Cum aratam ca un patrulater este paralelogram

Fie ABCD un paralelogram de centru O iar E,F,G,H mijloacele segmentelor [OA] [OB] [ OC] şi respectiv [OD]. arătaţi că EFGH este paralelogram.

Demonstratie:

probleme rezolvate cu paralelogramul
Stim din ipoteza ca ABCD este paralelogram si cu proprietatile referitoare la diagonale intr-un paralelogram stim ca diagonalele au acelasi mijloc, daca nu va reaminti click aici

Astfel obtinem ca [AO]\equiv[CO]
Dar si [BO]\equiv[DO]

Tot din ipoteza stim ca E este mijlocul lui AO, deci avem AE=EO=\frac{AC}{2}
– F mijlocul lui BO, deci avem BF=FO=\frac{BO}{2}
– G mijlocul lui CO, deci obtinem ca CG=GO=\frac{CO}{2}
– H mijlocul lui DO, deci avem ca DH=HO=\frac{DO}{2}

Ca sa intelegem avem ca EO=\frac{AO}{2}\Rightarrow AO=2\cdot EO
Mai mult, GO=\frac{CO}{2}\Rightarrow CO=2\cdot GO
Cum stim de mai sus ca AO=CO\Rightarrow 2EO=2GO\Rightarrow EO=GO

Dar si FO=\frac{BO}{2}\Rightarrow BO=2\cdot FO
MAi mult HO=\frac{DO}{2}\Rightarrow 2\cdot HO=DO\Rightarrow DO=2\cdot HO
Dar stim de mai sus ca DO=BO\Rightarrow 2\cdot HO=2\cdot FO\Rightarrow HO=FO
Avem ca EO=GO, HO=FO
Deoarece diagonalele in patrulaterul EFGH se injumatatesc cu reciproca teoremei referitoare la diagonale obtinem ca EFGH este paralelogram, unde EG si HF sunt diagonale.

 

Cum demonstram ca un patrulater este paralelogram

Prezentam o problema pe care o rezolvam folosind notiunile invatate pana in acest moment, adica notiunea de patrulater convex, cum aflam masura unghiurilor intr-un patrulater convex, cum aratam ca un triunghi este triunghi isoscel, dar si cum aratam ca un patrulater este paralelogram. Adica cum demonstram ca un patrulater este paralelogram.

 

În patrulaterul convex ABCD măsurile unghiurilor A, B, C, D, sunt direct proporționale cu numerele 2,4,6 și 8.
a) Calculați măsurile unghiurilor patrulaterului ABCD
b) Fie [DE bisectoarea unghiului ADC, E € (AB).  Arătați că triunghiul ADE este isoscel.
c) Demonstrați că BCDE este paralelogram.

Demonstratie:

a) Pentru a afla masurile unghiurilor patrulaterului trebuie sa ne reamintim notiunea de marime direct proportionala, iar cei care nu va mai reamintiti click aici.

Astfel obtinem sirul de rapoarte:

\frac{m\left(\widehat{A}\right)}{2}= \frac{m\left(\widehat{B}\right)}{4}= \frac{m\left(\widehat{C}\right)}{6}= \frac{m\left(\widehat{A}\right)}{8}

Acum daca egalam fiecare raport cu o litera k obtinem:

\frac{m\left(\widehat{A}\right)}{2}=k\Rightarrow m\left(\widehat{A}\right)=2k

\frac{m\left(\widehat{B}\right)}{4}=k\Rightarrow m\left(\widehat{B}\right)=4k

\frac{m\left(\widehat{C}\right)}{6}=k\Rightarrow m\left(\widehat{C}\right)=6k

\frac{m\left(\widehat{D}\right)}{8}=k\Rightarrow m\left(\widehat{D}\right)=8k

Dar stim ca intr-un patrulater convex suma masurii unghiurilor este de 360^{0}

Astfel stim ca m\left(\widehat{A}\right)+m\left(\widehat{B}\right)+m\left(\widehat{C}\right)+m\left(\widehat{D}\right)=360^{0}\Rightarrow    2k+4k+6k+8k=360^{0}\Rightarrow 20k=360^{0}\Rightarrow k=360^{2}:20\Rightarrow k=18^{0}

Si astfel obtinem m\left(\widehat{A}\right)=2\cdot k=2\cdot 18^{0}=36^{0}

Iar m\left(\widehat{B}\right)=4\cdot k=4\cdot 18^{0}=72^{0}

Si m\left(\widehat{C}\right)=6\cdot k=6\cdot 18^{0}=108^{0}

Dar si m\left(\widehat{D}\right)=8\cdot k=8\cdot 18^{0}=144^{0}

unghiurile intr-un patrulater convex

Deci am aflat suma masurii unghiurilor patrulaterului.

Important ! Pentru a afla masura unghiurilor patrulaterului trebuie sa stim care este suma masurii unghiurilor intr-un patrulater.

b) Stim ca [DE este bisectoarea unghiului ADC, dar pentru a trasa in figura noastra bisectoarea sa ne reamintim mai intai ce inseamna bisectoarea intr-un unghi.

