Aplicatii trigonometrice in geometria plana

O  aplicatie a trigonometriei in geometria plana o reprezinta rezolvarea triunghiurilor.

Astfel fie ABC un triunghi. Numerele a=BC, b=AC, c=AB  si A=m\left(\widehat{BAC}\right), B=m\left(\widehat{ABC}\right), C=m\left(\widehat{ACD}\right), care sunt elementele triunghiului.

Triunghiul ABC este bine determinat daca se cunosc elementele sale.

A rezolva un triunghi inseamna a determina elementele triunghiului cunoscand trei dintre acestea.

Astfel avem mai multe cazuri de congruente:

a) Rezolvarea triunghiului dreptunghic cand se cunosc laturile (cazul de congruenta L.L.L)

In acest caz elementele cunoscute sunt a,b, c si elementele necunoscute sunt A, B, C.

Astfel din teorema cosinusului avem ca:

cum aplicam teorema cosinusuluiBC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos A\Rightarrow a^{2}=

c^{2}+b^{2}-2\cdot c\cdot b\cdot\cos A\Rightarrow

a^{2}-c^{2}-b^{2}=-2\cdot c\cdot b\cdot \cos A\Rightarrow

\cos A=\frac{a^{2}-c^{2}-b^{2}}{-2\cdot c\cdot b}\Rightarrow

\cos A=\frac{\left(-a^{2}+c^{2}+b^{2}\right)}{-2\cdot c\cdot b}

\Rightarrow \cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}

La fel obtinem pentru

\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}

Dar si

cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}, relatii care conduc la aflarea unghiurilor triunghiului cand stim laturile.

b) Rezolvarea triunghiului cand se cunosc doua unghiuri si o latura comuna (cazul de congruenta U.L.U)

In acest caz elementele cunoscute sunt, de exemplu: a, B, C si elementele necunoscute sunt b, c, A.

Teorema sinusului

In acest caz ca sa aflam masura unghiului , stim ca

A+B+C=180^{0}

In cazul de mai sus

A=180^{0}-B-C sau A=\pi-B-C, iar din teorema sinusului obtinem ca:

\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}

Astfel obtinem ca

b=\frac{a\cdot \sin B}{\sin A}=\frac{a\sin B}{\sin\left(B+C\right)}

c) Rezolvarea triunghiului cand se cunosc doua laturi si unghiul cuprins intre ele (cazul de congruenta L.U.L)

In acest ca putem sa aplicam Teorema cosinusului pentru a afla cea de-a treia latura si Teorema sinusului pentru a afla unghiurile pe care le cunoastem.

Aplicatii:

1) Fie triunghiul  ABC, calculati lungimea laturii [BC], stiind ca m\left(\widehat{A}\right)=60^{0}, AB=4\;\; cm\;\; AC=6\;\; cm

Demonstratie:

aplicatii cu teorema cosinusului

Observati ca suntem in cazul de congruenta  L.U.L. Astfel daca in triunghiul ABC aplicam Teorema cosinusului obtinem :

BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos\widehat{A}\Rightarrow

BC^{2}=4^{2}+6^{2}-2\cdot 4\cdot 6\cdot \cos 60^{0}

\Rightarrow BC^{2}=16+36-48\cdot\frac{1}{2}

\Rightarrow BC^{2}=52-24=28\Rightarrow BC=\sqrt{28}\Rightarrow BC=2\sqrt{7}

Fie ABC un triunghi dreptunghic in A si CB=26 cm, \sin B=\frac{12}{13}. Aflati Perimetrul triunghiului ABC

Demonstratie

Stim ca triunghiul ABC este dreptunghic in A, deci putem aplica notiunile trigonometrice invatate in clasele la mici, astfel avem ca:

 

cum aplicam functiile trigonometriceastfel avem ca:

\sin B=\frac{12}{13}\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{12}{13}\Rightarrow \frac{AC}{26}=\frac{12}{13}\Rightarrow 13\cdot AC=26\cdot 12\Rightarrow AC=\frac{26\cdot 12}{13}=\frac{2\cdot 12}{1}=24\;\; cm

