Rezolvarea triunghiului dreptunghic cu functiile trigonometrice

Dupa ca am invatat sa aplicam Teorema lui Pitagora, adica sa rezolvam triunghiul dreptunghic cu ajutorul Teoremei lui Pitagora, Teoremei inaltimii, Teoremei catetei, a venit vremea sa invatam sa rezolvam Triunghiul dreptunghic cu ajutorul functiilor trigonometrice.

Astfel, pentru orice triunghi dreptunghic se definesc rapoartele sinus, cosinus, tangenta si cotangenta numite functiile trigonometrice.

cum aplicam functiile trigonometrice

Acum definim functia sinus pentru unghiul x ca fiind \sin x^{0}=\frac{cateta. opusa}{ipotenuza}=\frac{AC}{BC}

Functia cosinusului: \cos x^{0}=\frac{cateta, alaturata}{ipotenuza}=\frac{AB}{BC}

Functia tangenta \tan x^{0}=\frac{cateta. opusa}{cateta. alaturata}=\frac{AC}{AB}

Functia cotangenta x^{0}=\frac{cateta alaturata}{cateta. opusa}=\frac{AB}{AC}

Se observa ca \tan x^{0}=\frac{\sin x^{0}}{\cos x^{0}} dar si  functia cotangenta x^{0}=\frac{cos x^{0}}{\sin x^{0}} dar si

\sin^{2} x^{0}+\cos^{2} x^{0}=1

Important cand aplicam functiile trigonometrice este sa avem triunghi dreptunghic, deci functiile trigonometrice se aplica in triunghiurile dreptunghice.

Exemplu:

In triunghiul ABC m\left(\widehat{A}\right)=75^{0} si m\left(\widehat{B}\right)=60^{0}. Daca Ac=5\sqrt{6}, calculati perimetrul triunghiului ABC.

Demonstratie:

Observam ca triunghiul nu este dreptunghic, dar putem afla si masura unghiului C astfel:

m\left(\widehat{A}\right)+m\left(\widehat{B}\right)+m\left(\widehat{C}\right)=180^{0}\Rightarrow
75^{0}+60^{0}+m\left(\widehat{C}\right)=180^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{C}\right)=180^{0}-135^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{C}\right)=45^{0}

Acum construim perpendiculara din
cum aflam perimetrul unui triunghi
A pe BC, astfel obtinem doua triunghiuri dreptunghice, fie Ad\perp BC

Acum in triunghiul ACD aplicam cosinusul unghiului de 45 de grade

\cos 45^{0}=\frac{cateta.alaturata}{ipotenuza}\Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{CD}{AC}\Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{CD}{5\sqrt{6}}\Rightarrow CD=\frac{5\sqrt{6}\cdot \sqrt{2}}{2}=\frac{5\cdot 2\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}

Observam ca masura unghiului C este de 45 de grade, masura unghiului D este de 90 de grade si astfel gasim si ca m\left(\widehat{CAD}\right)=45^{0}

Si astfel triunghiul ACD este dreptunghic isoscel , deci CD=AD=5\sqrt{3}

Acum, daca in triunghiul ADC aplicam sinusul unghiului B obtinem

\sin B=\frac{cateta. opusa}{ipotenuza}\Rightarrow \sin 60^{0}=\frac{AD}{AB}\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5\sqrt{3}}{AB}\Rightarrow AB=\frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=10
Acum daca aplicam \cos 60^{0}=\frac{BD}{AB}\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{BD}{10}\Rightarrow BD=5\;\;cm

Deci BC=BD+DC=5\sqrt{3}+5

Astfel perimetrul triunghiului ABC este P_{\Delta ABC}=AB+AC+BC=10+5\sqrt{6}+5\sqrt{3}+5=15+5\sqrt{6}+5\sqrt{3}=5\left(3+\sqrt{6}+\sqrt{3}\right)

Deci daca nu avem triunghi dreptunghic construim perpendiculara dintr-un varf al unghiului pe latura opusa unghiului.

