Exercitii cu radicali Exercitii cu numere reale

Dupa ce am discutat despre numere reale, adica Radacina patrata a unui numar  natural patrat perfect, Modulul unui numar real, Reprezentarea pe axa a numerelor reale, Produsul radicalilor, Catul radicalilor, Introducerea factorilor sub radicali, Scoaterea factorilor de sub radicali, Operatii cu numere reale, Rationalizarea numitorilor unei fractii, Formule de calcul prescurtat si nu in ultimul rand Media geometrica adoua numere reale nenegative astazi o sa ne reaminitm cum se efectueaza aceste exercitii, adica o recapitulare a intregului capitol al Numerelo reale. Astfel prezentam Exercitii cu radicali

 

1. Rezultatul calculului \frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{3}{2\sqrt{3}}-\frac{5}{4\sqrt{3}} este …

Ca sa aflam rezultatul acestui calcul mi intai rationalizam numitorii dupa cum am invatat si astfel obtinem:

\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{3\sqrt{3}}{2\cdot 3}-\frac{5\sqrt{3}}{4\cdot 3}=\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{5\sqrt{3}}{12}=\frac{4\sqrt{3}+6\sqrt{3}-5\sqrt{3}}{12}=\frac{5\sqrt{3}}{12}

2) Calculand \sqrt{27}\left(\frac{4}{\sqrt{3}}-\frac{5\sqrt{3}}{3}\right) se obtine….

Solutie:

3\sqrt{3}\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}-\frac{5\sqrt{3}}{3}\right)=3\sqrt{3}\left(\frac{4\sqrt{3}-5\sqrt{3}}{3}\right)=3\sqrt{3}\left(\frac{-sqrt{3}}{3}\right)=\sqrt{3}\cdot\left(-\sqrt{3}\right)=-3

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus, mai intai am scos factorii de sub radicali, iar apoi am rationalizat, am efectuat calculele si astfel am gasit rezultatul final, nu inainte de a simplifica pe unde am putut.

3. Rezultatul calculului \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{1+\sqrt{2}} este egal cu …
Solutie

Ca sa afla rezultatul calculului mai intai rationalizam numitorii, cu regula care am invatat-o la lectua Rationalizarea numitorilor

a sa afla rezultatul calculului mai intai rationalizam numitorii, cu regula care am invatat-o la lectua Rationalizarea numitorilor

\frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{4}\right)^{2}}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}+\frac{1-\sqrt{2}}{1^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}=

\frac{\sqrt{3}-2}{3-4}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}+\frac{1-\sqrt{2}}{1-2}=\frac{\sqrt{3}-2}{-1}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{-1}+\frac{1-\sqrt{2}}{-1}=1

4. Daca x=\sqrt{\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}}+|\sqrt{5}-3|=|2-\sqrt{5}|+|\sqrt{5}-3|=\sqrt{5}-2+3-\sqrt{5}=-2+3=1

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus trebuie sa tinem cont de anumite reguli, adica:

stim \sqrt{a^{2}}=|a|=a,\;\;\;daca\;\;\; a>0 si -a\;\;\;daca \;\;\;a<0 astfel in cazul nostru stim ca \sqrt{5}\approx 2, 236 deci mai mare decat 2 si astfel obtinem:

 

\sqrt{\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}}=|2-\sqrt{5}|=-\left(2-\sqrt{5}\right)=-2+\sqrt{5}=\sqrt{5}-2

asemanator facem si pentru |\sqrt{5}-3|.

5. Daca x=\sqrt{\left(1-\sqrt{2}\right)^{2}}, y=\sqrt{\left(\sqrt{2}-3\right)^{2}} si z=2\sqrt{6}\left(\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}}-\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right), atunci x+y-z este….

Solutie:

Calculam mai intai

x=|1-\sqrt{2}|=-\left(1-\sqrt{2}\right)=\sqrt{2}-1, iar apoi

y=|\sqrt{2}-3|=-\left(\sqrt{2}-3\right)=3-\sqrt{2}, deoarece observam ca \sqrt{2}<3, \sqrt{2}\approx 2,141

iar

z= 2\sqrt{6}\left(\frac{\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{3}-\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{2}}{\sqrt{6}}\right)=2\sqrt{6}\cdot \frac{4\sqrt{9}-3\sqrt{4}}{\sqrt{6}}=2\sqrt{6}\cdot\frac{4\cdot 3-3\cdot 2}{\sqrt{6}}=2\sqrt{6}\cdot\frac{12-6}{\sqrt{6}}=2\sqrt{6}\cdot\frac{6}{\sqrt{6}}=2\cdot 6=12

Observam ca la exercitiul de mai sus mai intai in paranteza am adus la acelasi numitor comun (puteam sa si rationalizam, de obiecei alegem metoda care ni se pare mai usoara), am efectuat calculele din paranteza , iar apoi am efectuat produsul dintre numarul din fata parantezei si rezultatul din paranteza, nu inainte de a simplifica.

