Probleme in care aflam muchia unui cub

Se considera cubul ABCDA’B’C’D’ si punctele M\in [AA'], N\in [CC'] astfel incat MA=2\cdot MA' si NC=\frac{CC'}{3}. Daca MN=\frac{5\sqrt{19}}{3}, calculati: lungimea muchiei cubului.

Demonstratie:

Pentru a efectua  corect corpul geometric cu notiunile din problema stim ca:

MA=2\cdot MA'

Dar mai stim si ca AA'=MA+MA'\Rightarrow AA'=2MA'+MA'\Rightarrow AA'=3MA'\Rightarrow MA'=\frac{AA'}{3}

Mai stim si ca NC=\frac{CC'}{3}\Rightarrow CC'=3\cdot NC

Si mai stim si ca CC'=CN+NC'\Rightarrow 3NC=CN+NC'\Rightarrow 3NC-NC=NC'\Rightarrow NC'=2NC

Stim ca cubul are toate muchiile egal astel avem ca AA'=AB=BC=l

Astfel avem ca MA'=\frac{l}{3}, dar si NC=\frac{l}{3}

De unde obtinem si ca: MA=2\cdot\frac{l}{3}=\frac{2l}{3}

Dar si NC'=2\cdot\frac{l}{3}=\frac{2l}{3}

latura unui cub
Astfel am obtinut patrulaterul ACNM, observati ca am construit diagonala AC, din notiunile pe care le avem stim ca AC=l\sqrt{2} (diagonala in patratul ABCD), observam ca m\left(\widehat{ACN}\right)=90^{0}, astfel construind si drepata AN, obtinem triunghiul dreptunghic ACN si aplicand Teorema lui Pitagora obtinem: AN^{2}=AC^{2}+NC^{2}\Rightarrow AN^{2}=\left(l\sqrt{2}\right)^{2}+\left(\frac{l}{3}\right)^{2}\Rightarrow AN^{2}={9)}^2l^{2}+\frac{l^{2}}{9}\Rightarrow AN^{2}=\frac{18l^{2}+l^{2}}{9}\Rightarrow AN^{2}=\frac{19l^{2}}{9}\Rightarrow AN=\sqrt{\frac{19l^{2}}{9}}\Rightarrow AN=\frac{l\sqrt{19}}{3}

Dar construim si diagonala A’C’, dar si segmentul MC’
Si la fel ca si mai sus obtinem triunghiul dreptunghic A’MC’, unde MC'=\frac{l\sqrt{19}}{3}, daca aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul dreptunghic A’MC’
problema rezolvata cu cubul

 

Astfel avem triunghiurile: \Delta A'C'M si \Delta ACN triunghiuri dreptunghice in A’ respectiv C, unde gasim ca [AC]\equiv[A'C']

Dar mai avem si [AN]\equiv[CN]
Si cu cazul de congruneta de la trunghiurile dreptunghice obtinem ca:
\Delta A'C'M\equiv\Delta ACN
Si astfel obtinem ca [C'M]\equiv[AN] dar mai avem si:

\Delta ACM si \Delta A'C'N
[AC]\equiv[A'C']
Si [C'N]\equiv[AM]
Si cu cazul de congruneta C.C obtinem:
\Delta ACM\equiv\Delta C'A'N si obtinem [A'N]\equiv[CM]

latura unui cub
de unde obtinem si ca AN=MN, astfel avem ca \frac{l\sqrt{19}}{3}=\frac{5\sqrt{19}}{3}\Rightarrow l=5\;\; cm

Asadar muchia cubului este de 5 cm.