Cum calculam distanta de la un punct la un plan

Prezentam doua probleme rezolvate in care ne reamintim cum folosim cazurile de congruenta, cum aratam ca doua triunghiuri sunt congruente. Dar trebuie sa ne mai reamintim si cum sa calculam distanta de la un punct la un plan cat si cum sa calculam aria unui triunghi oarecare.

In ABC este triunghiul echilateral cu latura de lungime 6 cm. fie M un punct, m nu apartine planului (ABC),astfel incat MA=MB=MC=10 cm iar MO perpendicular planului(ABC) ,O apartine planului (ABC).

A) Demonstrati ca triunghiul \Delta MOA\equiv\Delta MOB\equiv\Delta MOC

B) Calculati distanta de la punctul M la punctul planului (ABC)

Demonstratie:
congruneta triunghiurilor

a). Stim ca
[MA]\equiv[MC] (din ipoteza)
[MO]\equiv[MO] (latura comuna)
Stim ca AP si AQ sunt mediane, mediatoare si inaltimi, deci stim ca AP este inaltime in triunghiul echilateral ABC si stim ca inaltimea intr-un triunghi echilateral este AP=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}

Dar stim ca AP este si mediana si cum stim ca punctul de intersectie al medianelor este situat la 2/3 fata de varf si 1/3 fata de baza.
Deci obtinem: AO=\frac{2}{3}\cdot AO=\frac{2}{3}\cdot 3\sqrt{3}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}\;\; cm
La fel calculam si CO=\frac{2}{3}\cdot CP=\frac{2}{3}\cdot AP=\frac{2}{3}\cdot 3\sqrt{3}=2\sqrt{3}\;\; cm
Deoarece medianele intr-un triunghi echilateral sunt congrunete.
Deci obtinem si ca [AO]\equiv[CO]
Deci cu cazul de congruenta L.L.L \Delta MOA\equiv\Delta MOC
Tot din ipoteza stim si ca [MA]\equiv[MC]\equiv[MB] MO latura comuna

Dar si [AO]\equiv[BO]\equiv[CO]
Si cu cazul de congruneta L.L.L \Delta MOA\equiv\Delta MOC\equiv\Delta MOB

b) Distanta de la d\left(M,(ABC)\right)=MO, deci distanta de la un punct la un plan este piciorul perpendicularei din punctul dat pe plan.
Iar in cazul triunghiului echilateral distanta de la un punct la un plan este punctul de intersectie al inaltimilor triunghiului echilateral, adica MO, dar din ipoteza stim si ca MO\perp (ABC)
Acum sa aflam MO

In triunghiul MAO aplicam Teorema lui Pitagora m\left(\widehat{MOA}\right)=90^{0}
MO^{2}=MA^{2}-AO^{2}\Rightarrow MO^{2}=10^{2}-\left(2\sqrt{3}\right)^{2}\Rightarrow MO^{2}=100-12\Rightarrow MO=\sqrt{88}\Rightarrow MO=2\sqrt{22}\;\; cm
distanta e la un punct la un plan

2. In triunghiul ABC, AB= 10 cm, BC = 16 cm, inaltimea AD= 8 cm. Calculati aria triunghiului.
cum calculam aria unui triunghi oarecare
Stim de la definitia ariei unui triunghi oarecare ca A_{\Delta ABC}=\frac{b\cdot h}{2}=\frac{BC\cdot AD}{2}=\frac{16\cdot 8}{2}=\frac{128}{2}=64\;\; cm^{2}
Iar cei care nu va mai reamintiti click aici.

Probleme rezolvate pentru Denisa

Se considera triunghiul ABC si fie D si E simetricele punctelor B si respectiv C fata de A. Aratati ca DE paralel pe BC .

Demonstratie:

cum aratam ca doua drepte sunt paralele

Daca D este simetricul lui B fata de A stim ca \left[BA\right]\equiv\left[AD\right], iar daca

E este simetricul lui C fata de A obtinem de asemenea ca \left[CA\right]\equiv\left[AE\right]

Astfel obtinem ca \Delta ABC\equiv\Delta ADE

Astfel avem ca

\left[AB\right]\equiv\left[AD\right]

\left[AC\right]\equiv\left[AE\right]

Dar mai observam si ca

\widehat{DAE}\equiv\widehat{BAC}

Deci cu cazul de congruenta L.U.L \Delta ABC\equiv\Delta ADE

Deci obtinem si ca:

\widehat{AED}\equiv\widehat{ACB}

Dar si ca

\widehat{ADE}\equiv\widehat{ABC}.