Acum calculam x+y-z=\sqrt{2}-1+3-\sqrt{2}-12=2-12=-10

6. Calculand \frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}+\frac{6}{\sqrt{3}}-\frac{5}{\sqrt{5}}, se obtine…

Solutie

\frac{2\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}+\frac{6\sqrt{3}}{3}-\frac{5\sqrt{5}}{5}=    \frac{2\sqrt{5}+2\sqrt{3}}{5-3}+2\sqrt{3}-\sqrt{5}=\frac{2\sqrt{5}+2\sqrt{3}}{2}+2\sqrt{3}-\sqrt{5}=\frac{2\sqrt{5}+2\sqrt{3}+4\sqrt{3}-2\sqrt{5}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}.

Observati  ca acum am rationalizat pare mai usor de calculat si gasim cam greu numitorul comun, iar apoi am efectuat calculele cu numere reale, adica am folosit regulile de calcul cu radicali si astfel am gasit rezultatul.

7. Daca a=\sqrt{\left(\sqrt{3}-3\right)^{2}} si b=\sqrt{\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}} atunci media aritmetica a lor este egal cu….

Solutie:

Mai intai calculam a=|\sqrt{3}-3|=-\left(\sqrt{3}-3\right)=3-\sqrt{3}, iar

b=|2+\sqrt{3}|=2+\sqrt{3}, astfel media aritmetica a celor doua numere este:

m_{a}=\frac{a+b}{2}=\frac{3-\sqrt{3}+2+\sqrt{3}}{2}=\frac{3+2}{2}=\frac{5}{2}.

8. Calculand

\left(\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}\right)^{12}+\sqrt{\left(1-\sqrt{5}\right)^{2}}-|2-\sqrt{5}| se obtine…

Solutie:

\left(\frac{\sqrt{3}\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)}{3}-\frac{\sqrt{3}\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}\right)^{12}+|1-\sqrt{5}|-\left[-\left(2-\sqrt{5}\right)\right]=

\left(\frac{\sqrt{15}-\sqrt{6}}{3}-\frac{\sqrt{15}-\sqrt{6}}{5-2}\right)^{12}+\sqrt{5}-1-\left(-2+\sqrt{5}\right)=

\left(\frac{\sqrt{15}-\sqrt{6}}{3}-\frac{\sqrt{15}-\sqrt{6}}{3}\right)^{12}+\sqrt{5}-1+2-\sqrt{5}=\left(\frac{\sqrt{15}-\sqrt{6}-\sqrt{15}+\sqrt{6}}{3}\right)^{12}+1

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus  observam ca am rationalizat fractiile, iar apoi am efectuat calculele si astfel am observat ca ni s-au redus toti termenii, iar modulele le-am rezolvat cum am facut mai sus .Astfel am obtinut rezultatul 1.

9. Calculand \sqrt{4-\sqrt{7}}\cdot\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{2-\sqrt{3}}\cdot\sqrt{2+\sqrt{3}} se obtine….

Solutie

\sqrt{\left(4-\sqrt{7}\right)\cdot\left(4+\sqrt{7}\right)}

-\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)\cdot\left(2+\sqrt{3}\right)}=

\sqrt{4^{2}-\sqrt{7}^{2}}-\sqrt{2^{2}-\sqrt{3}^{2}}=    \sqrt{16-7}-\sqrt{4-3}=\sqrt{9}-\sqrt{1}=3-1=2

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus am folosit produsul radicalilor, dar si formulele de calcul prescurtat, adica formula a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\cdot\left(a+ \right) precum si radacina patrata a unui numar natural.

Deci e important ca la exercitii cu radicali sa invatam toate notiunile care tin de acest capitol.

 

 

 

Formule de calcul prescurtat

Formule de calcul prescurtat

Astazi o sa invatam tehnici si procedee care ofera posibilitatea unui calcul mai rapid al expresiilor care contin radicali  sau permit scrierea radicalilor dubli sub forma unor expresii care contin radicali simpli.  Deci acum invatam urmatoarele formule de calcul prescurtat:

Formule de calcul prescurtat

1) \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}

2) \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2}

3) a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\cdot\left(a+b\right)

4) \sqrt{A\pm\sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A+C}{2}}\pm\sqrt{\frac{A-C}{2}}, unde C=\sqrt{A^{2}-B}.

Deci este  foarte important sa intelegem cum sa aplicam formulele de calcul prescurtat.

