Rolul derivatei intai in studiul functiilor

O aplicatie utila a derivatei intai a unei functii o constituie determinarea intervalelor de monotonie.
Astfel:
Teorema. Fie f:I\rightarrow R o functie derivabila pe un interval I. Atunci:
a) functia f este monoton crescatoare pe intervalul I daca si numai daca f^{'}\left(x\right)\geq, \forall x\in I
b) functia f este monoton descrescatoare pe intervalul I daca si numai daca f^{'}\left(x\right)\leq, \forall  x\in I
Pentru determinarea intervalelor de monotonie ale unei functii f:D\rightarrow R se procedeaza astfel:
– se calculeaza derivata f^{'} a functiei pe domeniul de derivabilitate D_{f^{'}}\subset D_{f}
– se rezolva ecuatia f^{'}\left(x\right)=0,x\in D_{f^{'}}
– se determina semnul functiei f^{'} pe intervalele pe care functia nu se anuleaza
– se stabilesc intervalale de monotonie in functie de semnele derivatei
Exemplu:
Sa se determine intervalele de monotonie ale functiei f:

a) f:D\rightarrow R, f\left(x\right)=x^{3}-6x
Stabilim domeniul de definitie, astfel D=R
Calculam derivata intai
f^{'}\left(x\right)=\left(x^{3}-6x\right)^{'}=3x^{2}-6
Rezolvam ecuatia
f^{'}\left(x\right)=0\Rightarrow 3x^{2}-6=0\Rightarrow 3x^{2}=6\Rightarrow x^{2}=6:3\Rightarrow x=\pm\sqrt{2}
Determinam semnul functiei pe intervalele pe care functia se anuleaza.

Calculam acum f\left(-\sqrt{2}\right)=\left(-\sqrt{2}\right)^{2}-6\cdot\left(-\sqrt{2}\right)=-2\sqrt{2}+6\sqrt{2}=4\sqrt{2}

intervalele de monotonie

f\left(\sqrt{2}\right)=\left(\sqrt{2}\right)^{2}-6\cdot\sqrt{2}=2\sqrt{2}-6\sqrt{2}=-4\sqrt{2}
Astfel obtinem ca:
Pe intervalele \left(-\infty, -\sqrt{2}\right] si \left[\sqrt{2},+\infty\right) este strict crescatoare iar pe intervalul \left[-\sqrt{2},\sqrt{2}\right], functia este strict descrescatoare.

b) f:D\rightarrow R, f\left(x\right)=\frac{\ln x}{x}
Mai intai aflam domeniul de definitie, astfel punem conditia ca
x>0, deci gasim ca x\in \left(0,\right), deci domeniul de definitie este D=\left(0,+\infty\right), adica
f:\left(0,+\infty\right)\rightarrow R
Acum calculam derivata functiei f^{'}\left(x\right)=\left(\frac{\ln x}{x}\right)^{'}=\frac{\left(\ln x\right)\cdot x-\ln x\cdot x^{'}}{x^{2}}=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x\cdot 1}{x^{2}}=\frac{1-\ln x}{x^{2}}
Astfel avem ca
f^{'}\left(x\right)=0\Rightarrow 1-\ln x=0\Rightarrow \ln x=1\Rightarrow x=e
Acum avem tabelul de variatie:
f\left(e\right)=\frac{\ln e}{e}=\frac{1}{e}
cum studiem monotonia unei functii
Astfel pe intervalul
\left(0,e\right], f^{'}\left(x\right)\geq 0 deci functia este monoton crescatoare, iar pentru x\in\left[e,+\infty\right), f^{'}\left(x\right)\leq 0 deci functia este descrescatoare.

c) f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=\frac{\sin x}{2+\cos x}
Solutie
Observam ca functia este periodica de perioada principala T=2\pi
Astfel cand avem functii trigonometrice se recomanda sa efectuam studiul doar pe un interval de lungime egala, egal ca perioada principala, iar apoi rezultatele se extind la tot domeniul de definitie, adaugand multipli de 2\phi la capetele intervalelor de monotonie.
Astfel efectuam studul pe intervalul \left[0,2\pi\right]
Acum calculam
f^{'}\left(x\right)=\left(\frac{\sin x}{2+\cos x}\right)^{'}=\frac{\left(\sin x\right)^{'}\cdot\left(2+\cos x\right)-\sin x\cdot\left(2+\cos x\right)^{'}}{\left(2+\cos x\right)^{2}}=\frac{\cos x\left(2+cos x\right)-\sin x\cdot\left(0-\sin x\right)}{\left(2+cos x\right)^{2}}=\frac{2\cos x+cos^{2} x+\sin^{2} x}{\left(2\cos x\right)^{2}}=\frac{2\cos x+1}{\left(2+\cos x\right)^{2}}
Acum avem ca
f^{'}\left(x\right)=0\Rightarrow 2\cos x+1=0\Rightarrow 2\cos x=-1\Rightarrow \cos x=\frac{-1}{2}
Iar solutiile din \left[0, 2\phi\right] sunt x_{1}=\frac{2\pi}{3}, x_{2}=\frac{4\pi}{3}
Realizam tabelul de variatie
monotonia functiilor trigonometrice
Astfel
f este crescatoare pe intervalele de forma \left[0, 2k\pi, \frac{2\pi}{3}\right] si \left[\frac{4\pi}{3}+2k\pi, 2k\pi\right], k\in Z si strict descrescatoare pe intervalele de forma \left[\frac{2\pi}{3}+2k\pi,\frac{4\pi}{3}+2k\pi\right], k\in Z