Acum daca aplicam Teorema lui Pitagora in triunghiul dreptunghic ABC, gasim ca:

AB^{2}=BC^{2}-AC^{2}\Rightarrow AB^{2}=26^{2}-24^{2}\Rightarrow AB^{2}=676-576\Rightarrow AB^{2}=100\Rightarrow AB=\sqrt{100}\Rightarrow AB=10\;\; cm

 

Astfel

P_{\Delta ABC}=AB+AC+BC=10+24+26=34+26=60

3) Rezolvati triunghiul ABC in cazul:

R=4\;\; cm; A=\frac{2\pi}{3}, C=\frac{\pi}{12}

Observati ca in cazul de sus stim doua unghiuri, iar intr-un triunghi suma masurii unghiurilor este de \pi

Astfel avem ca

A+B+C=\pi\Rightarrow \frac{2\pi}{3}+B+\frac{\pi}{12}=\pi\Rightarrow B=\pi-\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{12}\Rightarrow B=\frac{12\cdot \pi-4\cdot 2\pi-1\cdot \pi}{12}\Rightarrow B=\frac{12\pi-8\pi-\pi}{12}=\frac{3\pi}{12}^{(3}=\frac{\pi}{4}

Deci B=\frac{\pi}{4}

Acum in triunghiul ABC putem aplica Teorema sinusului:

\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}=2\cdot R\Rightarrow    \frac{BC}{\sin \frac{2\pi}{3}}=\frac{AB}{\sin \frac{\pi}{12}}=\frac{AC}{\sin\frac{\pi}{4}}=2\cdot 4

Astfel stim ca

\frac{AC}{\sin\frac{\pi}{4}}=2\cdot 4\Rightarrow \frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=8\Rightarrow AC=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 8\Rightarrow AC=4\sqrt{2}

Dar acum stim si ca

\frac{AB}{\sin\frac{\pi}{12}}=8\Rightarrow AB=\sin \frac{\pi}{12}\cdot 8(*)

Dar mai intai sa aflam \sin \frac{\pi}{12}=\sin\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\right)=\sin\frac{\pi}{3}\cdot \cos\frac{\pi}{4}-\sin\frac{\pi}{4}\cdot \cos\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}

Acum daca inlocuim in (*), obtinem ca:

AB=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\cdot 8=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{1}\cdot 2=2\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)

Acum ca sa aflam BC, stim ca

\frac{BC}{sin\frac{2\pi}{3}}=8\Rightarrow BC=\sin\frac{2\pi}{3}\cdot 8=(**)

Dar mai intai calculam

\sin\frac{2\pi}{3}

Observati ca suntem in cadranul II, deci face reducerea la primul cadran si obtinem:

\sin\frac{2\pi}{3}=\sin\left(\pi-\frac{2\pi}{3}\right)=\sin\frac{3\pi-2\pi}{3}=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}

Deci in (**) obtinem ca:

BC=\sin\frac{2\pi}{3}\cdot 8=\sin\frac{\pi}{3}\cdot 8=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 8=4\sqrt{3}

 

Teorema sinusului

Aplicatii ale trigonometriei in geometria plana Produsul scalar doi vectori

Astazi o sa invatam cum ne ajuta functiile trigonometrice in rezolvarea problemelor din geometria plana.

Astfel incepem cu produsul scalar a doi vectori.

Definitie: Se numeste produsul scalar a doi vectori \vec{a} si \vec{b} numarul \vec{a}\cdot\vec{b} egal cu produsul modulelor vectorilor inmultit cu cosinusul unghiului celor doi vectori.

\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos{a,b}

Iar cosinusul unghiului celor doi vectori este: \cos{a, b}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}

Proprietati:

1) Produsul scalar a doi vectori este nul, daca  unul dintre vectori este nul sau daca cei doi vectori sunt ortogonali.

