Model Teza clasa a vii a

Lucrare scrisa la matematica
Clasa a VII a
Semestrul al II-lea

Completati enunturile cu raspunsul corect:(40 puncte)
1. Rezultatul calculului \left(2+\sqrt{3}\right)+|4\sqrt{3}-7| este…….
2. In m\left(\widehat{A}\right)=90^{0}, m\left(\widehat{B}\right)=30^{0} si AC=3 cm, atunci BC=….
3.Daca un triunghi dreptunghic are catetele de lungime egala cu 3 cm, respectiv 4 cm, atunci lungimea ipotenuzei este de …… cm.
4. Solutiile reale ale ecuatiei 16x^{2}-9=0 sunt ….. si……
5. Ionel cheltuieste 30% din suma de bani pe care o avea si astfel ramane cu 84 de lei. Ionel aveam ….. lei
6. Daca a-b=5 si a^{2}-b^{2}=420, atunci valoarea sumei a+b este….
7. Aria unui triunghi dreptunghic ABC m\left(\widehat{A}\right)=90^{0} cu BC=10 cm si AB=8 cm este….
8. Descompunerea in factori a expresia x^{2}-xy-4+2y este……
9.Consideram A si B doua puncte pe un cerc de centru O si raza r=8 cm, astfel incat AB=8\sqrt{3}\;\; cm. Atunci masura arcului mic AB este…….

Subiectul II
La urmatoarele probleme se cer rezolvari complete

1. Aratati ca numarul a=\left(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}\right)\left(3\sqrt{2}+2\sqrt{3}\right)-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}-\sqrt{48} este intreg
2. Rezolvati ecuatia 3\left(2x-1\right)-5\left(3x-1\right)=1
3. Calculati E=\sin 45^{0}\cdot \cos 30^{0}-\sin 30^{0}\cdot cos 45^{0}
4.Trapezul dreptunghic ABCD are AB||CD m\left(\widehat{A}\right)=90^{0} si AB=6 cm, BC=5 cm,, CD=2 cm
a) Aratati ca inaltimea trapezului este egala cu 3 cm
b) Perimetrul si aria trapezului, dar si \sin\left(\widehat{ABC}\right)
c) Calculati Perimetrul triunghiului MAB unde {M}=AD\cap BC

Probleme rezolvate recapitulare clasa a 8 a Partea 2

Partea a doua

probleme rezolvate pentru clasa a viii a

 

1. b)Cum rezolvam in multimea numerelor reale ecuatia?
\frac{\left(x-2\right)^{2}}{2}+{2)}^x\left(x-1\right)=\frac{3x\left(x-5\right)}{2}+^{2)}12
Mai intai aducem in ambii membrii la acelasi numitor, astfel ecuatia devine:
\frac{\left(x-2\right)^{2}+2x\left(x-1\right)}{2}=\frac{3x\left(x-5\right)+2\cdot 12}{2}
Cum avem acelasi numitor putem egala numaratorii, astel ecuatia devine:
\left(x-2\right)^{2}+2x\left(x-1\right)=3x\left(x-5\right)+24\Rightarrow x^{2}-4x+4+2x^{2}-2x=3x^{2}-15x+24\Rightarrow 3x^{2}-6x+4=3x^{2}-15x+24\Rightarrow 3x^{2}-3x^{2}-6x+15x=24-4\Rightarrow 9x=20\Rightarrow x=\frac{20}{9}
Apoi doar am aplicat formulele de calcul prescurtat si am efectuat calculele, de unde am obtinut solutia ecuatiei x=\frac{20}{9}

3. In cazul acestei probleme avem un triunghi dreptunghic in care stim doar mediana si cosinusul unui unghi, astfel cu teorema medianei stim ca

cum aflam inaltimea intr-un triunghi dreptunghic problema rezolvata cu teorema lui Pitagora

 

AM=\frac{1}{2}\cdot BC\Rightarrow 6\sqrt{3}=\frac{1}{2}\cdot BC\Rightarrow BC=12\sqrt{3}