Observam ca drepta EC intersecteaza dreptele  DE si CB in doua puncte distincte diferite, adica in punctele  E si C deci EC este secanta si astfel cu criteriile de paralelism obtinem ca: ED||BC

Unghiul \widehat{DEA}\equiv\widehat{BCA} (ca unghiuri alterene interne)

In triunghiul ABC fie [BE bisectoarea unghiului B ,cu E apartine (AC) ,iar D apartine (AB) astfel incat [BD] congruent cu [DE] . Aratati ca DE paralel pe BC .

Demonstratie

criteriile de paralelism

Observam ca triunghiul BDE este isoscel de baza BD (deoarece din ipoteza avem ca \left[BD\right]\equiv\left[DE\right]), astfel obtinem ca:

\widehat{DBE}\equiv\widehat{DEB}

Dar mai stim si ca BE este bisectoare astfel obtinem ca:

\widehat{DBE}\equiv\widehat{EBC}

De unde rezulta ca si \widehat{DEB}\equiv\widehat{EBC}

Observam ca BE este intersecteaza doua drepte distincte in doua puncte diferite, astfel obtinem ca BE este secanta.

secanta a doua drepte

Si cum unghiul DEB congruent cu unghiul ECB ca perechi de unghiuri alteren interne, obtinem cu ajutorul criteriilor de paralelism ca: DE||BC.

Criterii de paralelism

Criterii de paralelism

Teorema. Daca doua drepte determina cu o secanta o pereche de unghiuri alterne interne congruente, atunci dreptele sunt paralele.

Criterii de paralelism

Redactarea simbolurilor
\prec 1\equiv \prec 2
\prec 1 si \prec 2 sunt unghiuri alterne interne formatele de dreptele a si b cu secanta s.
Deci a||b.
Mai exista si alte criterii de paralelism care sunt consecinte ale teoremei de mai sus.
Daca, doua drepte determina cu o secanta o pereche de unghiuri alterne externe congruente, atunci dreptele sunt paralele.
Daca, doua drepte determina cu o secanta o pereche de unghiuri corespondente congruente, atunci dreptele sunt paralele.
Daca, doua drepte determina cu o secanta o pereche de unghiuri alterne interne de aceiasi parte a secantei suplementare, atunci dreptele sunt paralele.
Daca, doua drepte determina cu o secanta o pereche de unghiuri alterne externe de aceiasi parte a secantei suplementare, atunci dreptele sunt paralele.

Problema:

1) Fie triunghiul isoscel ABC, \left[AB\right]\equiv\left[AC\right] in care prelungim inaltimea \left[AD\right], D\in BC, dincolo de D cu segmentul \left[DM\right]\equiv\left[AD\right]. Demonstrati ca:

a) AB|| CM

b) AC||BM

Demonstratie:

relatii de paralelism
Observam ca
\left[BD\right]\equiv\left[CD\right]  \\ \left[AD\right]\equiv\left[MD\right]  \\ \widehat{ADB}\equiv\widehat{MDC}\Rightarrow
\Delta ABD\equiv\Delta MCD
Deci cu cazul L.U.L cele doua triunghiuri sunt congruente.
Astfel stim si ca \widehat{ABD}\equiv\widehat{DCM}
Mai mult \widehat{ABC}\equiv\widehat{BCM} si avand pozitii de unghiuri alteren interne rezulta ca AB||CM.
BC fiind secanta.
b) Observam ca
\left[BD\right]\equiv\left[CD\right]  \\ \left[AD\right]\equiv\left[MD\right]  \\\widehat{ADC}\equiv\widehat{MDB}\Rightarrow  \\ \Delta ACD\equiv\Delta BMC
Deci cu cazul L.U.L cele doua triunghiuri sunt congruente.
Gasim si ca
\widehat{ACD}\equiv\widehat{DBM}
Mai mult
\widehat{ACB}\equiv\widehat{CBM} si avand pozitii de unghiuri alterene interne rezulta ca AC||BM.

Problema rezolvata Cum aratam ca un patrulater este paralelogram

Pe diagonala \left(BD\right) a paralelogramului ABCD se considera punctele E si F,astfel incat \left[DE\right]\equiv\left[BF\right] .Demonstrati ca patrulaterul AFCE este un paralelogram.
Demonstratie
cum aratam ca un patrulater este paralelogram
Din figura de mai sus observam ca
AE||CF  \\ AF||EC\Rightarrow AECF paralelogram.
Dar mai putem arata si astfel:
Observam ca
\left[AB\right]\equiv\left[DC\right] (din proprietatile paralelogramului)
Mai stim si ca
\left[DE\right]\equiv\left[BF\right] (din ipoteza)
\widehat{ABF}\equiv\widehat{DCE} (ca unghiuri alterne interne, unde BD este secanta celor doua drepte paralele AB si DC)
Deci cu cazul de congruenta L.U.L \Delta ABF\equiv\Delta CDE
De unde gasim si ca \left[AF\right]\equiv\left[CE\right] (*)

