 20+AE=BE
Dar stim ca BE=AB-AE\Rightarrow BE=40-AE
Si daca inlocuim mai sus 20+AE=40-AE\Rightarrow 2AE=40-20\Rightarrow 2AE=20\Rightarrow AE=10\;\; m
probleme rezolvate cu trapezul dreptunghic
2. um calculam unghiul unei drepte cu un plan
a) m\left(\widehat{VA,\left(ABC\right)}\right)=m\left(\widehat{VA, AO}\right)=m\left(\widehat{VAO}\right)
Observam ca proiectia dreptei VA pe planul ABC este dreapta AO, acum sa aflam masura unghiului VAO, stim ca VO=1 m, triunghiul VAO este dreptunghic in O, putem afla AO, astfel avem ca
AO=\frac{l\sqrt{3}}{3}=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}
Deci putem afla acum si lungimeasegmentului VA, astfel in triunghiul VAO aplicam Teorema lui Pitagora,
VA^{2}=VO^{2}+AO^{2}\Rightarrow VA^{2}=1^{2}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}\Rightarrow VA=\sqrt{1+3}\Rightarrow VA=\sqrt{4}=2
Acum daca aplicam Functiile trigonometrice obtinem ca:
\sin VAO=\frac{VO}{VA}=\frac{1}{2}
Deci masura unghiului VAO este de m\left(\widehat{VAO}\right)=30^{0}
b) Acum sa calculam aria laterala a piramidei triunghiulare regulate.
A_{l}=\frac{P_{b}\cdot a_{p}}{2}
Dar mai intai sa aflam perimetrul bazei triunghiului ABC, astfel avem:
P_{ABC}=3\cdot l=3\cdot 3=9 m
Dar sa aflam si apotema piramidei
a_{p}^{2}=h^{2}+a_{b}^{2}
Dar mai intai sa aflam apotema bazei
a_{b}=\frac{l\sqrt{3}}{6}=\frac{3\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}
Astfel avem ca
a_{p}^{2}=1^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\Rightarrow a_{p}^{2}=1+\frac{3}{4}\Rightarrow a_{p}^{2}=\frac{4\cdot 1+1\cdot 3}{4}\Rightarrow a_{p}^{2}=\frac{7}{4}\Rightarrow a_{p}=\frac{\sqrt{7}}{2}
Astfel A_{l}=\frac{9\cdot \frac{\sqrt{7}}{2}}{2}=\frac{9\sqrt{7}}{4}\;\; m^{2}
c) Din punctul b) stim aria laterala a cortului deci avem
A_{l}=\frac{9\sqrt{7}}{4}=\frac{9\cdot 2,64}{4}=\frac{23,76}{4}=5,94\;\; m^{2}
Dar stim ca pentru confectionarea cortului se pierde 10% din material, iar noi trebuie sa stim intreaga suprafata de material care trebuie pentru a construii cortul, astfel notam cu x intreaga suprafata de material si obtinem:
x-\frac{10}{100}x=5,94\Rightarrow x-\frac{1}{10}x=5,94\Rightarrow \frac{10\cdot x-1\cdot 1}{10}=5,94\Rightarrow \frac{9x}{10}=5,94\Rightarrow 9x=10\cdot 5,94\Rightarrow 9x=59,4\Rightarrow x=59,4:9\Rightarrow x=6,6\;\; m^{2}
Deci sunt necesari 6,6 mp pentru confectionarea cortului.

Piramida regulata

Despre piramida regulata am discutat, dar astazi o sa invatam  sa calculam Aria laterala, Aria totala si Volumul  unei piramide regulate. Astfel incepem prin a defini Piramida regulata:

Piramida reguata are baza poligon regulat, iar proiectia ortogonala a varfului V pe planul bazei este centrul O al poligonului de baza.

Muchiile laterale ale unei piramide regulate sunt congruente.

Segmentul determinat de varful piramidei si mijlocul unei muchii a bazei se numeste apotema piramidei.

Orice apotema a piramidei este perpendiculara pe muchia respectiva a bazei.

Cum arata o piramida triunghiular regulata
Baza piramidei triunghiulara regulata este triunghi echilateral.
VM=a_{p} se numeste apotema piramidei
OM=a_{b} se numeste apotema bazei
VO=h se numeste lungimea inaltimea piramidei.
AB- lungimea muchiei bazei piramidei
P_{b} se numeste perimetrul bazei
A_{l} se numeste aria laterala
A_{b} se numeste aria bazei
A_{t} se numeste aria totala a piramidei.
Scriem mai inati formulele standard pentru orice piramida, astfel avem:
A_{l}=\frac{P_{b}\cdot a_{p}}{2}
A_{t}=A_{l}+A_{b}=\frac{P_{b}\left(a_{p}+a_{b}\right)}{2}
V=\frac{A_{b}\cdot h}{3}

Mai putem afla si apotema piramidei, daca aplicam Teorema lui Pitagora in triunghiul VOM, astfel obtinem a_{p}^{2}=h^{2}+a_{b}^{2}\Rightarrow a_{p}=\sqrt{h^{2}+a_{b}^{2}}.

In cazul in care piramida este triunghiulara formulele devin
A_{l}=\frac{3l\cdot a_{p}}{2}
A_{t}=\frac{3l\left(a_{p}+a_{b}\right)}{2}
sau A_{t}=\frac{3l\cdot a_{p}}{2}+\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}
V=\frac{3l\cdot h}{3}.