Cum stim ipotenuza triunghiului dreptunghic putem sa aflam o cateta deoarece:

\cos B=\frac{cateta\;\; alaturata}{ipotenuza}\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{AB}{BC}\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{AB}{12\sqrt{3}}\Rightarrow AB=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\;\; cm^{2}

Cum stim o cateta si ipotenuza putem sa aflam cu teorema lui Pitagora cealalta cateta:

AC^{2}=BC^{2}-AB^{2}\Rightarrow AC^{2}=\left(12\sqrt{3}\right)^{2}-\left(6\sqrt{3}\right)^{2}\Rightarrow AC^{2}=144\cot 3-36\cdot 3\Rightarrow AC^{2}=432-108\Rightarrow AB=\sqrt{324}=18\;\; cm

Deci putem afla perimetrul

P_{\Delta ABC}=AB+AC+BC=18\sqrt{3}+18

b) Ca sa aflam aria unui triunghi dreptunghic stim ca

A_{\Delta ABC}=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{2}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{18\cdot 6\sqrt{3}}{2}=\frac{9\cdot 6\sqrt{3}}{1}=54\sqrt{3}\;\; cm^{2}

c) Acum ca sa aflam cat la suta din aria triunghiului ADC reprezinta ABD, mai intai afla aria ficarui triunghi, dar mai intai inatimea triunghiului ABC

h=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{ipotenuza}=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{18\cdot 6\sqrt{3}}{12\sqrt{3}}=\frac{18\cdot 1}{2}=9

si cu inaltimea triunghiului ABC o stim AD=9, stim ca avem doua triunghiuri dreotunghice deci putem aplica formula

A_{\Delta ABD}=\frac{BD\cdot AD}{2}=\frac{3\sqrt{3}\cdot 9}{2}

Ca sa aflam BD stim ca \cos B=\frac{1}{2}, deci masura unghiului B este de 60 de grade si unghiul C este de 30 de grade.

Stim ca triunghiul ABM este isoscel cu un unghi de 60 de grade deci echilateral, deci si masura unghiului AMB este de 60 e grade

Astel in triunghiul

ADM stim ca m\left(\widehat{D}\right)=90^{0}

Deci obtinem ca

m\left(\widehat{DAM}\right)=30^{0}

deci in triunghiul ADM dreptunghic in D, aplicam teorema 30-60-90

DM=\frac{1}{2}\cdot AM=\frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{3}=3\sqrt{3}

Astfel BD=BM-DM=6\sqrt{3}-3\sqrt{3}=3\sqrt{3}

Iar DC=DM+MC=3\sqrt{3}+6\sqrt{3}=9\sqrt{3}\;\; cm

deci acum putem afla aria fiecarui triunghi

A_{\Delta ABD}=\frac{BD\cdot AD}{2}=\frac{3\sqrt{3}\cdot 9}{2}=\frac{27\sqrt{3}}{2}

Dar si

A_{\Delta ADC}=\frac{AD\cdot DC}{2}=\frac{9\cdot 9\sqrt{3}}{2}=\frac{81\sqrt{3}}{2}

Iar acum trebuie sa aflam

p\% A_{\Delta ABD}=A_{\Delta ADC}\Rightarrow p\% \frac{27\sqrt{3}}{2}=\frac{81\sqrt{3}}{2}\Rightarrow p\%27\sqrt{3}=81\sqrt{3}\Rightarrow p\%=\frac{81\sqrt{3}}{27\sqrt{3}}=\frac{3}{1}\Rightarrow p=3\%

Aria unui triunghi si aria triunghiului dreptunghic

Despre aria unui triunghi am mai invatat si in clasa a VI-a, dar intuitiv, astazi o sa vorbim atat despre aria unui triunghi cat si despre aria patrulaterelor pe care le-am invatat pana acum, adica paralelogramul, dreptunghiul, rombul, patratul dar si trapezul.

