Calculul de distante si unghiuri

Prezentam rezolvarea unei probleme in care calculam distanta de la un punct la un plan, dar si distanta de la un punct la o dreapta, cat si masura unghiului diedru a doua plane.

Pe planul triunghiului dreptunghic ABC (m(<A)=90) cu AB =30 cm ,AC= 40cm, se ridica perpendiculara AP cu AP=8\sqrt{3}

Aflati:

a) distanta de la punctul P la dreapta BC
b) distanta de la punctul A la planul (PBC)
c)masura unghiului dietru format de planele (PBC)si(ABC)

Demonstratie:
Stim din ipoteza ca AP\perp (ABC), astfel in triunghiul dreptunghic ABC construim inaltimea AD, adica AD\perp BC
Stim ca AD\subset (ABC), deci cu Teorema celor trei perpendiculare rezulta ca si PD\perp BC si astfel distanta de la P la BC este PD d(P, BC)=PD

Dar mai intai aflam AD, stim ca triunghiul ABC este dreptunghic, deci mai intai aflam ipotenuza, adica BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}\Rightarrow BC^{2}=30^{2}+40^{2}\Rightarrow BC=\sqrt{900+1600}\Rightarrow BC=\sqrt{2500}=50\;\; cm

Acum cu Teorema inaltimii in triunghiul dreptunghic ABC obtinem:
AD=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{30\cdot 40}{50}=\frac{30\cdot 4}{5}=\frac{6\cdot 4}{1}=24\;\; cm
Observati ca mai sus am efectuat cateva simplificari pentru a ne usura calculele.
Acum ca stim si AD si AP, in triunghiul dreptunghic PAB, aplicam Teorema lui Pitagora PD^{2}=PA^{2}+AD^{2}\Rightarrow PD=\left(8\sqrt{3}\right)^{2}+24^{2}\Rightarrow PD=\sqrt{64\cdot 3+576}\Rightarrow PD=\sqrt{192+576}=\sqrt{768}=16\sqrt{3}\;\; cm
cum aplicam Teorema celor trei perpendiculare

b) distanta de la punctul A la planul (PBC)

Observam ca PA\perp AB, Dar si PA\perp AC, stim si ca AD\perp BC
Astfel construim perpendiculara din A pe pe PD, astfel fie AE\perp PD, dar observam ca PD\subset(PBC), deci cu Reciproca celor trei perpendiculare obtinem ca AE\perp (PBC)

Deci avem ca d(A\left(PBC\right))=AE
Astfel stim ca triunghiul PAD este dreptunghic in A, deci cu Teorema inaltimii obtinem AE=\frac{PA\cdot AD}{PD}=\frac{8\sqrt{3}\cdot 24}{16\sqrt{3}}^{(16\sqrt{3}}=\frac{1\cdot 24}{2}=12\;\; cm
cum calculam distanta de la un punct la un plan

c)masura unghiului diedru format de planele (PBC)si(ABC)
Calculam mai intai intersectia celor doua plane:
(PBC)\cap (ABC)=BC
Astfel construim perpendicularele din P pe BC si din A pe BC
Astfel fie PD\perp BC
Si Ad\perp BC
Astfel avem unghiul m\left(\widehat{(PBC),(ABC)}\right)=m\left(\widehat{PD, AD}\right)=m\left(\widehat{PDA}\right)=

Cum triunghiul PAD este dreptunghic aplicam functiile trigonemetrice pentru a afla masura unghiului.
Astfel \sin\widehat{PDA}=\frac{PA}{PD}=\frac{8\sqrt{3}}{16\sqrt{3}}^{(8\sqrt{3}}=\frac{1}{2}=30^{0}
Deci masura unghiului dintre cele doua plane este de 30 de grade.

cum calculam masura unghiului a doua plane

Cum calculam distanta de la un punct la un plan

Prezentam doua probleme rezolvate in care ne reamintim cum folosim cazurile de congruenta, cum aratam ca doua triunghiuri sunt congruente. Dar trebuie sa ne mai reamintim si cum sa calculam distanta de la un punct la un plan cat si cum sa calculam aria unui triunghi oarecare.

