Rezolvari subiecte Evaluarea Nationala 2015

subiecte evaluarea nationala 2015Demonstratie:
a) Stim ca aria unui dreptunghi este A_{dreptunghi}=L\cdot l=AB\cdot AD=150\cdot 100=15000\;\; m^{2}
Dar transformati in hectare obtinem
15 000:10000=1,5 ha
b)Triunghiul MNB isoscel

Stim ca M este mijlocul lui AD astfel avem ca AM=MD=\frac{100}{2}=50 m
Dar mai stim si ca DN=2\cdot NC
Dar stim ca DC=DN+NC\Rightarrow 150 m=2NC+NC\Rightarrow 3NC=150 m\Rightarrow NC=150:3\Rightarrow NC=50\;\; m
Si DN este egal cu DN=150-50=100
Triunghiul DMN este dretunghic in D si cu Teorema lui Pitagoram obtinem
MN^{2}=DM^{2}+DN^{2}\Rightarrow MN^{2}=100^{2}+50^{2}\Rightarrow MN^{2}=10000+2500\Rightarrow MN^{2}=12500\Rightarrow MN=\sqrt{12500}=10\cdot 5\sqrt{5}\Rightarrow MN=50\sqrt{5}
Dar si BN^{2}=BC^{2}+CN^{2}\Rightarrow BN^{2}=10000+2500\Rightarrow BN^{2}=12500\Rightarrow BN=\sqrt{12500}=10\cdot 5\sqrt{5}\Rightarrow BN=50\sqrt{5}
Astfel obtinem ca MN=BN=50\sqrt{5}\;\; m
Deci triunghiul MNB isoscel de baza MB.
c) Masura unghiului MN si NB.
m\left(\widehat{MN,NB}\right)=m\left(\widehat{MNB}\right)=
Stim ca Triunghiul MNB este isoscel de baza BM, astfel in triunghiul ABM aplicam Teorema luin Pitagora:
BM^{2}=AM^{2}+AB^{2}\Rightarrow BM^{2}=50^{2}+150^{2}\Rightarrow BM^{2}=2500+22500\Rightarrow BM^{2}=25000\Rightarrow BM=\sqrt{25000}=5\cdot 10\sqrt{10}=50\sqrt{10}
Astfel stim ca MN=BN=50\sqrt{5} si BM=50\sqrt{10}

si cu Reciproca Teoremai lui Pitagora obtinem BM^{2}=MN^{2}+BN^{2}\Rightarrow 25000=12500+12500
Astfel obtinem ca Triunghiul MNB este dreptunghic isoscel astfel avem ca m\left(\widehat{MNB}\right)=90^{0}

2. Observam ca avem o piramida patrulatera regulata, in care triunghiul VAD este isoscel si VM mediana, inaltime, mediatoare si bisectoare deci cu teorema lui Pitagora VM^{2}=VA^{2}-AM^{2}, unde AM=MD=\frac{AB}{2}=\frac{6}{2}=3\;\; cm
Astfel VM^{2}=\left(3\sqrt{5}\right)^{2}-3^{2}\Rightarrow VM=\sqrt{45-9}\Rightarrow VM=\sqrt{36}=6\;\; dm
b) Pentru a afla cate grame de vopsea sunt necesare calculam aria laterala
A_{l}=\frac{P_{b}\cdot a_{p}}{2}
stim ca
a_{p}=VM=6 cm
Astfel A_{l}=\frac{4\cdot 6\cdot 6}{2}=\frac{24\cdot 6}{2}=\frac{12\cdot 6}{1}=72\;\; dm^{2}
Stim ca pentru 1 dm^{2} se folosec 30 g vopsea, astfel trebuie 72\cdot 30 g=2160g
deci ne trebuie 2160 g
c) \sin\left(\widehat{(VAD),(VMB)}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}
Dupa cum stiti cand avem sa aflam masura unghiului dintre doua plane aflam intersectia celor doua plane, astfel stim ca daca doua plane au un puncte in comun ele au si o drepata in comun, astfel  (VAD)\cap(VBC)={V}
Astfel avem VM\perp AD; VM, AD\subset(VAD)
si construim VN\perp BC; VN, BC\subset(VBC)
Astfel avem sinusul unghiului \sin\left(\widehat{VN,VM}\right)=\sin\widehat{NVM}
Observam ca MN=DC=AB=6 dm
din a) stim si ca VM=6 dm, obtinem si ca VN=6 cm, deci triunghiul MVN este echilateral.
Astfel stim ca A_{\Delta MVN}=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}\; dm
Astfel mai stim si ca A_{\Delta}=\frac{MV\cdot NV\cdot \sin\widehat{MVN}}{2}=\frac{6\cdot 6\cdot\sin\widehat{MVN}}{2}=\frac{36\cdot\sin\widehat{MVN}}{2}=18\sin\widehat{MVN}
Astfel egaland ariile stim ca 18\sin\widehat{MVN}=9\sqrt{3}\Rightarrow \sin\widehat{MVN}=\frac{9\sqrt{3}}{18}=\frac{\sqrt{3}}{2}