Fie triunghiul ABC dreptunghic in A.Daca BC =25 cm si sin B +sin C=1,4, aflati perimetrul triunghiului;

Demonstratie:
In triunghiul ABC aplicam
\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{AC}{25}
Dar si \sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{AB}{25}
Acum daca inlocuim in relatia de mai sus avem
\sin B+\sin C=1,4\Rightarrow \frac{AC}{25}+\frac{AB}{25}=1,4\Rightarrow \frac{AB+AC}{25}=1,4\Rightarrow AB+AC=25\cdot 1,4\Rightarrow AB+AC=35(1)
Acum, daca in triunghiul ABC aplicam Teorema lui Pitagora obtinem
AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}\Rightarrow 25^{2}=\left(AB+AC\right)^{2}-2\cdot AB\cdot AC\Rightarrow 625=1125-2\cdot AB\cdot AC\Rightarrow 625-1125=-2\cdot AC\cdot AB\Rightarrow -2\cdot AB\cdot AC=-600\Rightarrow AB\cdot AC= 300\Rightarrow
Acum, daca scoatem din relaia (1) AB obtinem AB=35-AC si inlocuim in relatia de mai sus avem
AB\cdot AC=250\Rightarrow \left(35-AC\right)\cdot AC=300\Rightarrow 35\cdot AC-AC^{2}=300\Rightarrow -AC^{2}+35\cdot AC-300=0|\cdot \left(-1\right)\Rightarrow AC^{2}-35\cdot AC+300=0\Rightarrow AC^{2}-20\cdot AC-15\cdot AC+300=0\Rightarrow AC\left(AC-20\right)-15\left(AC-20\right)=0\Rightarrow \left(AC-20\right)\left(AC-15\right)=0
Deci gasim o data ca AC-20=0\Rightarrow AC=20 sau AC-15=0\Rightarrow AC=15
Acum aflam AB, astfel AB=35-AC\Rightarrow AB=35-15=20

Sau AB=35-AC=35-20=15
Acum daca efectuam proba obtinem
\sin B+\sin C=1,4\Rightarrow \frac{AC}{25}+\frac{AB}{25}=\frac{AB+AC}{25}=\frac{15+20}{25}=\frac{35}{25}=1,4
Deci se verifica.
Acum daca aplicam si Teorema lui Pitagora obtinem
AB^{2}+AC^{2}=25^{2}\Rightarrow 15^{2}+20^{2}=225+400=625
Deci se verifica.
Si astfel gasim ca perimetrul triunghiului este P_{\Delta ABC}=AB+AC+BC=15+20+25=60
Deci AB=20 si AC=15
Sau AB=15 si AC=20

Prisma regulata

Dupa ce am invatat sa calculam Aria laterala, Aria totala si volumul unei Prisme drepte, Paralelipipedului dreptunghic dar si a Cubului, a venit vremea sa discutam despre Prisma regulata.
Incepem prin a defini notiunea de Prisma regulata:
Definitie: Se numeste prisma regulata prisma dreapta cu baza poligon regulat.
Incepem prin a invata sa calculam Aria laterala, Aria totala si volumul unor cazuri particulare de prisme:
Prisma patrulatera regulata este prisma dreapta cu baza un patrat.
Notam cu:
P_{b}– perimetrul bazei prismei
A_{b}– aria bazei prismei
A_{l}– aria laterala a prismei
A_{t}– aria totala a prismei
V– volunul prismei
– l lungimea laturii poligonului regulat de baza
– h inaltimea prismei

Prisma patrulater regulata
P_{b}=4\cdot l=4l
A_{b}=l^{2}
A_{l}=P_{b}\cdot h=4l\cdot l=4lh
A_{t}=A_{l}+2\cdot A_{b}=4lh+2l^{2}=2l\left(2h+l\right)
V=A_{b}\cdot h=l^{2}\cdot h.
Prisma triunghiulara regulata este prisma dreapta care are baza un triunghi echilateral.
Cum arata o prisma triunghiular regulata

P_{b}=3\cdot l=3l
A_{b}=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}
A_{l}=P_{b}\cdot h=3l\cdot l=3lh
A_{t}=A_{l}+2\cdot A_{b}=3lh+2\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}
V=A_{b}\cdot h=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot h.
Problema
Prisma triunghiulara regulata ABCA’B’C’ are AB=12\sqrt{}3 cm si $AA’18 cm$.
Calculati aria totala si volumul