2)  Daca \vec{a}, \vec{b} sunt vectori nenuli, atunci \vec{a}\perp\vec{b}\Leftrightarrow \vec{a}\cdot\vec{b}=0

Expresia analitica a produsului sclar este:

Fie \left(O,i,j\right) un reper cartezian. In acest reper vectorii \vec{a} si \vec{b} se descompun sub forma:

\vec{a}=a_{x}\vec{i}+a_{y}\vec{j} si \vec{b}=b_{x}\vec{i}+b_{y}\vec{j}

Deoarece \vec{i}\cdot\vec{i}=1,\vec{j}\cdot\vec{j}=1,\vec{i}\cdot\vec{j}=\vec{j}\cdot\vec{i}=0

\vec{a}\cdot\vec{b}=\left(a_{x}\vec{i}+a_{y}\vec{j}\right)\cdot\left(b_{x}\vec{i}+b_{y}\vec{j}\right)= a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y} (expresia analitica a produsului scalar).

Acum doi vectori nenuli \vec{a}=a_{x}\vec{i}+a_{y}\vec{j} si \vec{b}=b_{x}\vec{i}+b_{y}\vec{j} sunt perpendiculari daca si numai daca a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}=0

Iar cosinusul unghiurilor a doi vectori in functie de coordonatele acestora este \cos{\widehat{\vec{a}, \vec{b}}}=\frac{a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}}{\sqrt{a^{2}_{x}+a^{2}_{y}}\cdot \sqrt{b^{2}_{x}+b^{2}_{y}}}

Daca stim coordonatele a doua puncte putem afla mai usor distanta dintre doua puncte.

Teorema. Fie A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2},y_{2}\right) puncte in reperul cartezian \left(O,\vec{i}, \vec{j}\right)

Atunci AB=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}

Teorema cosinusului.  Intr-un triunghi ABC au loc egalitatile AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}-2\cdot AC\cdot BC\cdot\cos C

Sau

BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos A

Sau AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos B

Teorema sinusurilor.  Intr-un triunghi oarecare au loc egalitatile \frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}=2R unde R este raza.

Prezentam anumite exercitii prin care aplicam notiunile prezentate mai sus:

1) Sa se determine m\in R pentru care vectorii a, si b sunt perpendiculari:

a) \vec{a}=2\vec{i}+\vec{j}, \vec{b}=\left(m+1\right)\vec{i}+2\vec{j}

Observam ca vectorii sunt exprimati sub forma analitica.

Astfel vectorii a si b sunt perpendiculari daca

2\cdot\left(m+1\right)+1\cdot 2=0\Rightarrow 2m+2+2=0\Rightarrow 2m+4=0\Rightarrow m=\frac{-4}{2}=-2

\vec{a}=\left(m^{2}+3\right)\vec{i}+m\vec{j}, b=\vec{i}-4\vec{j}

Astfel punem conditia ca \left(m^{2}+3\right)\cdot 1+m\cdot\left(-4\right)=0\Rightarrow m^{2}+3-4m=0\Rightarrow m^{2}-4m+3=0

Observati ca am obtinut o ecuatie de gradul al II-lea.

Astfel calculam Delta \Delta =\left(-4\right)^{2}-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4

Deci m_{1}=\frac{4+\sqrt{4}}{2\cdot 1}=\frac{4+2}{2}=\frac{6}{2}=3

Dar si m_{2}=\frac{4-\sqrt{4}}{2\cdot 1}=\frac{4-2}{2}=\frac{2}{2}=1

Deci m\in\left\{1,3\right\}

2) Fie ABC un triunghi. Sa se arate ca \vec{AB}\cdot\vec{AC}+\vec{BA}\cdot\vec{BC}+\vec{CA}\cdot\vec{CB}=\frac{1}{2}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)
Demonstratie:
cum demonstram o egalitate in mod vectorial
Daca aplicam relatia lui Chasles obtinem ca:
\vec{BC}=\vec{BA}+\vec{AC}\Rightarrow \vec{BC}=-\vec{AB}+\vec{AC}\Rightarrow \vec{BC}=\vec{AC}-\vec{AB}