Model teza clasa a vii a

Lucrare scrisa la matematica pe semestrul I

Nume:
Prenume
Subiectul I

0, 5 p 1.a)  Dintre numerele a=1,2(31) si b=1,2(3) mai mare este ……

0, 5 p b) Rezultatul calculului \left(-\frac{1}{3}\right)^{2}-0,(5)-\left(-1\frac{1}{3}\right):3 este egal cu …

0, 5 p 2. Fie ABC un triunghi si D\in \left(AB\right), E\in\left(AC\right), DE||BC. Daca \frac{AD}{DB}=\frac{3}{4}, atunci valoarea raportului \frac{EC}{AC} este egal cu …..

3. Rombul ABCD are m\left(\widehat{A}\right)=30^{0} si AB=36 cm.

0,5 p a) Distanta de la punctul B la dreapta CD este…

1 p b) Aria rombului este egala cu……

0, 5 p 4. Rezultatul calculului a=|1-\sqrt{3}|-\left(\sqrt{3}-2\right)

Subiectul II

1. Calculati

1 p a) \left(5\cdot \sqrt{0,02(7)}+\sqrt{4\frac{21}{25}}\right):0,1(4)-\sqrt{3\frac{1}{16}}

1 p b) \left(2\sqrt{6}+\sqrt{54}\right):\sqrt{6}-\left(8\sqrt{5}-\sqrt{45}\right):\sqrt{5}

1 p 2. Rezolvati ecuatia \left(3\frac{3}{4}-1\frac{1}{2}\right)\left(x-1\right)=6\frac{3}{4}

3. Fie ABCD un trapez dreptunghic, m\left(\widehat{A}\right)=m\left(\widehat{D}\right)=90^{0}, AB=8 cm, CD=4 cm, m\left(\widehat{ABC}\right)=45^{0}, iar M mijlocul lui [AB]

1 p a) Aratati ca triunghiul CMB este dreptunghic isoscel

1 p b) Aratati ca patrulaterul AMCD este patrat

0,5 p c) Calculati aria trapezului ABCD

Proprietatile triunghiului isoscel

Inainte sa vorbim de proprietatile triunghiului isoscel ne reamintim definitia triunghiului isoscel.

Definitie: Triunghiul care are doua laturi congruente se numeste triunghi isoscel.

Redactare cu simboluri: \left[AB\right]\equiv\left[AC\right]\Leftrightarrow \Delta ABC este isoscel de baza \left[BC\right]

triunghiul isoscel

Acum enuntam Teoreme referitoare la unghiurile alaturate bazei

Intr-un triunghi isoscel unghiurile alaturate bazei sunt congruente.
Redactare cu simboluri:
\Delta ABC este isoscel de baza \left[BC\right]\Rightarrow \widehat{B}\equiv\widehat{C}

Teorema reciproca: Daca un triunghi are doua unghiuri congruente atunci triunghiul este isoscel.

Redactare de simboluri:\widehat{B}\equiv\widehat{C}\Rightarrow\Delta ABC este isoscel de baza \left[BC\right]

Teorema referitoare la bisectoare, inaltime, mediana si mediatoare.

Intr-un triunghi isoscel mediana, mediatoarea, inaltimea si bisectoarea unghiului coresunzatoare bazei coincid.

Important la aceasta proprietate este sa stim ca daca intr-o problema, avem un triunghi isoscel si cunoastem de exemplu ca mediana corespunzatoare bazei, atunci stim si ca mediana este si mediatoare si bisectoare dar si inaltime, noi in cazul problemei folosim ceea ce ne convine.