Demonstratie
Stim ca
l=12\sqrt{3}cm
si h=18 cm
Calculam  aria laterala mai intai
A_{l}=p_{b}\cdot h=3\cdot 12\sqrt{3}\cdot 18=648\sqrt{3}cm^{2}
Acum aria totala
A_{t}=A_{l}+2\cdot A_{b}=648\sqrt{3}+2\cdot\frac{\left(12\sqrt{3}\right)^{2}\sqrt{3}}{4}=648\sqrt{3}+2\frac{144\cdot 3\cdot \sqrt{3}}{4}=648\sqrt{3}+2\frac{36\cdot 3\sqrt{3}}{1}=648\sqrt{3}+216\sqrt{3}=864\sqrt{3}cm^{2}.
Iar acum volumul
V=A_{b}\cdot h=108\sqrt{3}\cdot 18=1944\sqrt{3}
Aria bazei am aflat-o cu formula pe care o stiam inca din clasa a VII-a de la triunghiul echilateral, astfel avem:
A_{b}=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{\left(12\sqrt{3}\right)^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{144\cdot 3\sqrt{3}}{4}=\frac{432\sqrt{3}}{4}^{(4}=108\sqrt{3}.
2) Prisma dreapta ABCDA’B’C’D’ are baza patratul ABCD cu latura 4 cm , iar diagonala BD’ face cu planul \left(A'AD\right) un unghi cu masura de 30 de grade. Determinati:
a) lungimea inaltimii prismei
b) volumul prismei
c) aria laterala a prismei

Demonstratie:
Cum calculam inaltimea intr-o prisma patrulater regulata
Cum stim ca latura bazei este de 4 cm, iar baza este patrat, AC diagonala in patratul ABCD, deci AC=l\sqrt{2}=4\sqrt{2}=BD, mai stim ca m\left(\widehat{DBD'}\right)=30^{0}, observam de asemenea ca m\left(\widehat{BDD'}\right)=90^{0}, cum triunghiul BDD’ este dreptunghic, aplicam functiile trigonometrice
\cos\widehat{DBD'}=\frac{BD}{BD'}\Rightarrow \cos 30^{0}=\frac{4\sqrt{2}}{BD'}\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{2}}{BD'}\Rightarrow BD'\sqrt{3}=4\sqrt{2}\cdot 2\Rightarrow BD'=\frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\Rightarrow BD'=\frac{8\sqrt{6}}{3}.
Iar acum aplicam \sin 30^{0}, astfel gasim ca
\sin\widehat{DBD'}=\frac{DD'}{BD'}\Rightarrow \sin 30^{0}=\frac{DD'}{\frac{8\sqrt{6}}{3}}\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{DD'}{\frac{8\sqrt{6}}{3}}\Rightarrow DD'=\frac{8\sqrt{6}}{3\cdot 2}\Rightarrow DD'=\frac{4\sqrt{6}}{3}.
Sau putem aplica tangenta de 30 de grade
\tan\widehat{DBD'}=\frac{DD'}{BD}\Rightarrow \tan 30^{0}=\frac{DD'}{4\sqrt{2}}\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{DD'}{4\sqrt{2}}\Rightarrow DD'=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\Rightarrow DD'=\frac{4\sqrt{6}}{3}.
b) Volumul prismei
V=A_{b}\cdot h=4^{2}\frac{4\sqrt{6}}{3}=16\cdot\frac{4\sqrt{6}}{3}=\frac{64\sqrt{6}}{3} cm^{3}.
c) A_{l}=P_{b}\cdot h=4\cdot 4\cdot \frac{4\sqrt{6}}{3}=\frac{64\sqrt{6}}{3}cm^{2}

Integrarea prin schimbarea de variabila

Prezentam o teorema care ne ajuta sa calculam integralele cu ajutorul metodei de schimbare de variabila .
Teorema. Fie \phi:J\rightarrow I o functie derivabila cu derivata continua si functia f:I\rightarrow R o functie continua si \alpha, \beta \in J. Atunci:
\int^{\beta}_{\alpha}f\left(\varphi\left(t\right)\right)\varphi^{'}\left(t\right)dt=\int^{\varphi\left(\beta\right)}_{\varphi\left(\alpha\right)}f\left(x\right)dx
astfel se fac schimbarile  de variabila si de simbol
\varphi\left(t\right)=x si \varphi\left(t\right)^{'}dt=dx, t\in j, x\in I.
 Exercitii :
\int^{1}_{0}\frac{\sqrt{x}}{x+3}dx=
Observam ca rezolvam integrala prin metoda schimbarii de variabila, astfel notam :
\sqrt{x}=t\Rightarrow x=t^{2}
Acum derivam in functie de x si in functie de t.
x^{'}dx=\left(t^{2}\right)^{'}\Rightarrow 1\cdot dx=2t dt
Iar acum ne ocupam de capetele intervalului, astfel pentru
x=1\Rightarrow \sqrt{1}=t\Rightarrow t=1
Pentru x=0\Rightarrow x=0\Rightarrow \sqrt{0}=t\Rightarrow t=0
Astfel integrala devine :
\int^{1}_{0}\frac{t}{t^{2}+3}\cdot 2tdt=\int^{1}_{0}\frac{2t^{2}}{t^{2}+3}dt=2\int^{1}_{0}\frac{t^{2}}{t^{2}+3}dt=2\int^{1}_{0}\frac{t^{2}+3-3}{t^{2}+3}dt=2\int^{1}_{0}\frac{t^{2}+3}{t^{2}+3}dt-2\int^{1}_{0}\frac{3}{t^{2}+3}dt=2\int^{1}_{0}dt-2\cdot 3\int^{1}_{0}\frac{dt}{t^{2}+3}=2t|^{1}_{0}-
6\frac{1}{\sqrt{3}}arctan\frac{x}{\sqrt{3}}|^{1}_{0}=2\cdot 1-2\cdot 0-\frac{6}{\sqrt{3}}arctan\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{6}{\sqrt{3}}arctan\frac{0}{1}=2-\frac{6\sqrt{3}}{3}\frac{\pi}{3}-0=2-2\sqrt{3}\cdot\frac{\pi}{6}=2-\sqrt{3}\frac{\pi}{3}.