Daca ridicam relatia de mai sus la patrat obtinem:
\vec{BC}=\vec{AC}-\vec{AB}|^{2}\Rightarrow \vec{BC}^{2}=\left(\vec{AC}-\vec{AB}\right)^{2}\Rightarrow \vec{BC}=\vec{AC}^{2}-2\vec{AB}\cdot\vec{AC}+\vec{AB}^{2}\Rightarrow 2\cdot\vec{AB}\cdot\vec{AC}=\vec{AC}^{2}+\vec{AB}^{2}-\vec{BC}^{2}\Rightarrow 2\cdot \vec{AB}\cdot\vec{AC}=b^{2}+a^{2}-c^{2}\Rightarrow \vec{AB}\cdot\vec{AC}=\frac{1}{2}\left(b^{2}+a^{2}-c^{2}\right)(1)

Analog pentru \vec{BA}\cdot\vec{BC}=\frac{1}{2}\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}\right)(2)

Dar si \vec{CA}\cdot\vec{CB}=\frac{1}{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)(3)
Din (1), (2) si (3) obtinem \vec{AB}\cdot \vec{AC}+\vec{BA}\cdot\vec{BC}+\vec{CA}\cdot\vec{CB}=\frac{1}{2}\left(b^{2}+a^{2}-c^{2}\right)+\frac{1}{2}\left(c^{2}+b^{2}-a^{2}\right)+\frac{1}{2}\left(c^{2}+b^{2}-a^{2}\right)=\frac{1}{2}\left(b^{2}+a^{2}-c^{2}+c^{2}+b^{2}-a^{2}+c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)=\frac{1}{2}\left(b^{2}+c^{2}+a^{2}\right)=\frac{1}{2}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)

3) Sa se determine unghiul vectorilor:
\vec{a}=2\vec{i}-\vec{j},\vec{b}=\vec{i}+2\vec{j}
Ca sa afla unghiul vectorilor folosim formula:
\cos\widehat{\left(\vec{a},\vec{b}\right)}=\frac{a_{x}\cdot b_{x}+a_{y}\cdot b_{y}}{\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}\cdot\sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}}}=\frac{2\cdot 1+\left(-1\right)\cdot 2}{\sqrt{2^{2}+\left(-1\right)^{2}}\cdot\sqrt{1^{2}+2^{2}}}=\frac{2-2}{\sqrt{4+1}\cdot\sqrt{1+4}}=\frac{0}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}=\frac{0}{5}=0
deci obtinem ca
\cos\widehat{\left(\vec{a},\vec{b}\right)}=0
De unde obtinem ca cos \frac{\pi}{2}=0\Rightarrow m\left(\widehat{a,b}\right)=\frac{\pi}{2}=90^{0}

Deci masura unghiului dintre cei doi vectori este de 90^{0}

Rezolvare Subiecte Bacalaureat

Se considera functia f:\left(0,+\infty\right) definita prin f\left(x\right)=\frac{x^{4}}{4}-\ln x
a) Sa se calculeze f^{'}\left(x\right), x\in \left(0,+\infty\right)
b) Sa se determine punctele extreme ale functiei f.
c) Sa se demonstreze ca \ln\sqrt{x}\leq\frac{x^{2}-1}{4} pentru oricare x\in \left(0,+\infty\right).
Solutie