In ABC este triunghiul echilateral cu latura de lungime 6 cm. fie M un punct, m nu apartine planului (ABC),astfel incat MA=MB=MC=10 cm iar MO perpendicular planului(ABC) ,O apartine planului (ABC).

A) Demonstrati ca triunghiul \Delta MOA\equiv\Delta MOB\equiv\Delta MOC

B) Calculati distanta de la punctul M la punctul planului (ABC)

Demonstratie:
congruneta triunghiurilor

a). Stim ca
[MA]\equiv[MC] (din ipoteza)
[MO]\equiv[MO] (latura comuna)
Stim ca AP si AQ sunt mediane, mediatoare si inaltimi, deci stim ca AP este inaltime in triunghiul echilateral ABC si stim ca inaltimea intr-un triunghi echilateral este AP=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}

Dar stim ca AP este si mediana si cum stim ca punctul de intersectie al medianelor este situat la 2/3 fata de varf si 1/3 fata de baza.
Deci obtinem: AO=\frac{2}{3}\cdot AO=\frac{2}{3}\cdot 3\sqrt{3}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}\;\; cm
La fel calculam si CO=\frac{2}{3}\cdot CP=\frac{2}{3}\cdot AP=\frac{2}{3}\cdot 3\sqrt{3}=2\sqrt{3}\;\; cm
Deoarece medianele intr-un triunghi echilateral sunt congrunete.
Deci obtinem si ca [AO]\equiv[CO]
Deci cu cazul de congruenta L.L.L \Delta MOA\equiv\Delta MOC
Tot din ipoteza stim si ca [MA]\equiv[MC]\equiv[MB] MO latura comuna

Dar si [AO]\equiv[BO]\equiv[CO]
Si cu cazul de congruneta L.L.L \Delta MOA\equiv\Delta MOC\equiv\Delta MOB

b) Distanta de la d\left(M,(ABC)\right)=MO, deci distanta de la un punct la un plan este piciorul perpendicularei din punctul dat pe plan.
Iar in cazul triunghiului echilateral distanta de la un punct la un plan este punctul de intersectie al inaltimilor triunghiului echilateral, adica MO, dar din ipoteza stim si ca MO\perp (ABC)
Acum sa aflam MO

In triunghiul MAO aplicam Teorema lui Pitagora m\left(\widehat{MOA}\right)=90^{0}
MO^{2}=MA^{2}-AO^{2}\Rightarrow MO^{2}=10^{2}-\left(2\sqrt{3}\right)^{2}\Rightarrow MO^{2}=100-12\Rightarrow MO=\sqrt{88}\Rightarrow MO=2\sqrt{22}\;\; cm
distanta e la un punct la un plan

2. In triunghiul ABC, AB= 10 cm, BC = 16 cm, inaltimea AD= 8 cm. Calculati aria triunghiului.
cum calculam aria unui triunghi oarecare
Stim de la definitia ariei unui triunghi oarecare ca A_{\Delta ABC}=\frac{b\cdot h}{2}=\frac{BC\cdot AD}{2}=\frac{16\cdot 8}{2}=\frac{128}{2}=64\;\; cm^{2}
Iar cei care nu va mai reamintiti click aici.

Unghiul unei drepte cu un plan Lungimea proiectiei unui segment

Dupa ce am invatat despre unghiul a doua drepte in spatiu si despre proiectia unei drepte pe un plan, dar si proiectia unui punct pe un plan, astazi o sa vorbim despre unghiul unei drepte cu un plan, am amintit si de proiectia unei drepte pe un plan pentru ca o sa ne ajute sa intelegem cum calculam unghiul unei drepte cu un plan.

Def: Unghiul unei drepte cu  un plan este unghiul format de dreapta cu proiectia ei pe plan (in cazul in care dreapta nu este perpendiculara pe plan si nici paralela cu el).cum aflam unghiul unei drepte cu un plan

m\left(\prec\left(d, \alpha\right)\right)=m\left(\prec\left(d, d'\right)\right)=u^{0}.

