Exercitii rezolvate cu grupuri

Un exercitu rezolvat de urgenta pentru un prieten Mate Pedia

Exercitiul de rezolvat:

1. Pe R se definesc legile de compozitie „x” si „o” astfel:

x*y=x+y-6

xoy=xy-6x-6y+42

a.) Rezolvati ecuatia xox=36*1

Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus mai intai calculam

x\circ x=x\cdot x-6x-6x+42\Rightarrow x\circ x=x^{2}-12x+42

Observati ca pentru a calcula x\circ x am folosit prima lege de compozitie, iar x a luat valoarea lui  x, iar cel de-al doilea x a luat valoarea lui y

Dar calculam si 36*1=36+1-6\Rightarrow 37-6=31

Mai sus am folosit cea de-a doua lege de compozitie, unde x ia valoarea lui 36 si 1 valoarea lui y

Acum ecuatia devine: x\circ x=36*1\Rightarrow x^{2}-12x+42=31\Rightarrow x^{2}-12x+42-31=0\Rightarrow x^{2}-12x+11=0

Observam ca am obtinut o ecuatie de gradul al doilea si calculam

\Delta=\left(-12\right)^{2}-4\cdot 1\cdot 11=144-44=100

Si obtinem x_{1}=\frac{-\left(-12\right)+\sqrt{100}}{2}=\frac{12+10}{2}=\frac{22}{2}=11

Dar si x_{2}=\frac{-\left(-12\right)-\sqrt{100}}{2}=\frac{12-10}{2}=\frac{2}{2}=1

b.) Aratati ca legea de compozitie „*” este comutativa

Ca sa aratam ca legea de compozitie este comutativa calculam

x*y=y*x, \forall x, y\in R

Adica: x*y=x+y-6

x*y=y*x\Rightarrow x+y-6=y+x-6

Stim ca adunarea numerelor reale este comutativa si astfel obtinem ca legea de compozitie de mai sus este comutativa.

c.) Determinati elementul neutru al legii de compozitie „*”

Stim ca e\in R si trebuie sa calculam x*e=e*x=x

Cum legea de compozitie este comutativa este suficient sa calculam doar x*e=x\Rightarrow x+e-6=x\Rightarrow e-6=x-x\Rightarrow e-6=0\Rightarrow e=6

La fel obtinem si pentru e*x=x\Rightarrow e+x-6=x\Rightarrow e-6=x-x\Rightarrow e-6=0\Rightarrow e=6

Deci obtinem ca elementul neutru al legii de compozitie este 6.

d.) Gasiti simetricul lui 2014 in raport cu legea de compozitie „*”

Ca sa gasim simetricul lui 2014, notam simetricul sau cu x si calculam:

x*2004=e unde e este elementul neutru al legii de compozitie.

Si obtinem: x=-2002

Si astfel am obtinut ca simetricul lui 2014 este -2002

si dupa cum am spus si mai sus este suficient sa calculam:

e.) Demonstrati ca xo(y*z)=(xoy)*(xoz) oricare ar fi x,y,z apartin lui R.

Solutie:

Acum trebuie sa demonstram distributivitatea celei de-a doua legi in functie de prima. Astfel calculam mai intai x\circ\left(y*z\right)=x\circ\left(y+z-6\right)\Rightarrow x\left(y+z-6\right)-6x-6\left(y+z-6\right)+42=xy+xz-6x-6x-6y-6z+36+42=xy+xz-12x-6y-6z+78 (1)

Observati ca mai sus am folosit ambele legi.

Iar acum calculam: x\circ y=xy-6x-6y+42

Dar si x\circ z=xz-6x-6z+42

Si acum: \left(x\circ y\right)*\left(x\circ z\right)=\left(xy-6x-6y+42\right)*\left(xz-6x-6z+42\right)=    xy-6x-6y+42+xz-6x-6z+42-6=xy+xz-12x-6y-6z+84-6=xy+xz+12x-6y-6z+78(2)

Din (1) si (2) observam ca cele doua relatii se verifica.