Reprezentarea grafica a functiilor

In reprezentarea grafica a functiilor se recomanda parcurgerea urmatoarelor etape:

1.  Se determina domeniul maxim de definitie al functiei si intersectia graficului functiei cu axele de coordonate.

Astfel pentru functiile irationale de forma \sqrt{f\left(x\right)} si pune conditia ca f\left(x\right)\geq 0

– pentru functia logaritimica de forma \log_{a}{f\left(x\right)} se pune conditia ca f\left(x\right)>0

– pentru functiile rationale de forma \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}, g\left(x\right)\neq 0

2. Intersectia graficului functiei cu axele de coordonate:

Intersectia graficului functiei cu axa Ox se  obtine punand conditia y=0\Rightarrow f\left(x\right)=0, adica rezolvam ecuatia de mai sus

Intersectia graficului functie cu axa Oy se obtine punand conditia ca x=0 si calculand f\left(0\right)=y

3. Determinarea semnului functie si eventualele simetrii

– Daca f\left(x\right)\geq 0, graficul functie este situat deasupra axei Ox in semiplanul pozitiv

– Daca f\left(x\right)\leq 0, atunci graficul functie este situat sub axa Ox semiplanul negativ.

O functie are simetrii daca este para sau impara, o functie para este simetrica fata axa Oy, iar o functie impara este simetrica fata de origine,

4. Asimptotele functiei

Calculam limitele la capetele domeniului de definitie, studiem continuitatea si determinam eventualele asimptote daca exista.

5. Studiul functiei folosind prima derivata

Cu ajutorul derivatei intai determinam intervalele de monotonie si punctelede extrem

6. Studiul functiilor folosind derivata a doua

Cu ajutorul derivatei a doua eterminam intervalele de convexitate sau concavitate si punctele de inflexiune

7.  Tabelul de variatie al functiei

Intocmim tabelul de variatie cu datele e lapunctele precendente

8. Trasam graficul functiei

Exemplu:

1) Sa se reprezinte grafic functiile:

a) f:D\rightarrow R, f\left(x\right)=x^{3}-3x^{2}-4

In cazul functiilor polinomiale domeniul maxim de definitie este R, astfel D=R

G_{f}\cap Ox

Calculam

f\left(x\right)=0\Rightarrow x^{3}-3x^{2}-4=0\Rightarrow
x^{3}-2x^{2}-x^{2}-4=0\Rightarrow

x^{2}\left(x-2\right)-\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0\Rightarrow
\left(x-2\right)\left(x^{2}-x-2\right)=0

Deci gasim ca

x-2=0\Rightarrow x=2

Sau

x^{2}-x-2=0\Rightarrow
\Delta =\left(-1\right)^{2}-4\cdot 1\cdot\left(-2\right)=1+8=9

Calculam acum

x_{1}=\frac{1+\sqrt{9}}{2\cdot 1}=\frac{1+3}{2}=\frac{4}{2}=2

Deci ecuatia are doua solutii reale

Dar mai avem si

x_{2}=\frac{1-3}{2}=\frac{-2}{2}=-1

Deci avem

G_{f}\cap Ox=\left\{A\left(2,0\right); B\left(-1,0\right)\right\}

Calculam acum G_{f}\cap Oy, astfel calculam

f\left(0\right)=0^{3}-3\cdot 0^{2}+4=4

Astfel avem C\left(0, 4\right)

Determinam eventualele asimptote, astfel calculam

\lim\limits_{x\to-\infty}{x^{3}-3x^{2}+4}=-\infty

La fel si pentru

\lim\limits_{x\to+\infty}{x^{3}-3x^{2}+4}=+\infty

Deci functia nu are asimptote spre + si -infinit.

Studiul functiei folosind derivata intai:

f^{'}\left(x\right)=\left(x^{3}-3x^{2}+4\right)^{'}=3x^{2}-6x

Acum rezolvam

f^{'}\left(x\right)=0\Rightarrow 3x^{2}-6x=0\Rightarrow 3x\left(x-2\right)=0

Astfel obtinem fie

x=0

Sau

x-2=0\Rightarrow x=2

Acum intocmim tabelul de variatie pentru derivata I, astfel avem

intervalele de monotonie ale unei functii
Studiul functiei folosind derivata a doua:

Astfel avem
f^{''}\left(x\right)=\left(3x^{2}-6x\right)^{'}=6x-6
Rezolvam acum
f^{''}\left(x\right)=0\Rightarrow 6x-6=0\Rightarrow 6x=6\Rightarrow x=1
Intocmim tabelul de variatie pentru derivata a doua
concavitatea si convexitatea functiilor
Acum trasam graficul functiei
graficul unei functii