Definitie:

Semidreapta care imparte unghiul dat in doua unghiuri congrunete se numeste bisectoarea unui unghi.

Deci noi stim ca semidreapta [DE este bisectoarea unghiului ADC, dar cum din punctul anterior stim masura unghiului ADC, putem sa aflam si masura unghiului ADE, dar si masura unghiului EDC, astfel avem m\left(\widehat{ADE}\right)=m\left(\widehat{EDC}\right)=\frac{m\left(\widehat{ADC}\right)}{2}=\frac{144^{0}}{2}=72^{0}

Deci am aflat ca fiecare din unghiuri are masura de 72^{0}.

cum aratam ca un triunghi este isoscel

Observam ca ADE triunghi, dar din notiunile invatate in anii anteriori stim ca suma masurii unghiurilor intr-un triunghi este de 180^{0}

Deci in triunghiul ADE, avem: m\left(\widehat{DAE}\right)+m\left(\widehat{ADE}\right)+m\left(\widehat{AED}\right)=180^{0}\Rightarrow 36^{0}+72^{0}+m\left(\widehat{AED}\right)=180^{0}\Rightarrow 108^{0}+m\left(\widehat{AED}\right)=180^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{AED}\right)=180^{0}-108^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{AED}\right)=72^{2}

deci in triunghiul ADE, stim ca m\left(\widehat{AED}\right)=m\left(\widehat{ADE}\right)=72^{0}\Rightarrow \widehat{AED}\equiv\widehat{ADE}

Dar cu proprietatile de la triunghiul isoscel, stim ca:

-Daca intr-un triunghi unghiurile alaturate bazei sunt congruente, atunci triunghiul este isoscel.

Deci cum am aratat ca cele doua unghiuri sunt congrunete, rezulta ca triunghiul este isoscel, adica \Delta ADE isoscel,

cum sunt unghiurile intr-un triunghi isoscel

 

 

 

 

 

 

 

c) Acum sa demonstram ca BCDE este paralelogram

Observam ca in patrulaterul convex BCDE

m\left(\widehat{EDC}\right)=m\left(\widehat{EBC}\right)=72^{0}

Observam ca unghiul AEB este un unghi alungit, adica:

Stim ca m\left(\widehat{AEB}\right)=180^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{AED}\right)+m\left(\widehat{DEB}\right)=180^{0}\Rightarrow 72^{0}+m\left(\widehat{DEB}\right)=180^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{DEB}\right)=180^{0}-72^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{DEB}\right)=108^{0}.

deci cu masura unghiului gasit obtinem ca m\left(\widehat{DEB}\right)=m\left(\widehat{DCB}\right)=108^{0}\Rightarrow \widehat{DEB}\equiv\widehat{DCB}

Si cu teorema reciproca  referitoare la unghiuri intr-un paralelogram obtinem ca BCDE este paralelogram.

Stim ca daca intr-un patrulater convex unghiurile opuse sunt congruente, atunci patrulaterul este paralelogram.

 Aceasta a fost o problema rezolvata prin care am invatat cum demonstram ca un patrulater este paralelogram. Daca aveti probleme asemanatoare urmati tiparul de mai sus si cu siguranta le puteti rezolva.

Problema rezolvata Cum aratam ca un patrulater este paralelogram

Pe diagonala \left(BD\right) a paralelogramului ABCD se considera punctele E si F,astfel incat \left[DE\right]\equiv\left[BF\right] .Demonstrati ca patrulaterul AFCE este un paralelogram.
Demonstratie
cum aratam ca un patrulater este paralelogram
Din figura de mai sus observam ca
AE||CF  \\ AF||EC\Rightarrow AECF paralelogram.
Dar mai putem arata si astfel:
Observam ca
\left[AB\right]\equiv\left[DC\right] (din proprietatile paralelogramului)
Mai stim si ca
\left[DE\right]\equiv\left[BF\right] (din ipoteza)
\widehat{ABF}\equiv\widehat{DCE} (ca unghiuri alterne interne, unde BD este secanta celor doua drepte paralele AB si DC)
Deci cu cazul de congruenta L.U.L \Delta ABF\equiv\Delta CDE
De unde gasim si ca \left[AF\right]\equiv\left[CE\right] (*)

cum aratam ca un patrulater este paralelogram
Mai stim si ca
\left[AD\right]\equiv\left[BC\right] (deoarece ABCD paralelogram)
Mai stim si din ipoteza ca
\left[DE\right]\equiv\left[BF\right]
Dar si ca
\widehat{ADE}\equiv\widehat{CBF} (ca unghiuri alterne interne BD fiind secanta)
Deci cu cazul de congruenta L.U.L
\Delta ADE\equiv\Delta BCF
Si astfel gasim si ca \left[AE\right]\equiv\left[CF\right] (**)
Din (*) si (**) gasim ca AFCE este paralelogram (Rezulta cu teorema reciproca referitoare la laturi).
cum aratam ca un patrulater este paralelogram