Reprezentarea grafica a functiilor

In reprezentarea grafica a functiilor se recomanda parcurgerea urmatoarelor etape:

1.  Se determina domeniul maxim de definitie al functiei si intersectia graficului functiei cu axele de coordonate.

Astfel pentru functiile irationale de forma \sqrt{f\left(x\right)} si pune conditia ca f\left(x\right)\geq 0

– pentru functia logaritimica de forma \log_{a}{f\left(x\right)} se pune conditia ca f\left(x\right)>0

– pentru functiile rationale de forma \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}, g\left(x\right)\neq 0

2. Intersectia graficului functiei cu axele de coordonate:

Intersectia graficului functiei cu axa Ox se  obtine punand conditia y=0\Rightarrow f\left(x\right)=0, adica rezolvam ecuatia de mai sus

Intersectia graficului functie cu axa Oy se obtine punand conditia ca x=0 si calculand f\left(0\right)=y

3. Determinarea semnului functie si eventualele simetrii

– Daca f\left(x\right)\geq 0, graficul functie este situat deasupra axei Ox in semiplanul pozitiv

– Daca f\left(x\right)\leq 0, atunci graficul functie este situat sub axa Ox semiplanul negativ.

O functie are simetrii daca este para sau impara, o functie para este simetrica fata axa Oy, iar o functie impara este simetrica fata de origine,

4. Asimptotele functiei

Calculam limitele la capetele domeniului de definitie, studiem continuitatea si determinam eventualele asimptote daca exista.

5. Studiul functiei folosind prima derivata

Cu ajutorul derivatei intai determinam intervalele de monotonie si punctelede extrem

6. Studiul functiilor folosind derivata a doua

Cu ajutorul derivatei a doua eterminam intervalele de convexitate sau concavitate si punctele de inflexiune

7.  Tabelul de variatie al functiei

Intocmim tabelul de variatie cu datele e lapunctele precendente

8. Trasam graficul functiei

Exemplu:

1) Sa se reprezinte grafic functiile:

a) f:D\rightarrow R, f\left(x\right)=x^{3}-3x^{2}-4

In cazul functiilor polinomiale domeniul maxim de definitie este R, astfel D=R

G_{f}\cap Ox

Calculam

f\left(x\right)=0\Rightarrow x^{3}-3x^{2}-4=0\Rightarrow
x^{3}-2x^{2}-x^{2}-4=0\Rightarrow

x^{2}\left(x-2\right)-\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0\Rightarrow
\left(x-2\right)\left(x^{2}-x-2\right)=0

Deci gasim ca

x-2=0\Rightarrow x=2

Sau

x^{2}-x-2=0\Rightarrow
\Delta =\left(-1\right)^{2}-4\cdot 1\cdot\left(-2\right)=1+8=9

Calculam acum

x_{1}=\frac{1+\sqrt{9}}{2\cdot 1}=\frac{1+3}{2}=\frac{4}{2}=2

Deci ecuatia are doua solutii reale

Dar mai avem si

x_{2}=\frac{1-3}{2}=\frac{-2}{2}=-1

Deci avem

G_{f}\cap Ox=\left\{A\left(2,0\right); B\left(-1,0\right)\right\}

Calculam acum G_{f}\cap Oy, astfel calculam

f\left(0\right)=0^{3}-3\cdot 0^{2}+4=4

Astfel avem C\left(0, 4\right)

Determinam eventualele asimptote, astfel calculam

\lim\limits_{x\to-\infty}{x^{3}-3x^{2}+4}=-\infty

La fel si pentru

\lim\limits_{x\to+\infty}{x^{3}-3x^{2}+4}=+\infty

Deci functia nu are asimptote spre + si -infinit.

Studiul functiei folosind derivata intai:

f^{'}\left(x\right)=\left(x^{3}-3x^{2}+4\right)^{'}=3x^{2}-6x

Acum rezolvam

f^{'}\left(x\right)=0\Rightarrow 3x^{2}-6x=0\Rightarrow 3x\left(x-2\right)=0

Astfel obtinem fie

x=0

Sau

x-2=0\Rightarrow x=2

Acum intocmim tabelul de variatie pentru derivata I, astfel avem

intervalele de monotonie ale unei functii
Studiul functiei folosind derivata a doua:

Astfel avem
f^{''}\left(x\right)=\left(3x^{2}-6x\right)^{'}=6x-6
Rezolvam acum
f^{''}\left(x\right)=0\Rightarrow 6x-6=0\Rightarrow 6x=6\Rightarrow x=1
Intocmim tabelul de variatie pentru derivata a doua
concavitatea si convexitatea functiilor
Acum trasam graficul functiei
graficul unei functii