Atentie !!! mediana, mediatoarea, bisectoarea si inaltimea sunt corespunzatoare doar bazei, nu si pentru celelate doua mediane sau bisectoare sau inaltimi.
mediana, mediatoarea, inaltimea si bisecoarea intr-un triunghi isocel
Triunghiul ABC isoscel
AD bisectoare unghiului BAC in triunghiul ABC rezulta ca AD este si mediatoare, si mediana, si inaltime
Sau
AD mediana segmentului BC in triunghiul ABC rezulta ca AD este si mediatoare, si bisectoare, si inaltime
Sau
AD mediatoarea segmentului BC in triunghiul ABC rezulta ca AD este si mediana, si bisectoare, si inaltime
Sau
AD inaltime segmentului BC in triunghiul ABC rezulta ca AD este si mediatoare, si bisectoare, si mediana.

Problema:
In interiorul triunghiului ABC, cu AB=AC, se considera punctele M si N astfel incat BM=CN si \widehat{MBA}\equiv\widehat{NCA}.Demonstrati ca triunghiul AMN este isoscel.
Demonstratie:
Cum aratam ca un triunghi este isoscel?
\left[BM\right]\equiv\left[CN\right]  \\\widehat{MBA}\equiv\widehat{NCA}  \\ \left[AB\right]\equiv\left[AC\right]\Rightarrow \Delta ABM\equiv \Delta ACN
Observati ca am obtinut ca triunghiurile sunt congruente cu cazul de congruenta L.U.L
De unde rezulta ca \left[AM\right]\equiv\left[AN\right] si deci triunghiul AMN este isoscel.

2) Medianele \left[BM\right] si \left[CN\right] ale triunghiului isoscel ABC cu AB=AC se prelungesc cu segmentele \left[BM\right]\equiv\left[BD\right] si \left[CN\right]\equiv\left[CE\right]
Sa se demonstreze ca triunghiul ADE este isoscel.
Demonstratie:
Observam ca:

proprietatile triunghiului isoscel
\left[AB\right]\equiv\left[AC\right]  \\\widehat{NAC}\equiv\widehat{MAB}
Dar si \left[AM\right]\equiv\left[AN\right] (deoarece BM si CN sunt mediane)
Si astfel cu cazul de congruenta L.U.L \Delta ABM\equiv\Delta ACN
De unde obtinem ca \left[BM\right]\equiv\left[CN\right], dar am obtinut si ca \widehat{ABM}\equiv\widehat{ACN} dar si \widehat{ABD}\equiv\widehat{ACE}
Astfel avem ca \widehat{ABD}\equiv\widehat{ACE}

Dar si \left[AB\right]\equiv\left[AC\right] (din ipoteza)
Dar si \left[BD\right]\equiv\left[BM\right]  \\\left[CE\right]\equiv\left[CN\right]
Dar mai stim si ca \left[BM\right]\equiv\left[CN\right]
Deci obtinem si ca \left[CE\right]\equiv\left[BD\right]
De unde rezulta cu cazul L.U.L ca \Delta ABD\equiv\Delta ACE
De unde rezulta si ca AD=AE
cum aratam ca un triunghi este isoscel

Deci triunghiul ADE este isoscel.

Important pentru demonstrarea ca un triunghi este isoscel este sa intelegem si sa stim sa aplicam proprietatile triunghiului isoscel,deoarece pe langa proprietatile triunghiului isoscel o sa mai discutam si despre proprietatile triunghiului echilateral dar si proprietatile triunghiului dreptunghic.

Cum aflam linia mijlocie intr-un trapez dreptunghic

Sa vedem cum putem afla linia mijlocie intr-un trapez, trapez dreptunghic !

In trapezul dreptunghic ABCD,AB perpendicular pe CD, m\left(\widehat{B}\right)=m\left(\widehat{C}\right)=90^{0} se stie ca DB este bisectoarea unghiului D si DB=12\sqrt{3} cm. Daca m\left(\widehat{A}\right)= 120^{0} sa se afle lungimea liniei mijlocii.

