Unghiuri determinate de doua drepte cu o secanta Drepte paralele

Despre unghiuri am mai discutat si in semestrul anterior, dar acum o sa discutam despre unghiuri  determinate de doua drepte cu o secanta .

Incepem prin a defini notiunea de secanta

Definitie: O dreapta care intersecteaza doua drepte paralele in doua puncte distincte se numeste secanta.

Care este secanta intr-o figura

a\cap d=\left\{M\right\}    \\b\cap d=\left\{N\right\}\Rightarrow d este secanta.

Despre unghiuri interne si unghiuri externe am mai discutat, iar notiunile noi pe care le  introducem acum sunt notiunile de: unghiuri corespondente, unghiuri interne de aceasi parte a secantei, dar si unghiuri externe de aceiasi parte a secantei, in figura alaturata o sa arata si care sunt aceste unghiuri.

Tipuri de unghiuri corespondente, alterne interne, alterne externe

Astfel fata de dreptele date  a si b, unghiurile 4, 3, 5, 6 sunt interne, iar unghiurile 1, 2, 7, 8 sunt externe.

Fata de secanta d unghiurile 1, 4, 5, 8   sunt de aceiasi parte a secantei.

La fel si fata de secanta d unghiurile 2, 3, 6,7  sunt de aceiasi parte a secantei.

Iar fata de secanta d unghiurile 2 si 8, 4 si 6 sunt de o parte si de alta a secantei.

Unghiurile determinate de doua drepte paralele cu o secanta se denumesc astfel:

–  unghiuri alterne externe: 1 si 7 sau 2 si 8

– unghiuri alterne interne: 4 si 6 sau 3 si 5

-unghiri corespondente: 2 si 6 sau 3 si 7 sau 1 si 5 sau 4 si 8.

– unghiuri externe de aceiasi parte a secantei d:1 si 8 sau  2 si 7

–  unghiuri interne de aceiasi parte a secantei d: 3 si 6 sau 4 si 5.

Dupa cum bine stiti si despre dreptele paralele am mai discutat, dar acum o sa mai invatam si anumite criteii de paralelism.

Definitie: Doua drepte se numesc paralele daca nu au niciun punct in comun.

Cand doua drepte sunt paralele?

Matematic scriem:
c||d si citim dreapta d este paralela cu dreapta c.
Problema
1) Dreptele paralele a si b sunt taiate de secanta d in punctele a\cap d=\left\{A\right\} si b\cap d=\left\{B\right\}. Prin mijlocul O a segmentului \left[AB\right] se duce o dreapta oarecare e, care intersecteaza pe a in M si pe b in N. Demonstrati ca:
a) \left[MO\right]\equiv\left[NO\right]
b) \left[MB\right]\equiv\left[NA\right]
Demonstratie

cum folosim unghiurile determinate de o secanta
Observam ca
\widehat{MAO}\equiv\widehat{NBO} (unghiuri alterne interne)
Din ipoteza stim ca
\left[AO\right]\equiv\left[BO\right]
Dar din figura observam ca
\widehat{AOM}\equiv\widehat{BON}(ca unghiuri opuse la varf).
Deci cu cazul de congruenta U.L.U
\Delta AOM\equiv\Delta BON
Si astfel gasim si ca
\left[MO\right]\equiv\left[NO\right]

congruenta triunghiurilor
b)
cum folosim unghiurile alterne interne
Stim din ipoteza ca
\left[AO\right]\equiv\left[OB\right]
Mai stim si ca
\widehat{MOB}\equiv\widehat{AON} (ca unghiuri opuse la varf)

\left[MO\right]\equiv\left[NO\right]
Si cu cazul de congruenta L.U.L
\Delta MOB\equiv\Delta NOA
Cum cele doua triunghiuri sunt congruente gasim si ca
\left[MB\right]\equiv\left[NA\right]
2) Fie triunghiul isoscel ABC cu AB=AC in care prelungim inaltimea \left[AD\right] dincolo de D cu segmentul \left[DM\right]\equiv\left[AD\right]. Demonstrati ca
a) AB||CM
b) AC||BM
.
Demonstratie:
unghiuri taiate de o secanta
a) stim din ipoteza ca
\left[AD\right]\equiv\left[MD\right]
\widehat{ADB}\equiv\widehat{MDC} (ca unghiuri opuse la varf)
Stim ca AD este inaltimea corespunzatoare bazei intr-un triunghi isoscel, deci este si mediana, conform proprietatii Triunghiului isoscel, deci \left[BD\right]\equiv\left[DC\right]
Deci mai stim si ca
\left[BD\right]\equiv\left[DC\right]
Deci cu cazul L.U.L \Delta ABD\equiv\Delta MCD
Deci obtinem din congruenta triunghiurilor ca
\widehat{ABD}\equiv\widehat{MCD}
sau mai mult
\widehat{ABC}\equiv\widehat{BCM} BC, fiind secanta, iar unghiurile au pozitia de alterne interne, conform Teoremei de mai sus rezulta ca AB||CM.
b) Stim din ipoteza ca
\left[AD\right]\equiv\left[DM\right]
\widehat{ADC}\equiv\widehat{BDM} (ca unghiuri opuse la varf)
Dar si din punctul a stim ca
\left[BD\right]\equiv\left[DC\right].
Deci cu cazul de congruenta L.U.L \Delta ACD\equiv\Delta MBD
Deci stim si ca
\widehat{ACD}\equiv\widehat{MBD}, dar mai mult
\widehat{ACB}\equiv\widehat{CBM}, avend pozitia de unghiuri alterne interne, conform teoremei de mai sus AC||MB.