Rolul derivatei intai in studiul functiilor

O aplicatie utila a derivatei intai a unei functii o constituie determinarea intervalelor de monotonie.
Astfel:
Teorema. Fie f:I\rightarrow R o functie derivabila pe un interval I. Atunci:
a) functia f este monoton crescatoare pe intervalul I daca si numai daca f^{'}\left(x\right)\geq, \forall x\in I
b) functia f este monoton descrescatoare pe intervalul I daca si numai daca f^{'}\left(x\right)\leq, \forall  x\in I
Pentru determinarea intervalelor de monotonie ale unei functii f:D\rightarrow R se procedeaza astfel:
– se calculeaza derivata f^{'} a functiei pe domeniul de derivabilitate D_{f^{'}}\subset D_{f}
– se rezolva ecuatia f^{'}\left(x\right)=0,x\in D_{f^{'}}
– se determina semnul functiei f^{'} pe intervalele pe care functia nu se anuleaza
– se stabilesc intervalale de monotonie in functie de semnele derivatei
Exemplu:
Sa se determine intervalele de monotonie ale functiei f:

a) f:D\rightarrow R, f\left(x\right)=x^{3}-6x
Stabilim domeniul de definitie, astfel D=R
Calculam derivata intai
f^{'}\left(x\right)=\left(x^{3}-6x\right)^{'}=3x^{2}-6
Rezolvam ecuatia
f^{'}\left(x\right)=0\Rightarrow 3x^{2}-6=0\Rightarrow 3x^{2}=6\Rightarrow x^{2}=6:3\Rightarrow x=\pm\sqrt{2}
Determinam semnul functiei pe intervalele pe care functia se anuleaza.

Calculam acum f\left(-\sqrt{2}\right)=\left(-\sqrt{2}\right)^{2}-6\cdot\left(-\sqrt{2}\right)=-2\sqrt{2}+6\sqrt{2}=4\sqrt{2}

intervalele de monotonie

f\left(\sqrt{2}\right)=\left(\sqrt{2}\right)^{2}-6\cdot\sqrt{2}=2\sqrt{2}-6\sqrt{2}=-4\sqrt{2}
Astfel obtinem ca:
Pe intervalele \left(-\infty, -\sqrt{2}\right] si \left[\sqrt{2},+\infty\right) este strict crescatoare iar pe intervalul \left[-\sqrt{2},\sqrt{2}\right], functia este strict descrescatoare.

b) f:D\rightarrow R, f\left(x\right)=\frac{\ln x}{x}
Mai intai aflam domeniul de definitie, astfel punem conditia ca
x>0, deci gasim ca x\in \left(0,\right), deci domeniul de definitie este D=\left(0,+\infty\right), adica
f:\left(0,+\infty\right)\rightarrow R
Acum calculam derivata functiei f^{'}\left(x\right)=\left(\frac{\ln x}{x}\right)^{'}=\frac{\left(\ln x\right)\cdot x-\ln x\cdot x^{'}}{x^{2}}=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x\cdot 1}{x^{2}}=\frac{1-\ln x}{x^{2}}
Astfel avem ca
f^{'}\left(x\right)=0\Rightarrow 1-\ln x=0\Rightarrow \ln x=1\Rightarrow x=e
Acum avem tabelul de variatie:
f\left(e\right)=\frac{\ln e}{e}=\frac{1}{e}
cum studiem monotonia unei functii
Astfel pe intervalul
\left(0,e\right], f^{'}\left(x\right)\geq 0 deci functia este monoton crescatoare, iar pentru x\in\left[e,+\infty\right), f^{'}\left(x\right)\leq 0 deci functia este descrescatoare.

