Cilindrul circular drept

Cilindrul circular drept face parte din categoria corpurilor rotunde, corpuri care in acest an scolar pentru elevii de clasa a VIII a joaca un rol destul de important, datorita faptului ca pentru Evaluarea Nationala apar probleme din acest capitol.
Incepem prin a desena un cilindru circular drept, a observa conventiile de desen, dar si notatiile precum si elementele componente, cat si cum calculam aria laterala, aria totala si volumul acestui corp.
elementele componente ale unui cilindru circular drept
Convetii de desen:
OA=OB=OA’=OB’=R (raza bazei sau raza cilindrului)
AB=A’B’= diametrul cercurilor de centru O si raza R.
AA’=G= generatoarea cilindrului
OO’=H= inatimea cilindrului.

Elementele cilindrului circular drept:
– bazele cilindrului cele 2 cercuri: C\left(O, R\right) si C\left(O', R'\right)
– dreptunghiul ABA’B’
– generatoarea G, care este egala cu muchia laterala, dar si inaltimea cilindrului, adica AA’=G=OO’=H

Generatoarea unui cilindru circular drept este egala cu muchia laterala a cilindrului
Inaltimea unui cilindru circular drept este egala cu distanta dintre cele doua baze ale cilindrului, care este egala si cu generatoarea cilindrului.
-OO’ se numeşte axa de rotaţie a cilindrului.

Cum calculam aria laterala, aria totala si volumul cilindrului drept.

Foarte important sa stim ca cilindrul circular drept are aspectul unei prisme, astfel stim ca formula generala a unei prisme pentru calculul ariei este:
A_{laterala}=P_{bazei}\cdot H
Stim ca baza cilindrului circular este un cerc, astfel avem P_{baza}=2\pi\cdot R
Astfel aria laterala este A_{laterala}=A_{l}=2\pi\cdot R\cdot H
Iar aria totala este: A_{totala}=A_{t}=A_{l}+2\cdot A_{B}
Aria bazei, cum o calculam.

Baza cilindrului circular este un cerc astfel avem ca aria cercului este:
A_{B}=\pi\cdot R^{2}
Astfel obtinem A_{t}=2\pi\cdot R\cdot H+2\cdot\pi\cdot R^{2}
deoarece H=G, adica inaltimea este egala cu generatoarea obtinem ca:
A_{t}=2\phi\cdot R\cdot G+2\cdot\phi\cdot R^{2}=2\phi \cdot R\left(G+R\right)
Iar volumul cilindrului circular drept este egal cu:
V=A_{B}\cdot H=\pi\cdot R^{2}\cdot H, dar putem sa scriem si V=\pi\cdot R^{2}\cdot G

Aplicatii:

Un cilindru circular drept are volumul V=150\pi\;\; cm^{3} si aria sectiunii axiale de 60\;\; cm^{2}. Determinati raza si generatoarea cilindrului.

Demonstratie:
Stim ca volumul unui cilindru circular drept este egla cu V=\pi\cdot R^{2}\cdot H
De unde obtinem: 150\;\; \pi=\pi\cdot R^{2}\cdot H\Rightarrow 150=R^{2}\cdot H
Stim de mai sus ca H=G, astfel obtinem: 150=R^{2}\cdot G
Dar mai stim si ca aria sectiunii axiale este egala cu 60, observam ca aria sectiunii axiale este dreptunghiul ABA’B’
Astfel stim ca A_{ABA'B'}=L\cdot l=G\cdot 2\cdot R
Astfel obtinem 60=G\cdot 2\cdot R\Rightarrow R\cdot G=60:2\Rightarrow R\cdot G=30\Rightarrow G=\frac{30}{R}

Dar mai stim si ca R^{2}\cdot G=150\Rightarrow R^{2}\cdot \frac{30}{R}=150\Rightarrow R\cdot 30=150\Rightarrow R=150:30\Rightarrow R=5\;\; cm
Si astfel am obtinut ca R=5 cm, iar pentru a afla G=\frac{30}{R}=\frac{30}{5}=6\;\; cm
Deci am obtinut ca G=6 cm, adica generatoarea are 6 cm.
probleme rezolvate cu cilindru circular drept
Prezentam o problema care a fost data la o testare nationala
2. Desenati un cilindru circular drept
Dreptunghiul ABCD este o sectiune axiala a cilindrului. Inaltimea cilindrului este de 12 cm, iar diametrul [AB] ala uneia dintre baze are lungimea de 10 cm.
b) Calculati aria laterala a cilindrului
c) Calculati volumul cilindrului
d) Aratati ca cel mai scurt drum intre A si C, parcurs pe suprafata laterala a cilindrului, are lungimea mai mica de 20 cm.
Demonstratie:
cum arata un cilindru circulart drept Stim ca AD= 12 cm si AB=10 cm, astfel obtinem R=\frac{AB}{2}=\frac{10}{2}=5\;\; cm, deci raza cilindrului este de 5 cm.

b) Calculam aria laterala a cilindrului A_{l}=P_{b}\cdot H
Mai intai calculam perimetrul bazei, P_{B}=2\pi\cdot r=2\pi\cdot 5=10\pi
Iar stim ca H=AD=12 cm si aria laterala este: A_{l}=10\pi\cdot 12=120\pi\;\; cm^{2}

c) V=A_{B}\cdot H=\pi\cdot 5^{2}\cdot 12=\pi\cdot 25\cdot 12=300\;\;cm^{3}.

d) Daca desfasuram suprafata laterala a cilindrului circular drept, obtinem dreptunghiul BB'C'C pozitiile punctelor A si D pe desfasurare vor fi A' respectiv D'.
desfasuratea laterala a cilindrului circular drept
Astfel avem ca:
BB'=2\pi \cdot R=2\pi\cdot 5=10\pi si astfel obtinem
A'B'=\frac{BB'}{2}=\frac{10\pi}{2}=5\pi
Iar B'C'=BC=G=12 cm

Asadar cel mai scurt drum intre A si C parcurs pe suprafata laterala a cilindrului circular drept este egala cu lungimea segmentului A'C'=\sqrt{A'B'^{2}+B'C'^{2}}=\sqrt{\left(5\pi\right)^{2}+12^{2}}=\sqrt{25\pi^{2}+144}

Acum sa vedem daca A'C'<20
Astfel avem ca A'C'<20\Leftrightarrow\sqrt{25\pi^{2}+144}<20|^{2}\Leftrightarrow 25\pi{2}+144<400\Leftrightarrow 25\pi^{2}<400-144\Rightarrow 25\pi^{2}<256\pi^{2}<256:25\Leftrightarrow \pi^{2}<10,24
Acum stim ca 3,14\leq\pi\leq 3,15

Astfel consideram \pi=3,15 si obtinem
\left(3,15\right)^{2}=9,9225<10,24, deci cel mai scurt drum intre A si C este mai mic de 20 cm.