Incepem cu aria triunghiului

Aria triunghiului este egala cu semiprodusul dintre lungimea unei laturi si inaltimea corespunzatoare ei.
A_{\Delta ABC}=\frac{b\cdot h}{2}
unde b este baza sau lungimea unei laturi si
h este inaltimea corespunzatoare ei

Daca avem un triunghi dreptunghic atunci aria sa este egala cu semiprodusul celor doua catete.
cum  calculam aria unui triunghi  dreptunghic
 A_{\Delta ABC}=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{2}=\frac{AB\cdot AC}{2}
Iar daca aplicam si prima formula in triunghiului dreptunghic obtinem ca
 A_{\Delta ABC}=\frac{b\cdot h}{2}=\frac{BC\cdot AD}{2}
pentru ca stim inca din clasa a VI-a ca intr-un triunghi dreptunghic putem duce trei inaltimi doua dintre ele coincid cu cele doua catete, iar cea de-a treia inaltime este AD cea corespunzatoare iptotenuzei, in cazul nostru BC.
Egaland cele doua relatii (cele doua formule ale ariei ) de mai sus obtinem
 \frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{BC\cdot AD}{2}\Rightarrow AD=\frac{AB\cdot AC}{BC}

Deci putem spun ca lungimea inaltimii intr-un triunghi dreptunghic este egala cu raportul dintre produsul celor doua catete si ipotenuza.
Dar aria unui triunghi putem sa o calculam si cu alte formule:

-Formula lui Heron
 A_{\Delta}=\sqrt{p\left(p-a\right)\cdot\left(p-b\right)\left(p-c\right)}
unde  p=\frac{a+b+c}{2} este semiperimetrul tringhiului, iar a este o latura a triunghiului, b cealalta latura, iar c cea de-a treia latura.

Problema

1) In triungiul ABC  m\left(\prec B\right)=30^{0}, BC=12\;\; cm si AB= 8 cm. Calculati:
a) aria triughilui ABC
b) distanta e la C la latura AB
Solutie
problma rezolvata distanta de la un punct la o dreapta
Ca sa aflam aria triunghiului ducem inaltimea din varful unghiului A, deci fie AD perpendiculara pe BC
cum duucem inaltimea ca sa aflam aria unui triunghi
Cum AD este perpendiculra pe BC rezulta ca m\left(\prec ADB\right)=90^{0} , stim ca  m\left(\prec ABD\right)=30^{0} si deci  m\left(\prec BAD\right)=60^{0}
Si astfel in triunghiul ABD, dreptunghic in D aplicam Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0}, deci
 AD=\frac{AB}{2}\Rightarrow AD=\frac{8}{4}\Rightarrow AD=4\;\; cm.
Acum aplicam formula pentru arie
A_{\Delta ABC}=\frac{b\cdot h}{2}=\frac{BC\cdot AD}{2}=\frac{12\cdot 4}{2}=\frac{12\cdot 2}{1}=24\;\; cm^{2}.

b) Ca sa aflam distanta de la un punct la o dreapta trebuie sa stim ca este piciorul perpendicularei de la punctul respectiv la dreapta respectiva, in cazul nostru:
distanta de la un punct lao dreapta
 d\left(C, AB\right)=CE
Dupa ce am aflat care este segmentul trebuie sa aflam lungimea segmentului.
Daca stim deja aria triunghiului, ne gandim ca sa aplicam din nou formula pentru aria triunghiului daca consideram baza AB si inaltimea CE, care este si lungimea segmentului nostru. Deci
 A_{\Delta CBA}=\frac{AB\cdot CE}{2}=\frac{8\cdot CE}{2}
Egalam cu aria pe care am gasit-o la primul subpunct, adica rezultatul care l-am gasit si obtinem:
 \frac{8\cdot CE}{2}= 24\Rightarrow CE=\frac{24\cdot 2}{8}\Rightarrow CE=\frac{3\cdot 2}{1}\Rightarrow CE=6 cm

Ca sa ne simplificam calculele am simplificat pe unde am putut.