c) f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=\frac{\sin x}{2+\cos x}
Solutie
Observam ca functia este periodica de perioada principala T=2\pi
Astfel cand avem functii trigonometrice se recomanda sa efectuam studiul doar pe un interval de lungime egala, egal ca perioada principala, iar apoi rezultatele se extind la tot domeniul de definitie, adaugand multipli de 2\phi la capetele intervalelor de monotonie.
Astfel efectuam studul pe intervalul \left[0,2\pi\right]
Acum calculam
f^{'}\left(x\right)=\left(\frac{\sin x}{2+\cos x}\right)^{'}=\frac{\left(\sin x\right)^{'}\cdot\left(2+\cos x\right)-\sin x\cdot\left(2+\cos x\right)^{'}}{\left(2+\cos x\right)^{2}}=\frac{\cos x\left(2+cos x\right)-\sin x\cdot\left(0-\sin x\right)}{\left(2+cos x\right)^{2}}=\frac{2\cos x+cos^{2} x+\sin^{2} x}{\left(2\cos x\right)^{2}}=\frac{2\cos x+1}{\left(2+\cos x\right)^{2}}
Acum avem ca
f^{'}\left(x\right)=0\Rightarrow 2\cos x+1=0\Rightarrow 2\cos x=-1\Rightarrow \cos x=\frac{-1}{2}
Iar solutiile din \left[0, 2\phi\right] sunt x_{1}=\frac{2\pi}{3}, x_{2}=\frac{4\pi}{3}
Realizam tabelul de variatie
monotonia functiilor trigonometrice
Astfel
f este crescatoare pe intervalele de forma \left[0, 2k\pi, \frac{2\pi}{3}\right] si \left[\frac{4\pi}{3}+2k\pi, 2k\pi\right], k\in Z si strict descrescatoare pe intervalele de forma \left[\frac{2\pi}{3}+2k\pi,\frac{4\pi}{3}+2k\pi\right], k\in Z

Operatii cu functii derivabile

Dupa ce am invatat sa calculam derivata unei functii intr-un punct a venit vremea sa discutam despre Operatii cu functii derivabile, adica derivata sumei si a produsului, derivata catului.

Incepem cu derivata sumei si a produsului

Teorema. Fie f, g:D\rightarrow R si x_{0}\in D un punct de acumulare a lui D.

Daca functiile f si g sunt derivabile in punctul x_{0}\in D, atunci functiile f+g si f\cdot g sunt derivabile in punctul x_{0} si au loc urmatoarele reguli de derivare:

\left(f+g\right)^{'}\left(x_{0}\right)=f^{'}\left(x_{0}\right)+g^{'}\left(x_{0}\right)

\left(f\cdot g\right)^{'}\left(x_{0}\right)=f^{'}\left(x_{0}\right)\cdot g\left(x_{0}\right)+f\left(x_{0}\right)\cdot g^{'}\left(x_{0}\right)

Derivata catului

Teorema. Fie f, g:D\rightarrow R si x_{0}\in D un punct de acumulare a lui D.

Daca functiile f si g sunt derivabile in punctul x_{0}\in D si g\left(x_{0}\right)\neq 0, atunci functia cat \frac{f}{g} este3 derivabila in punctul x_{0} si are loc egalitatea:

\left(\frac{f}{g}\left(x_{0}\right)\right)^{'}=\frac{f^{'}\left(x_{0}\right)\cdot g\left(x_{0}\right)-f\left(x_{0}\right)\cdot g^{'}\left(x_{0}\right)}{g^{2}\left(x_{0}\right)}

Prezentam exemple prin care aplicam formulele de mai sus, dar nu doar pentru functiile elementare dar si pentru functiile compuse:

1) Folosind regula de derivare a functiilor compuse, sa se calculeze derivatele functiilor indicand domeniul maxim  de definitie si domeniul de derivabilitate:

a) f\left(x\right)=\left(\frac{x+2}{x}\right)^{2}

Domeniul maxim de definitie:

Punem conditia ca numitorul sa fie diferit de 0, astfel

x\neq 0

Deci domeniul maxim de definitie este D=R-\left\{0\right\}

Acum calculam :

f^{'}\left(x\right)=2\cdot \left(\frac{x+2}{x}\right)^{2-1}\cdot\left(\frac{x+2}{x}\right)^{'}=2\left(\frac{x+2}{x}\right)\cdot \frac{\left(x+2\right)^{'}\cdot x-\left(x+2\right)\cdot x^{'}}{x^{2}}=\frac{2\left(x+2\right)}{x}\cdot \frac{1\cdot x-\left(x+2\right)\cdot 1}{x^{2}}=\frac{2\left(x+2\right)}{x}\cdot\frac{x-x-2}{x^{2}}=\frac{2\left(x+2\right)}{x}\cdot\frac{-2}{x^{2}}=\frac{-4\left(x+2\right)}{x^{3}}

Observam ca functia de mai sus este o functie compusa si astfel am folosit prima data regula de derivare a functiilor compuse, adica \left(u^{n}\right)^{'}=n\cdot u^{n-1}\cdot u^{'}, unde u=\frac{x+2}{x}, iar apoi derivata catului, adica am derivat fractia.