Aplicatie
O piramida patrulater regulata are AB=8\sqrt{2} cm, iar sectiunea diagonale este echivalenta cu baza.

Calculati
a) lungimea inaltimii piramidei

b) \sin\widehat{\left(VAB\right),\left(VBC\right)}
Demonstratie
Cum aflam sectiunea diagonala intr-o piramida patrulatera

Stim din ipoteza ca sectiunea diagonala este echivalenta cu baza, adica
A_{\Delta VAC}=A_{ABCD}\Rightarrow \frac{AC\cdot VO}{2}=AB^{2}\Rightarrow \frac{8\sqrt{2}\sqrt{2}\cdot VO}{2}=\left(8\sqrt{2}\right)^{2}\Rightarrow \frac{16\cdot VO}{2}=64\cdot 2\Rightarrow 8\cdot VO=64\cdot 2\Rightarrow VO=\frac{64\cdot 2}{8}\Rightarrow VO=\frac{128}{8}\Rightarrow VO=16 cm
b) \sin\widehat{\left(VAB\right),\left(VBC\right)}

Observam ca VB este muchia comuna celor doua plane, deci ducem perpendiculara din A pe VB si perpendiculara din C pe VB, astfel gasim
AT\perp VB  \\CT\perp VB\Rightarrow  \sin\widehat{\left(VAB\right),\left(VBC\right)}=\sin \widehat{AT, CT}=\sin\widehat{ATC}

In triunghiul VCO dreptunghic in O aplicam Teorema lui Pitagora
VC^{2}=VO^{2}+OC^{2}\Rightarrow VC^{2}=16^{2}+8^{2}\Rightarrow VC=\sqrt{256+64}\Rightarrow VC=\sqrt{320}\Rightarrow VC=8\sqrt{5}.

Acum in triunghiul VOM aplicam Teorema lui Pitagora
VM^{2}=VO^{2}+OM^{2}\Rightarrow VM^{2}=16^{2}+\left(4\sqrt{2}\right)^{2}\Rightarrow VM=\sqrt{256+32}\Rightarrow VM=\sqrt{288}\Rightarrow VM=12\sqrt{2}cm.
Acum ca sa aflam CT aplicam de doua ori formula ariei o data considerand baza BC, iar apoi considerand baza VB, iar apoi le egalam
A_{\Delta VBC}=A_{\Delta CVB}\Rightarrow \frac{BC\cdot VM}{2}=\frac{VB\cdot CT}{2}\Rightarrow 8\sqrt{2}\cdot 12\sqrt{2}=8\sqrt{5}\cdot CT\Rightarrow CT=\frac{8\sqrt{2}\cdot 12\sqrt{2}}{8\sqrt{5}}\Rightarrow CT=\frac{12\cdot 2}{\sqrt{5}}\Rightarrow CT=\frac{24\sqrt{5}}{5}.

La fel gasim si AT, deci gasim ca triunghiul ATC ete isoscel si ca sa aplicam functiile trigonometrice trebuie sa avem triunghi dreptunghic astfel ducem inaltimea din T pe baza AC, astfel aplicam in triunghiul ATE Teorema lui Pitagora AE^{2}=AT^{2}-AE^{2}\Rightarrow AE^{2}=\left(\frac{24\sqrt{5}}{5}\right)^{2}-8^{2}\Rightarrow AE=\sqrt{\frac{576\cdot 5}{25}-64}\Rightarrow AE=\sqrt{\frac{576}{5}-64}\Rightarrow AE=\sqrt{\frac{1\cdot 576-5\cdot 64}{5}}\Rightarrow AE=\sqrt{\frac{576-320}{5}}\Rightarrow AE=\sqrt{\frac{256}{5}}\Rightarrow AE=\frac{\sqrt{256}}{\sqrt{5}}\Rightarrow AE=\frac{16}{\sqrt{5}}\Rightarrow AE=\frac{16\sqrt{5}}{5}.

Ducem si perpendiculara din A pe TC si
aplicam formula ariei de doua ori in triunghiul ATC si le egalam
A_{\Delta TAC}=A_{\Delta ATC}\Rightarrow \frac{AC\cdot AE}{2}=\frac{TC\cdot AF}{2}\Rightarrow\frac{16\cdot\frac{16\sqrt{5}}{5}}{2}=\frac{\frac{24\sqrt{5}}{5}\cdot AF}{2}\Rightarrow \frac{256\sqrt{5}}{5}=\frac{24\sqrt{5}}{5}\cdot AF\Rightarrow AF=\frac{\frac{256\sqrt{5}}{5}}{\frac{24\sqrt{5}}{5}}\Rightarrow AF=\frac{256\sqrt{5}}{5}\cdot \frac{5}{24\sqrt{5}}\Rightarrow AF=\frac{32}{3}

Acum putem aplica
\sin\widehat{ATF}=\frac{AF}{AT}=\frac{\frac{32}{3}}{\frac{24\sqrt{5}}{5}}=\frac{32}{3}:\frac{24\sqrt{5}}{5}=\frac{32}{3}\cdot \frac{5}{24\sqrt{5}}=\frac{4}{3}\cdot\frac{5}{3\sqrt{5}}=\frac{20}{9\sqrt{5}}=\frac{20\sqrt{5}}{9\cdot 5}=\frac{4\sqrt{5}}{9}.
Cum aflam sinusul unghiului a doua plane