Demonstratie:

Stim ca \prec{A}=120^{0}, dar si \prec{B}\equiv\prec{C}=90^{0}

Deci m\left(\widehat{ADC}\right)=360^{0}-120^{0}-180^{0}=240^{0}-180^{0}=60^{0}

Cum DB este bisectoarea unghiului D gasim ca

m\left(\widehat{ADB}\right)=m\left(\widehat{BDC}\right)=\frac{60^{0}}{2}=30^{0}

Cum triunghiul BCD este dreptunghic putem aplica:

Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0}

Astfel BC=\frac{BD}{2}=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\;\; cm

Acum construim perpendiculara din A pe CD, astfel obtinem ABCT dreptunghi, deci AT=6\sqrt{3}

Acum cu Teorema lui Pitagora in triunghiul BDC obtinem:

BD^{2}=BC^{2}+CD^{2}\Rightarrow CD^{2}=\left(12\sqrt{3}\right)^{2}-\left(6\sqrt{3}\right)^{2}\Rightarrow CD=\sqrt{432-108}=\sqrt{324}=18\;\; cm

Daca in triunghiul ATD aplicam tangenta de 60 de grade obtinem:

\tan ADT=\frac{AT}{TD}\Rightarrow \tan 60^{0}=\frac{6\sqrt{3}}{TD}\Rightarrow \sqrt{3}=\frac{6\sqrt{3}}{TD}\Rightarrow TD=\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=6 cm Cum stim TD, putem afla CT=18-6=12 cm.

Dar ABCT dreptunghi si astfel gasim si ca AB=CT=12 cm.

Observam ca in triunghiul ADB m\left(\widehat{BAD}\right)=120^{0}, dar si ca m\left(\widehat{ADB}\right)=30^{0}, deci m\left(\widehat{ABD}\right)=30^{0} si astfel gasim ca triunghiul ABD isoscel, adica AB=AD=CT=12 cm.

Astfel construim perpendiculara din A pe BD, fie AO\perp BD, astfel in triunghiul ABO dreptunghic in O aplicam Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0}

AO=\frac{AB}{2}=\frac{12}{2}=6 cm

Cum stim bazele trapezului putem afla linia mijlocie a trapezului.

 

cum aflam linia mijlocie intrun trapez

MN=\frac{AB+CD}{2}=\frac{12+6}{2}=\frac{18}{2}=9\;\; cm

Problema rezolvata Cum aratam ca un triunghi este isoscel

Prezentam o problema rezolvata

Cum aratam ca un triunghi este isoscel

In triunghiul isoscel ABC cu \left[AB\right]=\left[AC\right] , masura unghiului m\left(\prec BAC\right)= 36^{0} . Fie \widehat{ABD}\equiv\widehat{CBD} , unde D\in \left[AC\right] .Aratati ca triunghiul BCD este isoscel.

Demonstratie:

Cum aratam ca un triunghi este isoscel

Cum stim ca triunghiul ABC este isoscel, dar mai stim si ca unghiul BAC are masura de 36^{0}, mai stim ca intr-un triunghi isoscel unghiurile alaturate bazei sunt congruente, adica m\left(\widehat{ABC}\right)=m\left(\widehat{ACD}\right)=x deci avem ca
m\left(\widehat{BAC}\right)+m\left(\widehat{ABC}\right)+m\left(\widehat{ACB}\right)=180^{0}\Rightarrow 36^{0}+x+x=180^{0}\Rightarrow 36^{0}+2x=180^{0}\Rightarrow 2x=180^{0}-36^{0}\Rightarrow x=\frac{144^{0}}{2}=72^{0}, deci am gasit ca
m\left(\widehat{ABC}\right)=m\left(\widehat{ACD}\right)=72^{0}.

Mai stim si din ipoteza ca \widehat{ABD}\equiv\widehat{CBD}, adica
m\left(\widehat{ABD}\right)=m\left(\widehat{ACD}\right)=\frac{m\left(\widehat{ABC}\right)}{2}=\frac{72^{0}}{2}=36^{0}.

Cum aratam ca un triunghi este isoscel

Observam ca triunghiul ABD este isoscel de baza AB (este isoscel deoarece unghiurile alaturate bazei sunt congruente, conform proprietatii triunghiului isoscel)

Deci putem afla masura unghiului ADB
m\left(\widehat{BAD}\right)+m\left(\widehat{ABD}\right)+m\left(\widehat{ADB}\right)=180^{0}\Rightarrow 36^{0}+36^{0}+m\left(\widehat{ADB}\right)=180^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{ADB}\right)=180^{0}-72^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{ADB}\right)=108^{0}.