Congruenta triunghiurilor oarecare Criterii de congruenta a triunghiurilor

Congruenta triunghiurilor oarecare

Stiti inca din  capitolele anterioare,  cand am invatat,  ca doua segmente sunt congruente sau doua unghiuri sunt congruenete. Astfel dupa cum bine va amintiti doua segmente sunt congruente daca au aceeasi lungime, adica

conditia ca doua segmente sa fie congruente\left[AB\right]\equiv\left[CD\right] \Leftrightarrow AB=CD.

Iar doua unghiuri sunt congruente daca au aceeasi masura,  adica

conditia ca doua unghiuri sa fie congruente

 

\prec AOB\equiv \prec CDE

\Leftrightarrow m\left(\prec AOB\right)=m\left(\prec CDE\right)

Dupa ce ne-am reamintit cand doua segmente sunt congruente sau cand doua unghiuri sunt congruente, astazi o sa discutam despre  Congruenta triunghiurilor oarecare Criterii de congruenta a triunghiurilor. Acum o sa definim cand doua triunghiuri sunt congruente.

Ne punem intrebarea fireasca cand doua triunghiuri sunt congruente?

Iar raspunsul este: ca putem aseza unul dintre triunghiuri peste celalalt astfel incat ele sa coincida, adica sa aiba laturile congruente, dar si unghiurile congruente.

Def: Fiind date doua triunghiuri \Delta ABC si \Delta DEF spunem ca sunt congruente si notam \Delta ABC\equiv\Delta DEF daca au loc relatiile:

conditia ca doua triunghiuri sa fie congruente

 

 

\left[AB\right]\equiv\left[DE\right], \left[AC\right]\equiv\left[DF\right],

\left[BC\right]\equiv\left[EF\right] ,

\prec A\equiv \prec D, \prec B\equiv \prec E, \prec C\equiv \prec F.

Def:  Doua triunghiuri sunt congruente daca au laturile respectiv congruente, dar si unghiurile respectiv congruente.

Dar avem si cateva cazuri de congruenta in care nu trebuie sa stim daca toate laturlile sunt congruente sau toate unghiurile congruente, dupa cum am invatat la constructia triughiurilor. Astfel primul caz:

Cazul L.U.L de congruenta

Doua triunghiuri care au doua laturi si unghiul cuprins intre ele  respectiv congruente sunt congruente.

Ca in figura de mai sus

\Delta ABC\equiv \Delta DEF daca si numai daca \left[AB\right]\equiv\left[DE\right],  \left[AC\right]\equiv\left[DF\right], \prec A\equiv\prec D.

Deci la acest caz trebuie sa gasim doua laturi respectiv congruente si unghiurile cuprins intre ele si astfel obtinem ca triunghiurile sunt congruente.

Cazul U.L.U de congruenta

Doua triunghiuri care au o latura si unghiurile alaturale ei respectiv  congruente sunt congruente.

Tot din figura de mai sus avem ca

\Delta ABC\equiv \Delta DEF daca si numai daca \left[BC\right]\equiv\left[EF\right], \prec B\equiv E, \prec C\equiv \prec F.

Cazul L.L.L de congruenta

Doua triunghiuri cu toate  laturile respectiv congruente sunt congruente.

\Delta ABC\equiv \Delta DEF daca si numai daca \left[AB\right]\equiv\left[DE\right],

\left[AC\right]\equiv\left[DF\right], \left[BC\right]\equiv\left[EF\right].

Deci la probleme cand avem sa aratam ca triunghiurile sunt congruente trebuie sa aplicam unul din cazurile de mai sus.

Problema

1) Se considera triunghiul isoscel ABC cu baza \left[BC\right]  si (AD bisectoarea unghiului \prec BAC, \in BC. Daca M este un punct oarecare pe segmentul (AD) aratati ca

a) \Delta ABM\equiv \Delta ACM

b) \Delta BDM\equiv \Delta CDM.

cum aratam ca doua triunghiuri sunt congruentea) Cum stim ca triunghiul ABC este isoscel stim si ca AB=AC, stim ca AD este bisectoare deci unghiul \prec BAM\equiv \prec CAM, iar AM este latura comuna scriem AM=AM

Scriem

\left[AB\right]\equiv \left[AC\right](din faptul ca triunghiul ABC isoscel)

\prec BAM\equiv\prec CAM (AD este bisectoare in triunghiul ABC si stim ca bisectoarea imparte unghiul in doua unghiuri congruente).

\left[AM\right]\equiv\left[AM\right] (din constructia triunghiului AM observam da se afla in ambele triunghiuri deci latura comuna)

Deci stim ca avem doua laturi congruente si unghiul cuprins intre ele congruent, rezulta ca triunghiurile \Delta ABM\equiv \Delta ACM

b) Din congruenta \Delta ABM\equiv \Delta ACM rezulta ca \left[BM\right]\equiv \left[MC\right]. Dar \left[BD\right]\equiv \left[DC\right] (observam ca triunghiul ABD congruent cu triunghiul ADC) si \left[MD\right]\equiv \left[MD\right] (latura comuna).

Si astfel cu cazul de congruenta L.L.L triunghiurile sunt congruente    \Delta BDM\equiv \Delta CDM.