Exemplu:

1) Calculati

a) 4\left(3\sqrt{3}-1\right)^{2}-5\left(\sqrt{3}-4\right)^{2}-\sqrt{768}=    4\left[\left(3\sqrt{3}\right)^{2}-2\cdot 3\sqrt{3}\cdot 1+1^{2}\right]-5\left[\left(\sqrt{3}\right)^{2}-2\cdot \sqrt{3}\cdot 4+4^{2}\right]-16\sqrt{3}=    4\left(27-6\sqrt{3}+1\right)-5\left(3-8\sqrt{3}+16\right)-16\sqrt{3}=    4\left(28-6\sqrt{3}\right)-5\left(19-8\sqrt{3}\right)-16\sqrt{3}=    112-24\sqrt{3}-95+40\sqrt{3}-16\sqrt{3}=    17+\sqrt{3}\left(-24+40-16\right)=17+\sqrt{3}\cdot 0=17

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus  am aplicat cea de-a doua formula, unde observati ca pentru primul patrat a=3\sqrt{3} si b=1, iar pentru cel de-al doilea patrat observam ca a=\sqrt{3} si b=4, iar din numarul $\sqrt{768}$ am scos factori de sub radicali si am obtinut \sqrt{768}=\sqrt{2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 3}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot \sqrt{3}=16\sqrt{3}

cum scoatem factori de sub radicali

 

, apoi am efectuat calculele , adica am ridicat numerelor la patrat si am inmultit, apoi am adunat si am scazut si astfel am gasit rezultatul.

b) \left(\sqrt{3}+2\sqrt{2}\right)^{2} +\left(3\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^{2}

-\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\cdot\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)+2\sqrt{6}=

\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\cdot \sqrt{3}\cdot 2\sqrt{2}+\left(2\sqrt{2}\right)^{2}+\left(3\sqrt{3}\right)^{2}-2\cdot 3\sqrt{3}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\left[\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right]+2\sqrt{6}=    3+4\sqrt{6}+8+27-6\sqrt{6}+2-3+2+2\sqrt{6}=39

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus am folosit primele  doua formule adica

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}

\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2}

unde pentru prima paranteza a=\sqrt{3}, b=2\sqrt{2}, dar trebuie sa avem grija tot timpul sa introducem si termenul din mijloc adica 2ab, pe cafre majoritatea dintre voi il uitati sau pierdeti, pentru patratul cel de-al doilea (paranteza a doua) a=3\sqrt{3}, b=\sqrt{2} la fel si aici trebuie sa tinem cont si de termenul 2ab, dar observam ca la exercitul nostru mai avem si a treia formula de aplicat adica \left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\cdot\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right), unde a=\sqrt{3}, b=\sqrt{2}, deci observati ca noi acum aplicam partea de inceput a formulei a treia, adica \left(a-b\right)\cdot\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} si obtinem \left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2} iar restul este calcul, folosim regulile de calcul cu radicali.

c) \sqrt{11-6\sqrt{2}}+\sqrt{7-4\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{5-2\sqrt{6}}}=

Calculam mai intai, adica putem sa aplicam formula 4) sau sa ne gandim cum putem sa scriem numarul de sub radical ca sa obtinem un patrat sub radical

\sqrt{11-6\sqrt{2}}=\sqrt{3-2\cdot 3\cdot \sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-\sqrt{2}\right)^{2}}=3-\sqrt{2},

ca sa observam mai usor cu aceasta metoda trebuie sa ne uitam la termenul care formeaza suma celor doua patrate adica 11, dar si la produsul dintre 2 si ”ab”, deci impartim la 2 si obtinem 6\sqrt{2}=2\cdot 3\cdot\sqrt{2} si astfel am obtinut a=3 si b=\sqrt{2}.

Sau cu formula de mai sus, dar mai intai trebuie sa obtinem ce avem sub radical sub forma \sqrt{A-\sqrt{B}}, deci introducem la cel de-al doilea radical factorul sub radical, adica \sqrt{11-\sqrt{36\cdot 2}}=\sqrt{11-\sqrt{72}}, dupa ce am adus la formam care ne trebuia

calculamC=\sqrt{A^{2}-B}=\sqrt{11^{2}-72}=\sqrt{121-72}=\sqrt{49}=7, acum aplicam formula propriu zisa

\sqrt{11-\sqrt{72}}=\sqrt{\frac{11+7}{2}}-\sqrt{\frac{11-7}{2}}=\sqrt{\frac{18}{2}}-\sqrt{\frac{4}{2}}=\sqrt{9}-\sqrt{2}=3-\sqrt{2}

Calculam acum cel de-al doilea radical

\sqrt{7-4\sqrt{3}}=\sqrt{4+3-2\cdot 2\cdot \sqrt{3}}=\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}}=2-\sqrt{3}

\sqrt{5-2\sqrt{6}}=\sqrt{5-2\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}=\sqrt{\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)^{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}

am inversat radical din 2 cu radical din 3 pentru ca radical din 3 mai mare decat radical din 2, noi obtinem sub radical modul din acel numar si din acest motiv trebuie sa avem grija cum scriem numarul.