 

b) f\left(x\right)=\sqrt{x}\cdot\ln x

Domeniul  maxim de definitie este

x>0

Deci D=R-{0}

f^{'}\left(x\right)=\left(\sqrt{x}\cdot\ln x\right)=\left(\sqrt{x}\right)^{'}\cdot \ln x+\sqrt{x}\cdot \left(\ln x\right)^{'}=

\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot\ln x+\sqrt{x}\cdot\frac{1}{x}=\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{x}=\frac{x\cdot\ln x+2\sqrt{x}\cdot \sqrt{x}}{2x\sqrt{x}}=\frac{x\cdot\ln x+2\cdot x}{2x\sqrt{x}}=\frac{x\left(\ln x+2\right)}{2x\sqrt{x}}=\frac{\ln x+2}{2\sqrt{x}}

Pentru a  deriva functia de mai sus am folosit formula pentru derivarea produsului, dar si derivatele functiilor elementare.

c) f\left(x\right)=\ln\frac{4-x^{2}}{2-x^{2}}

f^{'}\left(x\right)=\frac{1}{\frac{4-x^{2}}{2-x^{2}}}\cdot\left(\frac{4-x^{2}}{2-x^{2}}\right)^{'}=\frac{2-x^{2}}{4-x^{2}}\cdot\frac{\left(2-x^{2}\right)^{'}\cdot\left(4-x^{2}\right)-\left(2-x^{2}\right)\cdot\left(4-x^{2}\right)^{'}}{\left(2-x^{2}\right)^{2}}=\frac{2-x^{2}}{4-x^{2}}\cdot\frac{-2x\cdot\left(4-x^{2}\right)-\left(2-x^{2}\right)\cdot \left(-2x\right)}{\left(2-x^{2}\right)^{2}}=\frac{2-x^{2}}{4-x^{2}}\cdot\frac{-8x+2x^{3}+4x-2x^{3}}{\left(2-x^{2}\right)^{2}}=\frac{2-x^{2}}{4-x^{2}}\cdot\frac{-4x}{\left(2-x^{2}\right)^{2}}=\frac{1}{4-x^{2}}\cdot\frac{-4x}{2-x^{2}}=\frac{-4x}{\left(4-x^{2}\right)\left(2-x^{2}\right)}.

Acum aflam domeniul de definitie al derivabilitatii:

2-x^{2}\neq 0\Rightarrow x^{2}\neq 2\Rightarrow x\neq \pm \sqrt{2}    \\4-x^{2}\neq 0\Rightarrow x^{2}\neq 4\Rightarrow x\neq \pm 2.

D^{'}=R-\left\{\pm 2; \pm \sqrt{2}\right\}

d) f\left(x\right)=\left(\sin x\right)^{\cos x}

Calculam :

f^{'}\left(x\right)=\cos x\cdot \left(\sin x\right)^{\cos x-1}\cdot cos x+\left(\sin x\right)^{cos x}\cdot \ln \sin x\cdot \left(\cos x\right)^{'}=\cos x\cdot \left(\sin x\right)^{\cos x-1}\cdot cos x+\left(\sin x\right)^{cos x}\cdot \ln \sin x\cdot\left(-\sin x\right)=\cos^{2} x\left(\sin x\right)^{\cos x-1}+\left(\sin x\right)^{cos x}\cdot \ln \sin x\cdot\left(-\sin x\right)=\left(\sin x\right)^{\cos x-1}\left(\cos^{2} x-\sin^{2} x\ln\sin x\right)

Ca sa derivam functia de mai sus am folosit formula

\left(f^{g}\right)^{'}=g\cdot f^{g-1}\cdot f^{'}+f^{g}\cdot \ln f\cdot g^{'}=f^{g-1}\left(g\cdot f^{'}+f\cdot \ln f\cdot g^{'}\right).

e) f\left(x\right)=\left(x+1\right)\cdot \sqrt{x}

Afla mai intai domeniul de definitie:

Punem conditia ca \sqrt{x}\geq 0\Rightarrow x\geq 0

Astfel domeniul de definitie al functiei este:

D=[0, \infty)

Calculam acum :

f^{'}\left(x\right)=\left(x+1\right)^{'}\cdot \sqrt{x}+\left(x+1\right)\cdot\left(\sqrt{x}\right)^{'}=1\cdot \sqrt{x}+\left(x+1\right)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\sqrt{x}+\frac{x+1}{2\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}\cdot 2\sqrt{x}+x+1}{2\sqrt{x}}=\frac{2x+x+1}{2\sqrt{x}}=\frac{3x+1}{2\sqrt{x}}.
Acum ca sa aflam domeniul de derivabilitate punem conditia ca
\sqrt{x}>0\Rightarrow x>0
D=\left(0,+\infty\right)