cum aratam ca un patrulater este paralelogram
Mai stim si ca
\left[AD\right]\equiv\left[BC\right] (deoarece ABCD paralelogram)
Mai stim si din ipoteza ca
\left[DE\right]\equiv\left[BF\right]
Dar si ca
\widehat{ADE}\equiv\widehat{CBF} (ca unghiuri alterne interne BD fiind secanta)
Deci cu cazul de congruenta L.U.L
\Delta ADE\equiv\Delta BCF
Si astfel gasim si ca \left[AE\right]\equiv\left[CF\right] (**)
Din (*) si (**) gasim ca AFCE este paralelogram (Rezulta cu teorema reciproca referitoare la laturi).
cum aratam ca un patrulater este paralelogram

Perpendicularitatea Inaltimea in triunghi Concurenta inaltimilor intr-un triunghi

 Despre perpendicularitate si inaltimea intr-un triunghi

Dupa ce am definit notiunea de triunghi si am invatat elementele sale, dar si tipurile de triunghi precum si cum sa aratam ca doua triunghiuri sunt congruente, adica congruenta triunghiurilor, a venit vremea sa discutam despre
Perpendicularitatea, Inaltimea intr-un triunghi, Concurenta inaltimilor intr-un triunghi
Despre Perpendicularitate am mai auzit, dar haideti sa ne reamintim, astfel :
Definitie Doua drepte se numesc perpendiculare daca formeaza un unghi de 90^{0}.
Cand doua drepte sunt perpendiculare
g\perp d daca si numai daca m\left(\prec g, d\right)=90^{0}.
Acum definim inaltimea intr-un triunghi.
Definitie: Perpendiculara construita din varful triunghiului pe latura opusa se numeste inaltime.
Care este inaltimea intr-un triunghi
Redactarea simbolurilor
AD inaltime in triunghiul ABC, daca si numai daca AD\perp BC
Observatie: Punctul D se numeste piciorul inaltimii din A, iar BC este baza triunghiului, sau AD este inaltimea corespunzatoare laturii BC in triunghiul ABC.
Orice triunghi are trei inaltimi.
Concurenta inaltimilor intr-un triunghi
Teorema. Intr-un triunghi inaltimile sunt concurente, iar punctul de intersectie se numeste ortocentrul triunghiului care se noteaza cu H.
cate inaltimi putem duce intr-un triunghi
AD, BE, CF sunt inaltimi in \Delta ABC, daca si numai daca exista H, astfel incat AD\cap BE\cap BF=\left\{H\right\}
Observatie : In orice triunghi ascutitunghic inaltimea este situata in interiorul triunghiului.
Care sunt inaltimile inr-un triunghi ascutit unghic?
Scriem H\in Int \Delta ABC
In orice triunghi dreptunghic ortocentru coincide cu varful drept al triunghiului, deoarece doua dintre inaltimi sunt cele doua catete ale triunghiului.
Scriem H\in \Delta ABC
Care sunt inaltimile intr-un triunghi dreptunghic?
In orice triunghi obtuzunghic ortocentrul se afla in exteriorul triunghiului.
Scriem H\in Ext \Delta ABC.
Inaltimea intr-un triunghi obtuz
Problema

1) In triunghiul ABC construim inaltimea AM cu M\in \left[BC\right], stiind ca M este mijlocul laturii \left[BC\right], aratati ca triunghiul ABC este isoscel.
Demonstratie:
cum aratam ca un triunghi este isoscel

Daca M este mijlocul lui BC stim ca
\left[BM\right]\equiv\left[MC\right] (din ipoteza)
Stim ca AM este inaltime in triunghiul ABC, deci \prec AMB\equiv\prec AMC (deoarece AM este perpendiculara dusa din varful triunghiului pe latura BC, deci m\left(\prec AMB\right)=m\left(\prec AMC\right)=90^{0})
Dar mai stim si ca \left[AM\right]\equiv\left[AM\right] (latura comuna).
Deci avem :
\left[BM\right]\equiv\left[MC\right]  \\ \prec AMB\equiv\prec AMC  \\ \left[AM\right]\equiv\left[AM\right]\Rightarrow \Delta AMB\equiv \Delta AMC, de aici gasim si ca AB=AC si astfel triunghiul ABC este isoscel, deoarece am gasit ca are doua laturi egale.