Pentru ceilalti doi radicali aplicati voi formula de mai sus, mie mi se pare mai usor sa folosesc formulele de calcul prescurtat.

Acum scriem ce am gasit

3-\sqrt{2}+2-\sqrt{3}+\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=5-\sqrt{2}-\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2}=    5-\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{3}+\sqrt{2}=5

Observati ca mai sus am si rationalizat, iar apoi am folosit regulile de calcul cu radicali.

 

Formulele de calcul prescurtat

Despre formulele de calcul prescurtat ati mai  auzit, astfel acum o sa rezolvam exercitii cu formule de calcul prescurtat.Este important sa stim sa aplicam formulele de calcul prescurtat pentru cand o sa invatam sa lucram cu rapoarte.
1)Efectuati:
<br /> \left(3\sqrt{2}-x\right)\left(3\sqrt{2}+x\right)-\left(3x-2\sqrt{2}\right)\left(3x+2\sqrt{2}\right)+\left(\sqrt{10}x-1\right)\left(\sqrt{10}x+1\right)
Pentru a rezolva exercitiul de mai sus folosim urmatoarea formula de calcul prescurtat \left(a+b\right)\left(a-b\right)=a^{2}-b^{2}, astfel:
<br /> \left(3\sqrt{2}\right)^{2}-x^{2}-\left[\left(3x\right)^{2}-\left(2\sqrt{2}\right)^{2}\right]+\left(\sqrt{10}x\right)^{2}-1^{2}=<br /> 9\cdot 2-x^{2}-9x^{2}+8+10x^{2}-1=<br /> \\18-x^{2}-9x^{2}+7+10x^{2}=25
Dupa cum am mai spus si mai sus am folosit formula de calcul prescurtat \left(a+b\right)\left(a-b\right)=a^{2}-b^{2}, iar apoi la paranteza a doua am avut grija de semnul din fata parantezei (stim ca semnul din fata parantezei schimba toate semnele), iar apoi am ridicat termenii la patrat.Restul este vorba de calcul algebric, adica am luat, subliniat termenii asemenea si am facut calculele.
b) <br /> \left(x+3\right)\left(x-3\right)-\left(x+1\right)^{2}=<br /> x^{2}-3^{2}-\left(x^{2}+2x+1^{2}\right)=<br /> x^{2}-9-x^{2}-2x-1=-10-2x=-2\left(5+x\right)<br />
Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus am folosit doua formule: prima data formula pe care am folosit-o si la primul exercitiu iar pentru al doilea termen am folosit formula:\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, deci in cazul nostru a=x si b=1, iar apoi am subliniat termenii asemenea pentru a-i aduna,  folosind calculul algebric (adica am subliniat termenii cu x si i-am adunat) si regulile de calcul cu numere intregi.
c) <br /> \left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}-1\right)^{2}-2\left(\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)=
\sqrt{5}^{2}+2\sqrt{5}\sqrt{3}+\sqrt{3}^{2}-\left(\sqrt{5}^{2}+\sqrt{3}^{2}+1^{2}+2\sqrt{5}\sqrt{3}-2\sqrt{5}\cdot 1-2\sqrt{3}\cdot 1\right)-2\sqrt{3}-2\sqrt{5}=<br /> 5+2\sqrt{15}+3-\left(5+3+1+2\sqrt{15}-2\sqrt{5}-2\sqrt{3}\right)-2\sqrt{3}-2\sqrt{5}=\\<br /> 8+2\sqrt{15}-\left(9+2\sqrt{15}-2\sqrt{5}-2\sqrt{3}\right)-2\sqrt{3}-2\sqrt{5}=<br /> 8+2\sqrt{15}-9-2\sqrt{15}+2\sqrt{5}+2\sqrt{3}-2\sqrt{3}-2\sqrt{5}=-1<br />
La exercitiul de mai sus am folosit prima data urmatoarea formula de calcul prescurtat \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, iar pentru a doua paranteza am folosit urmatoarea formula \left(a+b-c\right)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab-2ac-2bc, unde a=\sqrt{5}, b=\sqrt{3}, c=\sqrt{1}, iar la ultima paranteza am introdus factorul comun 2 in fractie, dupa ce am terminat aceasta etapa a exercitiului am efectuat calculele cu termenii asemenea si am obtinut rezultatul -1. Trebuie sa tinem cont de faptul ca la a doua paranteza nu am desfintat-o pentru ca aveam semnul -, iar semnul din fata parantezei schimba toate semnele.
Important este sa invatam formulele de calcul prescurtat si sa stim sa le aplicam.