b) \int^{e}_{1}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}dx=
Rezolvam integrala tot cu ajutorul metodei schimbarii de variabila.
Astfel avem functia continua
\left(x\right)=\frac{\ln x}{\sqrt{x}}, \forall x\in \left(0,+\infty\right)

Astfel notam :
\sqrt{x}=t\Rightarrow x=t^{2}, \forall x\in \left(0,+\infty\right)
functia
\varphi:\left(0,+\infty\right)\rightarrow \left(0,+\infty\right)
este derivabila cu derivata continua
Derivam acum in functie de x si de t
x^{'} dx=\left(t^{2}\right)^{'}dt\Rightarrow dx=2t dt
Acum ne ocupam si de capetele intervalului, astfel pentru
x=e\Rightarrow e=t^{2}\Rightarrow t=\sqrt{e}
si

x=1\Rightarrow 1=t^{2}\Rightarrow t=1
Astfel obtinem integrala :

\int^{\sqrt{e}}_{1}\frac{\ln t^{2}}{t}\cdot 2t dt=2\int^{\sqrt{e}}_{1}\ln t^{2}dt=2\int^{\sqrt{e}}_{1} 2\ln t dt=4\int^{\sqrt{e}}_{1} \ln t dt=4\int^{\sqrt{e}}_{1}t^{'}\cdot \ln t dt=4 t\cdot \ln t|^{\sqrt{e}}_{1}-4\int^{\sqrt{e}}_{1} t\cdot \left(\ln t\right)^{'}dt=4\sqrt{e}\ln\sqrt{e}-4\cdot 1\cdot \ln 1-4\int^{\sqrt{e}}_{1}t\cdot\frac{1}{t} dt=4\sqrt{e}\ln e^{\frac{1}{2}}-4\cdot 1\cdot 0-4\int^{\sqrt{e}}_{1}dt=  4\sqrt{e}\frac{1}{2}\ln e-0-4\cdot t|^{\sqrt{e}}_{1}=2\sqrt{e}\cdot 1-0-4\cdot\sqrt{e}+4\cdot 1=  2\sqrt{e}-4\sqrt{e}+4=-2\sqrt{e}+4=2\left(-\sqrt{e}+2\right).
Dupa ce am folosit schimbarea de variabila am folosit si metoda integrarii prin parti.
c) \int^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{6}}\frac{\sin 2x}{\sqrt{\sin x}} dx=  \int^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{6}}\frac{2\sin x\cdot\cos x}{\sqrt{\sin x}}
Notam :
\sqrt{\sin x}=t\Rightarrow \sin x=t^{2}
Acum calculam derivata in functie de x si in functie de t.
\left(\sin x\right)^{'}dx=\left(t^{2}\right)^{'}\Rightarrow \cos x dx =2t dt
Acum aflam capetele intevalului :
x=\frac{\pi}{2}\Rightarrow \sqrt{\sin \frac{\pi}{2}}=t\Rightarrow t=1
x=\frac{\pi}{6}\Rightarrow \sqrt{\sin \frac{\pi}{6}}=t\Rightarrow t=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Astfel obtinem :
\int^{1}_{\frac{\sqrt{2}}{2}}\frac{2\cdot t^{2}}{t}2t dt=\int^{1}_{\frac{\sqrt{2}}{2}}\frac{4\cdot t^{3}}{t} dt=4\int^{1}_{\frac{\sqrt{2}}{2}}t^{2} dt=4\cdot \frac{t^{3}}{3}|^{1}_{\frac{\sqrt{2}}{2}}=
4\frac{1^{3}}{3}-4\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{3}=
4\frac{1}{3}-4\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{8}}{8}=4\frac{1}{3}-4\frac{1}{3}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{8}=
\frac{4}{3}-\frac{4}{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{4}{3}-\frac{4\sqrt{2}}{12}=\frac{4}{3}-\frac{\sqrt{2}}{3}=\frac{4-\sqrt{2}}{3}