Acum ca stim ca masura unghiului ADB este de 108 grade putem afla masura unghiului BDC
180^{0}=m\left(\widehat{ADB}\right)+m\left(\widehat{BDC}\right)\Rightarrow 180^{0}=102^{0}+m\left(\widehat{BDC}\right)\Rightarrow 180^{0}-108^{0}=m\left(\widehat{BDC}\right)\Rightarrow m\left(\widehat{BDC}\right)=72^{0}.

Deci observam ca \widehat{CDB}\equiv\widehat{BCD}\Rightarrow triunghiul BCD isoscel (deoarece conform proprietatii triunghiului isoscel: Daca un triunghi are doua unghiuri congruente atunci triunghiul este isoscel).

Cum aratam ca un triunghi este isoscel

Perpendicularitatea Inaltimea in triunghi Concurenta inaltimilor intr-un triunghi

 Despre perpendicularitate si inaltimea intr-un triunghi

Dupa ce am definit notiunea de triunghi si am invatat elementele sale, dar si tipurile de triunghi precum si cum sa aratam ca doua triunghiuri sunt congruente, adica congruenta triunghiurilor, a venit vremea sa discutam despre
Perpendicularitatea, Inaltimea intr-un triunghi, Concurenta inaltimilor intr-un triunghi
Despre Perpendicularitate am mai auzit, dar haideti sa ne reamintim, astfel :
Definitie Doua drepte se numesc perpendiculare daca formeaza un unghi de 90^{0}.
Cand doua drepte sunt perpendiculare
g\perp d daca si numai daca m\left(\prec g, d\right)=90^{0}.
Acum definim inaltimea intr-un triunghi.
Definitie: Perpendiculara construita din varful triunghiului pe latura opusa se numeste inaltime.
Care este inaltimea intr-un triunghi
Redactarea simbolurilor
AD inaltime in triunghiul ABC, daca si numai daca AD\perp BC
Observatie: Punctul D se numeste piciorul inaltimii din A, iar BC este baza triunghiului, sau AD este inaltimea corespunzatoare laturii BC in triunghiul ABC.
Orice triunghi are trei inaltimi.
Concurenta inaltimilor intr-un triunghi
Teorema. Intr-un triunghi inaltimile sunt concurente, iar punctul de intersectie se numeste ortocentrul triunghiului care se noteaza cu H.
cate inaltimi putem duce intr-un triunghi
AD, BE, CF sunt inaltimi in \Delta ABC, daca si numai daca exista H, astfel incat AD\cap BE\cap BF=\left\{H\right\}
Observatie : In orice triunghi ascutitunghic inaltimea este situata in interiorul triunghiului.
Care sunt inaltimile inr-un triunghi ascutit unghic?
Scriem H\in Int \Delta ABC
In orice triunghi dreptunghic ortocentru coincide cu varful drept al triunghiului, deoarece doua dintre inaltimi sunt cele doua catete ale triunghiului.
Scriem H\in \Delta ABC
Care sunt inaltimile intr-un triunghi dreptunghic?
In orice triunghi obtuzunghic ortocentrul se afla in exteriorul triunghiului.
Scriem H\in Ext \Delta ABC.
Inaltimea intr-un triunghi obtuz
Problema

1) In triunghiul ABC construim inaltimea AM cu M\in \left[BC\right], stiind ca M este mijlocul laturii \left[BC\right], aratati ca triunghiul ABC este isoscel.
Demonstratie:
cum aratam ca un triunghi este isoscel

Daca M este mijlocul lui BC stim ca
\left[BM\right]\equiv\left[MC\right] (din ipoteza)
Stim ca AM este inaltime in triunghiul ABC, deci \prec AMB\equiv\prec AMC (deoarece AM este perpendiculara dusa din varful triunghiului pe latura BC, deci m\left(\prec AMB\right)=m\left(\prec AMC\right)=90^{0})
Dar mai stim si ca \left[AM\right]\equiv\left[AM\right] (latura comuna).
Deci avem :
\left[BM\right]\equiv\left[MC\right]  \\ \prec AMB\equiv\prec AMC  \\ \left[AM\right]\equiv\left[AM\right]\Rightarrow \Delta AMB\equiv \Delta AMC, de aici gasim si ca AB=AC si astfel triunghiul ABC este isoscel, deoarece am gasit ca are doua laturi egale.