Calculul de distante si unghiuri

Prezentam rezolvarea unei probleme in care calculam distanta de la un punct la un plan, dar si distanta de la un punct la o dreapta, cat si masura unghiului diedru a doua plane.

Pe planul triunghiului dreptunghic ABC (m(<A)=90) cu AB =30 cm ,AC= 40cm, se ridica perpendiculara AP cu AP=8\sqrt{3}

Aflati:

a) distanta de la punctul P la dreapta BC
b) distanta de la punctul A la planul (PBC)
c)masura unghiului dietru format de planele (PBC)si(ABC)

Demonstratie:
Stim din ipoteza ca AP\perp (ABC), astfel in triunghiul dreptunghic ABC construim inaltimea AD, adica AD\perp BC
Stim ca AD\subset (ABC), deci cu Teorema celor trei perpendiculare rezulta ca si PD\perp BC si astfel distanta de la P la BC este PD d(P, BC)=PD

Dar mai intai aflam AD, stim ca triunghiul ABC este dreptunghic, deci mai intai aflam ipotenuza, adica BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}\Rightarrow BC^{2}=30^{2}+40^{2}\Rightarrow BC=\sqrt{900+1600}\Rightarrow BC=\sqrt{2500}=50\;\; cm

Acum cu Teorema inaltimii in triunghiul dreptunghic ABC obtinem:
AD=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{30\cdot 40}{50}=\frac{30\cdot 4}{5}=\frac{6\cdot 4}{1}=24\;\; cm
Observati ca mai sus am efectuat cateva simplificari pentru a ne usura calculele.
Acum ca stim si AD si AP, in triunghiul dreptunghic PAB, aplicam Teorema lui Pitagora PD^{2}=PA^{2}+AD^{2}\Rightarrow PD=\left(8\sqrt{3}\right)^{2}+24^{2}\Rightarrow PD=\sqrt{64\cdot 3+576}\Rightarrow PD=\sqrt{192+576}=\sqrt{768}=16\sqrt{3}\;\; cm
cum aplicam Teorema celor trei perpendiculare

b) distanta de la punctul A la planul (PBC)

Observam ca PA\perp AB, Dar si PA\perp AC, stim si ca AD\perp BC
Astfel construim perpendiculara din A pe pe PD, astfel fie AE\perp PD, dar observam ca PD\subset(PBC), deci cu Reciproca celor trei perpendiculare obtinem ca AE\perp (PBC)

Deci avem ca d(A\left(PBC\right))=AE
Astfel stim ca triunghiul PAD este dreptunghic in A, deci cu Teorema inaltimii obtinem AE=\frac{PA\cdot AD}{PD}=\frac{8\sqrt{3}\cdot 24}{16\sqrt{3}}^{(16\sqrt{3}}=\frac{1\cdot 24}{2}=12\;\; cm
cum calculam distanta de la un punct la un plan

c)masura unghiului diedru format de planele (PBC)si(ABC)
Calculam mai intai intersectia celor doua plane:
(PBC)\cap (ABC)=BC
Astfel construim perpendicularele din P pe BC si din A pe BC
Astfel fie PD\perp BC
Si Ad\perp BC
Astfel avem unghiul m\left(\widehat{(PBC),(ABC)}\right)=m\left(\widehat{PD, AD}\right)=m\left(\widehat{PDA}\right)=

Cum triunghiul PAD este dreptunghic aplicam functiile trigonemetrice pentru a afla masura unghiului.
Astfel \sin\widehat{PDA}=\frac{PA}{PD}=\frac{8\sqrt{3}}{16\sqrt{3}}^{(8\sqrt{3}}=\frac{1}{2}=30^{0}
Deci masura unghiului dintre cele doua plane este de 30 de grade.

cum calculam masura unghiului a doua plane

Probleme rezolvate cu Teorema impartirii cu rest si cu Teorema celor Trei perpendiculare

Inca cateva probleme rezolvate cu teorema impartirii cu rest si teorema celor trei perpendiculare, rezolvate special pentru vizitatorii nostri.

1. Suma a 2 numere este 568. Aflati numerele stiind ca restul impartirii celui mai mare la cel mai mic este 28 si catul 14.

Rezolvare.

Notam cu x primul numar si y cel de-al doilea numar.

