Probleme rezolvate cu Teorema impartirii cu rest

Sa mai rezolvam cateva probleme folosind teorema impartirii cu rest.

1. Tatal are 42 de ani, iar cei doi copii ai sai au varsta/varstele de 12 ani si respectiv 14 ani. Peste cati ani varsta tatalui va fi egala cu suma varstelor copiilor?

Solutie:
Stim ca tatal are 42 ani, iar cei doi copii au varsta de 12 ani si 14 ani.
Astfel formam ecuatiile:
42=x+12+14\Rightarrow 42=x+26\Rightarrow x=42-26\Rightarrow x=16
Asadar peste 16 ani varsta tatalui va fi egala cu suma varstelor copiilor.

2. Suma a doua numere intregi este 63. Impartind unul dintre numere la celalalt, se obtine catul 2 si restul 9. Aflati numerele.

Solutie:
Notam cu x si y cele doua numere.
Si formam ecuatia x+y=63 Suma a doua numere intregi este 63.
x:y, catul c=2 si r=9
Folosind Teorema impartirii cu rest obtinem x=2\cdot y+9
Deci am obtinut ecuatiile: x+y=63
Si x=2y+9
Inlocuind cea de-a doua ecuatie in prima obtinem:
x+y=63\Rightarrow 2y+9+y=63\Rightarrow 3y+9=63\Rightarrow 3y=63-9\Rightarrow 3y=54\Rightarrow y=54:3\Rightarrow y=18
Iar x=2\cdot y+9=2\cdot 18+9=36+9=45

Daca mai aveti si alte probleme in care trebuie sa aplicati teorema impartirii cu rest va recomandam sa folositi acest model de rezolvare. Pentru alte exercitii si probleme va stam la dispozitie.

Probleme rezolvate cu divizibilitatea si Teorema impartirii cu rest

Prezentam doua probleme care se rezolva cu ajutorul divizibilitatii, adica folosind cel mai mare divizor comun a doua numere respectiv cu teorema impartirii cu rest .

1. Aflati numerele naturale a si b stiind ca (a,b)=12 si 2a+3b=240

Solutie:
Stim ca cel mai mare divizor comun al celor doua numere a si b este 12, adica factorii comuni ale numerelor sunt numerele prime 2^{2}\cdot 3
Deci a=2^{2}\cdot 3\cdot x=12\cdot x, unde x este un numar natural si b=2^{2}\cdot 3\cdot y=12\cdot y, unde y este numar natural.

Astfel relatia de mai sus devine:
2\cdot a+3\cdot b=240\Rightarrow 2\cdot 12x+\cdot 12\cdot y=240\Rightarrow 12\left(2x+3y\right)=240\Rightarrow 2x+3y=240:12\Rightarrow 2x+3y=20
Pentru x=1, obtinem 2\cdot 1+3y=20\Rightarrow 2+3y=20\Rightarrow 3y=20-2\Rightarrow 3y=18|:3\Rightarrow y=6
Deci a=12\cdot 1=12
Si b=12\cdot 6=72

Pentru x=4 obtinem 2\cdot 4+3y=20\Rightarrow 8+3y=20\Rightarrow 3y=20-8\Rightarrow 3y=12\Rightarrow y=12:3\Rightarrow y=4 si obtinem a=12\cdot 4=48 si 12\cdot 4=48 dar aici gasim cel mai mare divizor comun al numerelor ca fiind 48 si astfel nu se mai indeplineste conditia de mai sus, adica (a,b)=48

Pentru x=7\Rightarrow 2\cdot 7+3y=20\Rightarrow 14+3y=20\Rightarrow 3y=20-14\Rightarrow 3y=6\Rightarrow y=2
Si obtinem a=12\cdot 7=84 si b=12\cdot 2=24 deci conditia ca sa rezolvam aceste exercitiu sa tinem cont la la cel mai mare divizor comun ca se iau toti factorii comuni o singura data la puterea cea mai mica.

Si astfel numerele gasite sunt a=12 si b=72, dar si a=84 si b=24

2. Aflati numerele a si b, stiind ca suma lor este 86, iar daca impartim numarul a la b obtinem catul 3 si restul 2.

Solutie:
Ca sa rezolvam aceste exercitiu trebuie sa folosim teorema impartirii cu rest.
Suma celor doua numere este:
a+b=86
a:b=3 rest 2
Iar cu teorema impartirii cu rest obtinem a=b\cdot 3+2\Rightarrow a=3b+2
Daca inlocuim mai sus obtinem a+b=86\Rightarrow 3b+2+b=86\Rightarrow2 3b+b=86-2\Rightarrow 4b=84\Rightarrow b=84:4\Rightarrow b=21
Iar a=3\cdot b+2\Rightarrow a=3\cdot 21+2=63+2=65