Probleme rezolvate pentru Denisa

Se considera triunghiul ABC si fie D si E simetricele punctelor B si respectiv C fata de A. Aratati ca DE paralel pe BC .

Demonstratie:

cum aratam ca doua drepte sunt paralele

Daca D este simetricul lui B fata de A stim ca \left[BA\right]\equiv\left[AD\right], iar daca

E este simetricul lui C fata de A obtinem de asemenea ca \left[CA\right]\equiv\left[AE\right]

Astfel obtinem ca \Delta ABC\equiv\Delta ADE

Astfel avem ca

\left[AB\right]\equiv\left[AD\right]

\left[AC\right]\equiv\left[AE\right]

Dar mai observam si ca

\widehat{DAE}\equiv\widehat{BAC}

Deci cu cazul de congruenta L.U.L \Delta ABC\equiv\Delta ADE

Deci obtinem si ca:

\widehat{AED}\equiv\widehat{ACB}

Dar si ca

\widehat{ADE}\equiv\widehat{ABC}.

Observam ca drepta EC intersecteaza dreptele  DE si CB in doua puncte distincte diferite, adica in punctele  E si C deci EC este secanta si astfel cu criteriile de paralelism obtinem ca: ED||BC

Unghiul \widehat{DEA}\equiv\widehat{BCA} (ca unghiuri alterene interne)

In triunghiul ABC fie [BE bisectoarea unghiului B ,cu E apartine (AC) ,iar D apartine (AB) astfel incat [BD] congruent cu [DE] . Aratati ca DE paralel pe BC .

Demonstratie

criteriile de paralelism

Observam ca triunghiul BDE este isoscel de baza BD (deoarece din ipoteza avem ca \left[BD\right]\equiv\left[DE\right]), astfel obtinem ca:

\widehat{DBE}\equiv\widehat{DEB}

Dar mai stim si ca BE este bisectoare astfel obtinem ca:

\widehat{DBE}\equiv\widehat{EBC}

De unde rezulta ca si \widehat{DEB}\equiv\widehat{EBC}

Observam ca BE este intersecteaza doua drepte distincte in doua puncte diferite, astfel obtinem ca BE este secanta.

secanta a doua drepte

Si cum unghiul DEB congruent cu unghiul ECB ca perechi de unghiuri alteren interne, obtinem cu ajutorul criteriilor de paralelism ca: DE||BC.

Criterii de paralelism

Criterii de paralelism

Teorema. Daca doua drepte determina cu o secanta o pereche de unghiuri alterne interne congruente, atunci dreptele sunt paralele.

Criterii de paralelism

Redactarea simbolurilor
\prec 1\equiv \prec 2
\prec 1 si \prec 2 sunt unghiuri alterne interne formatele de dreptele a si b cu secanta s.
Deci a||b.
Mai exista si alte criterii de paralelism care sunt consecinte ale teoremei de mai sus.
Daca, doua drepte determina cu o secanta o pereche de unghiuri alterne externe congruente, atunci dreptele sunt paralele.
Daca, doua drepte determina cu o secanta o pereche de unghiuri corespondente congruente, atunci dreptele sunt paralele.
Daca, doua drepte determina cu o secanta o pereche de unghiuri alterne interne de aceiasi parte a secantei suplementare, atunci dreptele sunt paralele.
Daca, doua drepte determina cu o secanta o pereche de unghiuri alterne externe de aceiasi parte a secantei suplementare, atunci dreptele sunt paralele.

Problema:

1) Fie triunghiul isoscel ABC, \left[AB\right]\equiv\left[AC\right] in care prelungim inaltimea \left[AD\right], D\in BC, dincolo de D cu segmentul \left[DM\right]\equiv\left[AD\right]. Demonstrati ca:

a) AB|| CM

b) AC||BM

Demonstratie:

relatii de paralelism
Observam ca
\left[BD\right]\equiv\left[CD\right]  \\ \left[AD\right]\equiv\left[MD\right]  \\ \widehat{ADB}\equiv\widehat{MDC}\Rightarrow
\Delta ABD\equiv\Delta MCD
Deci cu cazul L.U.L cele doua triunghiuri sunt congruente.
Astfel stim si ca \widehat{ABD}\equiv\widehat{DCM}
Mai mult \widehat{ABC}\equiv\widehat{BCM} si avand pozitii de unghiuri alteren interne rezulta ca AB||CM.
BC fiind secanta.
b) Observam ca
\left[BD\right]\equiv\left[CD\right]  \\ \left[AD\right]\equiv\left[MD\right]  \\\widehat{ADC}\equiv\widehat{MDB}\Rightarrow  \\ \Delta ACD\equiv\Delta BMC
Deci cu cazul L.U.L cele doua triunghiuri sunt congruente.
Gasim si ca
\widehat{ACD}\equiv\widehat{DBM}
Mai mult
\widehat{ACB}\equiv\widehat{CBM} si avand pozitii de unghiuri alterene interne rezulta ca AC||BM.