Astfel formam ecuatiile: x+y=568 suma a doua numere este 568, cu x>y

x:y, c=14\;\; si r=28

Deci cu teorema impartirii cu rest obtinem: x=14\cdot y+28=14y+28 cu r<I, adica r<y

Astfel daca inlocuim in prima ecuatie obtinem: 14y+28+y=568\Rightarrow 15y=568-28\Rightarrow 15y=540\Rightarrow y=540:15\Rightarrow y=36

Si x=14\cdot y+28=14\cdot 36+28=504+28=532

Deci cel mai mare numar este: 532 si cel mai mic numar este 36.

2. Determinati fractia a supra b, stiind ca este egala cu7 supra 5 si ca a ori b =1260

Solutie

Stim ca: \frac{a}{b}=\frac{7}{5}

Si a\cdot b=1260

Astfel avem \frac{a}{b}=\frac{7}{5}\Rightarrow a=\frac{7b}{5}

Astfel daca inlocuim in cea de-a doua ecuatie obtinem:

a\cdot b=1260\Rightarrow \frac{7b}{5}\cdot b=1260\Rightarrow \frac{7}{5}\cdot b^{2}=1260\Rightarrow b^{2}=1260:\frac{7}{5}\Rightarrow b^{2}=1260\cdot\frac{5}{7}^{(7}\Rightarrow b^{2}=180\cdot\frac{5}{1}\Rightarrow b^{2}=900\Rightarrow b^{2}=30^{2}\Rightarrow b=30

Iar a\cdot b=1260\Rightarrow a\cdot 30=1260\Rightarrow a=1260:30\Rightarrow a=42

Astfel am obtinut a=42 si b=30.

3. In centrul O al unui dreptunghi se ridica perpendiculara pe planul dreptunghiului, pe care se ia punctul M. Laturile dreptunghiului au lungimile de 10 cm, respectiv 18 cm, iar OM=12 cm. Calculati distantele de la punctul M la laturile dreptunghiului.

cum calculam distanta de la un punct la o dreapta
Stim ca MO\perp {ABCD}
Deci MO\perp (ABC)
Si ON\perp BC

Mai mult, ON, BC\subset\left(ABC\right)
Cu teorema celor trei perpendiculare obtinem MN\perp BC si astfel am obtinut ca d(M, BC)=MN
Astfel triunghiul MON este dreptunghic in O.
Mai stim si ca, O este centrul dreptunghiului, adica O este mijlocul lui AC, dar si ON||DC, deci ON este linia mijlocie in triunghiul ABC astfel obtinem:
ON=\frac{DC}{2}=\frac{18}{2}=9\;\; cm astfel in triunghiul MON, obtinem: MN^{2}=MO^{2}+ON^{2}\Rightarrow MN^{2}=12^{2}+9^{2}\Rightarrow MN=\sqrt{144+81}\Rightarrow MN=\sqrt{225}=15 cm

Stim si ca (ADC)
OP\perp AD
Si cu Teorema celor trei perpendiculare: MP\perp AD
La fel ca mai sus OP este linie mijlocie in triunghiul ADC si cu teorema lui Pitagora obinem MP=15 cm.
cum calculam distanta de la un punct la o dreapta
Si astfel obtinem ca d\left(M,AD\right)=MP=MN=15 cm
Pentru a afla d(M,AB)
Stim ca MO\perp(ABCD)\Rightarrow MO\perp(ABC)
Construim OQ\perp AB

Stim si ca OQ, AB\subset(ABC)
Deci cu Teorema celor trei perpendiculare obtinem:
MQ\perp AB
Si astfel obtinem: d(M, AB)=MQ
Stim ca O mijlocul lui AC si OQ||BC, deci cu Teorema liniei mijlocii obtinem OQ linie mijlocie OQ=\frac{AB}{2}=\frac{10}{2}=5\;\; cm

Deci in triunghiul MOQ aplicam Teorema lui Pitagora
MQ^{2}=MO^{2}+OQ^{2}\Rightarrow MQ^{2}=12^{2}+5^{2}\Rightarrow MO=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\;\; cm
La fel obtinem si pentru d(M, DC)=MQ.

cum calculam distanta de la un punct la o dreapta

Problema rezolvata cu Teorema celor trei perpendiculare cand baza este dreptunghi

Prezentam o Problema rezolvata cu Teorema celor trei perpendiculare cand baza este dreptunghi

Pe planul dreptunghiului ABCD, AC intersecteaza BD in punctul O, AB = 32 cm si BC = 18 cm, se ridica perpendiculara OM, cu OM = 12 cm.
Aflati distantele de la punctul M la laturile dreptunghiului.