Obs: Daca dreapta este perpendiculara pe  plan, atunci masura  unghiul format de dreapta cu proiectia ei pe plan este de 90^{0}.

Daca dreapta este paralela cu planul, atunci masura unghiul format de dreapta cu proiectia ei pe plan este de 0^{0}.

Masura  unghiului  unei drepte cu un plan este cuprins intre 0^{0} si 90^{0}.

Unghiul unei drepte cu un plan are masura cea mai mica dintre unghiurile  format de dreapta cu  toate dreptele planului respectiv.

Prezentam un exemplu pentru a intelege cea ce am spus mai sus:

1) Se da cubul ABCDA’B’C’D’  cu muchia AB=8 cm. Aflati:

a) m\left(\prec \left(CC',\left(ABC\right)\right)\right)

b) m\left(\prec \left(AD',\left(ABC\right)\right)\right)

c)m\left(\prec \left(BC',\left(ADD'\right)\right)\right)

d) sinusul unghiului format de dreapta AC’ cu planul (A’B’C’)

e) distanta de la B’ la dreapta AC

f) tangenta unghiului formata de dreapta AB’ cu planul (BDD’)

g) masura unghiului format de dreaptele BC’ si CD’

Dem:

Unghiul unei drepte cu un plan

 

 

a) Astfel calculam mai intai pr_{ABC} CC'

Astfel mai intai calculam:

pr_{ABC} C=C

Dar si

pr_{ABC}C'=B

m\left(\prec \left(CC',\left(ABC\right)\right)\right)=m\left(\prec CC',BC\right)=m\left(\prec BCC'\right)=90^{0}

deoarece pr_{\left(ABC\right)} CC'=BC, dar si din faptul ca dreapta CC’ este perpendiculara pe planul (ABC), daca dreapta este perpendiculara pe plan, atunci masura unghiului este de 90 de grade.

b) m\left(\prec \left(AD',\left(ABC\right)\right)\right)

unghiul format de dreapta AD' cu planul (ABC)

 

 

 

 

 

Calculam mai intai pr_{ABC} AD'

Astfel mai intai calculam pr_{(ABC)} A=A

Dar si pr_{(ABC)} D'=D

Astfel obtinem pr_{(ABC)} AD'=AD

si astfel obtinem:

m\left(\prec \left(AD',\left(ABC\right)\right)\right)=m\left(\prec\left(AD', AD\right)\right)=m\left(\prec D'AD\right)=45^{0}.

c) m\left(\prec \left(BC',\left(ADD'\right)\right)\right)=0^{0}

unghiul unei drepte cu un plan

 

Observam ca BC’|| AD’, stim ca daca o dreapta este paralela cu o dreapta dintr-un plan, atunci dreapta este paralela cu planul deci BC’||(ADD’) si dupa cum am spus si la observatii daca dreapta este paralela cu planul atunci masura unghiului este de 0 grade.

 

d) sinusul unghiului format de dreapta AC’ cu planul (A’B’C’)

sinusul unghiului dintre o dreapta si un plan

 

\sin \left(\prec AC', \left(A'B'C'\right)\right)=\sin\left(\prec AC', A'C'\right)=\sin\prec AC'A'=\frac{cat.opusa}{ipotenuza}=\frac{AA'}{AC'}=\frac{8}{8\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.

 

e) distanta de la B’ la dreapta AC

d\left(B', AC\right)=AO

distanta de la un punct la o dreapta

 

Stim ca distanta de la un punct la o dreapta este piciorul perpendicularei din punctul dat pe dreapta  BO perpendiculara pe drapta AC, astfel  stim ca BO=\frac{l\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2} deoarece este jumatate din diagonala patratului BB’=8 si astfel in triunghiul BB’ O  dreptunghic in B’BO aplicam teorema lui Pitagora:

\Rightarrow B'O^{2}=96\Rightarrow B'O=\sqrt{96}\Rightarrow B'O=4\sqrt{6}.
f)  tangenta unghiului formata de dreapta AB’ cu planul (BDD’)

