Functii derivabile

Definitia derivatei unei functii intr-un punct :fie f:D\rightarrow R, D\subset R si x_{0}\in D un punct de acumulare al multimii D.

Definitie functii derivabile:

Se spune ca functia f are derivata in punctul x_{0}\in D daca exista limita  \lim\limits_{x\to x_{0}}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}} in \bar{R}

Limita de mai sus se numeste derivata functiei in punctul x_{0} si se noteaza

f^{'}\left(x\right)=\lim\limits_{x\to x_{0}}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}}

Mai spune si ca functia f este este derivabila in punctul x_{0}\in D, daca limita

f^{'}\left(x\right)=\lim\limits_{x\to x_{0}}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}}

exista si este  finita.

Definitii

Fie f:D\rightarrow R, A\subset D

Functia f este derivabila pe multimea A, daca este derivabila  in fiecare punct al multimii.

Multimea D_{f^{'}}=\left\{x\in D|\exists f^{'}\left(x\right)\;\; si\;\;\; f^{'}\left(x\right)\in R\right\} se numeste domeniul de derivabilitate  a  functiei f.

Derivate laterale

Derivata la stanga

Fie functia f:D\rightarrow R si x_{0}\in D astfel incat D\cap\left(-\infty,x_{0}\right)\neq\Phi

Definitii !

Functia f are derivata la stanga in punctul x_{0}, daca limita \lim\limits_{x\to x_{0}\\x<x_{0}}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}} exista in \bar{R}

Aceasta limita se numeste derivata la stanga a functiei f in punctul x_{0} si se noteaza f^{'}_{s}\left(x\right)

Functia f are derivabila la stanga in punctul x_{0}, daca derivata la stanga in x_{0} exista si este finita.

Derivata la dreapta

Fie functia f:D\rightarrow R si x_{0}\in D astfel incat D\cap\left(x_{0},+\infty\right)\neq \Phi

Definitii !

Functia f are derivata la dreapta  in punctul x_{0}, daca limita \lim\limits_{x\to x_{0}\\x>x_{0}}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}} exista in \bar{R}

Aceasta limita se numeste derivata la dreata a functiei f in punctul x_{0} si se noteaza f^{'}_{d}\left(x\right)

Functia f este  derivabila  la dreata  in punctul x_{0}, daca derivata la dreapta  in x_{0} exista si este finita.

Teorema !

Fie functia f:D\rightarrow R si x_{0}\in D

a)  Functia f are derivata in x_{0} daca si numai daca f are derivatele laterale in x_{0} si f^{'}_{s}\left(x_{0}\right)=f^{'}_{d}\left(x_{0}\right)=f^{'}\left(x_{0}\right)

b) Functia f este derivabila in x_{0} daca si numai daca este derivabila la stanga si la dreapta   in
x_{0} si f^{'}_{s}\left(x_{0}\right)=f^{'}_{d}\left(x_{0}\right)=f^{'}\left(x_{0}\right)

Derivabilitate si continuitate

Teorema (continuitatea functiilor derivabile)

Orice functie derivabila intr-un punct este continua in acel punct.

Observatie !

Reciproca teoremei de mai sus nu este in general adevarata. Adica, o functie este continua intr-un punct fara a fi derivabila in acel punct.

Exemplu:

Functia modul f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=|x| este continua in x_{0} fara a fi derivabila in  in acest punct.

Astfel \lim\limits_{x\to 0}{f\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to 0}{|x|}=|0|=0=f\left(0\right), deci functia este continua.

Pentru derivabilitate studiem existenta si valoare limitei raportului

R\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=\frac{|x|}{x} in x_{0}

Astfel avem \lim\limits_{x\to 0\;\; x<0}{R\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to 0\;\; x<0}{\left(-1\right)}=-1

\lim\limits_{x\to 0\;\; x>0}{R\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to 0\;\; x>0}{1}=1

Astfel nu exista \lim\limits_{x\to 0}{R\left(x\right)}, deci functia modul nu este derivabila in punctul x_{0}

Deci e foarte important sa cunoastem notiunea de derivata, dar si notiunea de derivata unei functii intr-un punct, cat si notiunea de derivabilitate si continuitate.