Ipoteza

ABCD dreptunghi

AC\cap BD=\left\{O\right\}

AB=32 cm BC=18 cm

OM\perp\left(ABCD\right)

Concluzie:

d\left(M, AB\right)=?    \\d\left(M, BC\right)=?    \\d\left(M, CD\right)=?    \\d\left(M, AD\right)=?

Demonstratie:

Cum aplicam Teorema celor trei perpendiculare

 

 

 

 

 

 

 

Observati ca mai intai aflam distanta de la puncul M la dreapta AB, iar apoi la dreapta CD, deoarece dupa cum o sa vedeti distanta de la punctul M la cele doua drepte are aceeasi lungime.

Stim din ipoteza ca :

MO\perp \left(ABC\right)

de asemenea

OQ\perp AB    \\OQ, AB\subset\left(ABC\right)

OQ este perpendicular pe AB deoarece triunghiul AOB e isoscel, iar intr-un triunghi isoscel mediana, mediatoatrea, inaltimea corespunzatoare bazei coincid, deci OQ perpendicular pe AB, iar cu Teorema celor trei perpendiculare gasim si ca :

MQ\perp AB, deci distant de la punctul M la dreapta AB este dreapta MQ.

Din ipoteza stim ca MO= 12 cm, dar ca sa aplicam Teorema lui Pitagora trebuie sa aflam OQ, astfel observam ca OQ=AD=BC=18 cm, dar mai observam si ca O este mijlocul segmentului RQ, deci QO=OR=\frac{OQ}{2}=\frac{18}{2}=9 cm.

Acum aplicam Teorema lui Pitagora in triunghiul Dreptunghic MOQ si gasim :

MQ^{2}=MO^{2}+OQ^{2}\Rightarrow =MQ^{2}=144+81\Rightarrow MQ=\sqrt{225}\Rightarrow MQ=15\;\; cm

Iar daca calculam acum distanta de la M la dreapta CD observam ca :

MO\perp\left(BCD\right)    \\OR\perp DC    \\OR, DC\subset\left(BCD\right)\Rightarrow MR\perp DC

Acum stim  MO din ipoteza OR l-am aflat mai sus trebuie acum sa aflam MR, astfel aplicam Teorema lui Pitagora in triunghiul dreptunghic MOR si obtinem:

MR^{2}=MO^{2}+OR^{2}\Rightarrow MR^{2}=12^{2}+9^{2}\Rightarrow MR^{2}=144+81\Rightarrow MR=\sqrt{225}\Rightarrow MR=15 cm

Deci d\left(m, AB\right)=d\left(M, CD\right)=15 cm

Acum trebuie sa aflam distanta de la M la AD si distanta de la M la BC care de asemenea au aceeasi lungime

 

Distanta de la un punct la o dreapta

 

 

 

 

 

Acum stim ca

MO\perp BD    \\OE\perp AD,    OE, AD\subset\left(ABD\right)\Rightarrow ME\perp AD

Astfel cu teorema celor Trei perpendiculare gasim ca d\left(M, AD\right)=ME

Din ipoteza stim MO, acum aflam pe OE

Observati ca am format segmentul EF, unde O este mijlocul sau , mai observam ca EF=AB=CD=32 cm, cum stim ca O este mijlocul segmentului putem afla OE=OF=\frac{EF}{2}=\frac{32}{2}=16 cm

Acum dupa ce am aflat si EO putem aplica Teorema lui Pitagora in triunghiul dreptunghic MOE si astfel obtinem :

ME^{2}=MO^{2}+OE^{2}\Rightarrow ME^{2}=12^{2}+16^{2}\Rightarrow ME=\sqrt{144+256}\Rightarrow ME=\sqrt{400}\Rightarrow ME=20 cm.

Acum ca sa aflam d\left(M, BC\right)=MF la fel aplicam Teorema celor trei perpendiculare, astfel

MO\perp BCD    \\OF\perp BC    \\OF, BC\subset\left(BCD\right)\Rightarrow MF\perp BC

Deci am aflat distanta de la punctul M la dreapta BC este MF, acum stiind cele doua catete aplicam Teorema lui Pitagora

MF^{2}=MO^{2}+OF^{2}\Rightarrow MF^{2}=12^{2}+16^{2}\Rightarrow MF^{2}=144+256\Rightarrow MF=\sqrt{400}=20

Deci distanta de la d\left(M, AD\right)=d\left(M, BC\right)=20 cm.