Problema rezolvata Unghiul unei drepte cu un plan

Prezentam inca o Problema rezolvata Unghiul unei drepte cu un plan

Triunghiul dreptunghic ABC are ipotenuza BC inclusa in planul \alpha, a\notin \alpha. Stiind ca BC=12\sqrt{6} si AB=12\sqrt{2} cm si ca unghiul format de dreapta AB cu planul \alpha este de 45^{0}, aflati:

a) unghiul format de dreapta AC cu planul \alpha

b) perimetrul triunghiului A’BC, unde A’ este proiectia punctului A pe planul \alpha

Demonstratie

Cum aflam unghiul unei drepte cu un plan

Stim ca triunghiul ABC este dreptunghic, din ipoteza mai stim BC si AB, astfel cu Teorema lui Pitagora calculam AC, astfel AC^{2}=BC^{2}-AB^{2}\Rightarrow AC^{2}=\left(12\sqrt{6}\right)^{2}-\left(12\sqrt{2}\right)^{2}\Rightarrow AC^{2}=144\cdot 6-144\cdot 2\Rightarrow AC=\sqrt{144\cdot\left(6-2\right)}\Rightarrow AC=\sqrt{144\cdot 4}\Rightarrow AC=12\cdot 2\Rightarrow AC=24 cm
Din ipoteza mai stim ca unghiul format de dreapta AB cu planul \alpha este de 45^{0} .Astfel stim ca unghiul format de o dreapta cu un plan este unghiul format de dreapta cu proiectia ei pe plan, si mai stim si ca proiectia unei drepte pe un plan poate fi o dreapta in cazul in care dreapta nu este perpendiculara pe plan sau un punct in cazul in care dreapta este perpendiculara pe plan, in cazul nostru
Fie
AA'\perp \alpha,\\BC\subset\alpha, A'\in \alpha
Stim acum ca
\prec\left(AB,\alpha\right)=\prec\left(AB, A'B\right)=\prec\left(ABA'\right)
Acum aflam
\prec\left(AC,\alpha\right)=\prec\left(AC, CA'\right)=\prec\left(ACA'\right),
Acum trebuie sa aflam masura unghiului. Stim ca triunghiul ACA’ este dreptunghic in A’, stim ca unghiul ABA’ are masura de 45^{0}, astfel daca aplicam

\sin ABA'=\frac{cat. opusa }{ipotenuza}\Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{AA'}{AB}\Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{AA'}{12\sqrt{2}}\Rightarrow AA''=\frac{12\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{2}\Rightarrow AA'=12 cm.

Iar daca in triunghiul AA’C dreptunghic aplicam \sin \prec ACA'=\frac{AA'}{AC}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}=30^{0}.
Deci unghiul format de dreapta AC cu planul \alpha este de 30 de grade.
b) P_{\Delta A'BC}=?

Cum BC=12\sqrt{6} cm din ipotenuza

Acum trebuie sa aflam  A’B si A’C.

Astfel  in triunghiul ABA’ dreptunghic in A’ aplicam Teorema lui Pitagora

A'B^{2}=AB^{2}-AA'^{2}\Rightarrow A'B^{2}=\left(12\sqrt{2}\right)^{2}-12^{2}\Rightarrow A'B^{2}=288-144\Rightarrow A'B=\sqrt{144}\Rightarrow A'B=12 cm

Iar in triunghiul ACA’ dreptunghic in A’ aplicam cos ACA’

\cos ACA'=\frac{cat.alaturata}{ipotenuza}\Rightarrow \cos 30^{0}=\frac{CA'}{AC}\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{CA'}{24}\Rightarrow CA'=\frac{24\cdot\sqrt{3}}{2}\Rightarrow CA'=12\sqrt{3}

Deci cum stim toate lungimile laturilor calculam perimetrul triunghiului

P_{\Delta A'BC}=A'B+A'C+BC=

12+12\sqrt{3}+12\sqrt{6}

=12\left(1+\sqrt{3}+\sqrt{6}\right).