a) f^{'}\left(x\right)=\left(\frac{x^{4}}{4}-\ln x\right)^{'}=\frac{4x^{3}\cdot 4-x^{4}\cdot 0}{4^{2}}-\frac{1}{x}=\frac{16x^{3}}{16}-\frac{1}{x}=x^{3}-\frac{1}{x}=\frac{x\cdot x^{3}-1\cdot 1}{x}=\frac{x^{4}-1}{x}.
b) Stim ca f^{'}\left(x\right)=0, adica
\frac{x^{4}-1}{x}=0\Rightarrow \frac{\left(x^{2}-1\right)\left(x^{2}+1\right)}{x}=0, \forall x\in \left(0,+\infty\right)
si gasim
x^{2}+1=0\Rightarrow x^{2}=-1\Rightarrow x^{2}=i^{2}\Rightarrow x_{1,2}=\pm\sqrt{i^{2}}\Rightarrow x_{1,2}=\pm i\notin \left(0,+\infty\right) (deci nu convin).
x^{2}-1=0\Rightarrow x^{2}=1\Rightarrow x_{3,4}=\pm\sqrt{1}\Rightarrow x_{3,4}=\pm 1
Deci gasim x_{3}=1 si x_{4}=-1, observam ca x_{4} nu convine deoarece x se afla in intervalul \left(0, +\infty\right).
Acum trasam tabelul de variatie
monotonia unei functii
Calculam
f\left(1\right)=\frac{1^{2}}{4}-ln 1=\frac{1}{4}-0=\frac{1}{4}.
Deci f^{'}\left(x\right)\leq 0,\forall x\in\left(0, 1\right], adica functia este descrescatoare pe acest interval si f^{'}\left(x\right)\geq 0 \forall x\in \left[1,+\infty\right), adica functia este crescatoare pe acest interval. Si astfel gasim ca x=1 este punct de minim pentru functia f.
c) Din punctul b) stim ca x=1 este punct de minim global , deci \forall t>0, avem f\left(t\right)\geq f\left(1\right)\Rightarrow \frac{t^{4}}{4}-\ln t\geq \frac{1}{4}-\ln 1\Rightarrow \frac{t^{4}}{4}-\ln t\geq \frac{1}{4}\Rightarrow \frac{t^{4}}{4}-\frac{1}{4}\geq \ln t\Rightarrow \frac{t^{4}-1}{4}\geq \ln t.
Acum daca notam t=\sqrt{x} obtinem
\frac{\left(\sqrt{x}\right)^{4}-1}{4}\geq \ln \sqrt{x}\Rightarrow \frac{x^{2}-1}{4}\geq \ln \sqrt{x}.
Ceea ce trebuia demonstrat.
2) Se considera integrala I_{n}=\int^{2}_{1}x^{n}e^{x}dx, n\in N.
a) Sa se calculeze I_{0}
b) Sa se determine I_{1}
c) Sa se arate ca \left(n+1\right)I_{n}+I{n+1}=e\left(2^{n+1}e-1\right) pentru orice n\in N.
Solutie
a) I_{0}=\int^{2}_{1}x^{0}e^{x} dx=\int^{2}_{1}a\cdot e^{x}=\int^{2}_{1}e^{x} dx=e^{x}|^{2}_{1}=e^{2}-e^{1}=e^{2}-e=e\left(e-1\right)
b) I_{1}=\int^{2}_{1}x^{1}\cdot e^{x} dx=\int^{2}_{1}x\cdot e^{x}dx=\int^{2}_{1}x\cdot\left(e^{x}\right)^{'}dx=x\cdot e^{x}|^{2}_{1}-\int^{2}_{1}x^{'}\cdot e^{x}=x\cdot e^{x}|^{2}_{1}-\int^{2}_{1}1\cdot e^{x}dx=x\cdot e^{x}|^{2}_{1}-e^{x}|^{2}_{1}=2e^{2}-1\cdot e^{1}-e^{2}+e^{1}=e^{2}
Integrala de mai sus am rezolvat-o cu ajutorul integrarri prin parti.
c) I_{n+1}=\int^{2}_{1}x^{n+1}e^{x}dx=\int^{2}_{1}x^{n+1}e\left(e^{x}\right)^{'}dx=x^{n+1}e^{x}|^{2}_{1}-\int^{2}_{1}\left(x^{n+1}\right)^{'}e^{x}dx=2^{n+1}e^{2}-1^{n+1}e^{1}-\left(n+1\right)\int^{2}_{1}x^{n}e^{x}dx
Acum
I_{n}=\int^{2}_{1}x^{n}e^{x} dx
Acum obtinem
\left(n+1\right)I_{n}+I{n+1}=\left(n+1\right)\int^{2}_{1}x^{n}e^{x}dx+2^{n+1}e^{2}-1^{n+1}e^{1}-\left(n+1\right)\int^{2}_{1}x^{n}e^{x}dx=2^{n+1}e^{2}-1\cdot e=e\left(2^{n+1}e-1\right).