\tan\left(\prec AB', \left(BDD'\right)\right)

tangenta uei drepte cu un plan

pr_{\left(BDD'\right)}AB'=B'O

\tan\left(\prec AB', \left(BDD'\right)\right)=\tan\prec\left(AB' B'O\right)=\tan\prec AB'O=\frac{cat.opusa}{cat. alaturata}

 

Stim ca AO=\frac{l\sqrt{2}}{2}=\frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}

 

 

si  AB'=l\sqrt{2}=8\sqrt{2},

 

deoarece AB diagonala in patratul ABA’B’, stim ca B'O=4\sqrt{6}

Iar daca aplicam reciproca lui Pitagora observam ca triunghiul AOB’ este dreptunghic in O

unghiul unei drepte cu un plan

 

\tan\prec AB'O=\frac{AO}{B'O}=\frac{4\sqrt{2}}{4\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.
Lungimea proiectiei unui segment
Teorema Lungimea proiectiei unui segment pe un plan este egala cu produsul dintre lungimea segmentului si cosinusul unghiului dintre dreapta suport a segmentului si dreapta respectiva.
cum calculam lungimea proiectiei unui segment

 

A'B'=AB\cdot\cos u

Pozitiile relative a doua plane, distanta dintre doua plane

Dupa ce am invatat pozitia relativa a doua drepte si despre pozitia relativa a unei drepte fata de un plan, astazi o sa vorbim despre pozitiile relative a doua plane.
Astfel, doua plane pot avea una din cele trei pozitii relative:

plane confundate, daca au in comun toate cele trei puncte necoliniare
conditia ca doua plane  sa fie confundate

plane paralele, daca nu au in comun niciun punct
conditia ca doua plan sa fie paralel

plane secante, daca au o dreapta in comun sau un punct in comun si conform axiomei A_{4} au si o dreapta in comun

conditia ca doua plane sa aiba o dreapta in comun
Exemplu:

Fie cubul ABDA’B’C’D’. Stabiliti pozitia relativa a urmatoarelor drepte:
a) \left(BCB'\right) cu (ABC)
b) \left(A'B'C'\right) cu (ABC)
c) (ADC) cu (ABC)

CUBUL
a) planul (BCB’) cu planul (ABC) are o dreapta in comun, adica dreapta BC, deci cele doua plane se intersecteaza dupa o dreapta BC, scriem \left(ABC\right)\cap \left(BCB'\right)= BC

b) Planul (ABC) nu are niciun punct in comun si nici o dreapta in comun cu planul (A’B’C’), deci planele sunt paralele, scriem \left(ABC\right)||\left(A'B'C'\right)

c) planul (ADC) se confunda cu planul (ABC) si scriem (ABC)=(A’B’C’)

Def: Prin distanta dintre doua plane paralele intelegem distanta de la un punct al unuia dintre ele la celalalt plan.

Problema:
Considerand cubul ABCDA’B’C’D’ cu B'C=10\sqrt{2} cm.

a) Aflati distanta dintre planele (ABC) si (A’B’C’)
b) Calculati aria triunghiului BDC’
Solutie
cum calculam distanta dintre doua plane
d\left(\left(ABC\right);\left(A'B'C'\right)\right)=d\left(A,\left(A'B'C'\right)\right)=AA'=10.
Deoarece BC’ este diagonala in patratul BCB’C’ rezulta ca $l\sqrt{2}=10\sqrt{2}\Rightarrow l=10 $, diagonala intr-un patrat este d_{patrat}=l\sqrt{2}, am obtinut astfel distanta dintre cele doua plane, care este distanta de la un punct la un plan, conform definitiei de mai sus, fiind cel mai scurt drum, adica AA’.

b) ce triunghi obtinem din diagonalele fetelor laterale ale unui cub
Observam ca triunghiul este format din diagonalele fetelor laterale ale cubului.

Stim ca fetele laterale sunt patrate deci BD=BC'=DC'=10\sqrt{2}, deci triunghiul este echilateral si aria sa este A_{\Delta BDC'}=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{100\cdot 2\sqrt{3}}{4}=\frac{25\cdot 2\sqrt{3}}{1}=50\sqrt{3}\;\; cm^{2}.