Primitive si integrala nedefinita a unei functii

Dupa ce am invatat sa derivam dar si ce rol joaca derivata am trecut de clasa a XI a si a venit vremea sa stim sa gasim primitive dar si sa calculam integrala/integralele nedefinita/ nedefinite a unei functii/ unor functii.

Cei care nu ati inteles notiunea de derivata va va fi foarte greu sa intelegeti notiunea de primitiva, deoarece ele se afla in stransa legatura.

Astfel incepem prin a da definitia primitivei.

Definitie: Fie I\subset R un interval si f:I\rightarrow R, F:I\rightarrow R. Functia F se numeste primitiva a lui f daca:

– F este derivabila

F^{'}\left(x\right)=f\left(x\right), \forall x\in I.

Spunem ca o functie f admite primitive pe intervalul I daca exista o primitiva a functiei f.

Exemplu:

Fie functia f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=x^{3}.Functia F:R\rightarrow R, F\left(x\right)=\frac{x^{4}}{4} este o primitiva a functiei f, deoarece F este derivabila  si F^{'}=f

Teorema: Fie I un interval si functia f:I\rightarrow R care admite primitive. Daca F_{1}, F_{2}:I\rightarrow R sunt doua primitive ale functie f, atunci exista c\in R astfel incat F_{1}\left(x\right)=F_{2}\left(x\right)+c,\forall x\in I.

Defintie: Fie I un interval si o functie f:I\rightarrow R care admite primitive.  Multimea tuturor primitivelor functiei f se noteaza \int f\left(x\right) dx si se citeste integrala nedefinita a functiei f.

Asadar \int f\left(x\right) dx=\left\{F:I\rightarrow R| F\;\; este\;\; primitiva\;\; a \;\; functie \;\; f\right\}

Observatii !

Exista functii care nu admit primitive.

Orice functie continua pe un interval admite primitive pe acel interval.

Toate functiile elementare (polinomiale, radicali, exponentiale, logaritmice, trigonometrice) sunt continue pe un interval din domeniul lor de defintie, deci admit primitive.

Reciproca enuntului de mai sus nu este adevarata. Adica exista functii  care admit primitive dar nu sunt continue.

Aplicatii:

1. Calculati urmatorarele integrale:

a)\int \frac{x^{3}-x^{2}-x-2}{x^{2}} dx, x>0

Ca sa calculam integrala de mai sus, mai intai rescriem functia:

\int\left(\frac{x^{3}}{x^{2}}-\frac{x^{2}}{x^{2}}+\frac{x}{x^{2}}-\frac{2}{x^{2}}\right)dx

Adica \int\frac{x^{3}}{x^{2}}dx-\int \frac{x^{2}}{x^{2}}dx-\int\frac{x}{x^{2}}dx-\int \frac{2}{x^{2}}dx

Observam ca putem sa efectuam la fiecare fractie anumite simplificari si integrala devine:

\int x dx-\int 1 dx-\int\frac{1}{x}dx-2\cdot \int\frac{1}{x^{2}}dx=

Acum ca sa calculam integralele obtinute folosim formula:

\int x^{n} dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C

Dar si formula \int\frac{1}{x}dx=\ln |x|+C, unde C este o constanta

\frac{x^{2}}{2}-x-\ln x-2\cdot\int x^{-2}dx=    \frac{x^{2}}{2}-x-\ln x-2\cdot\frac{x^{-2+1}}{-2+1}=\frac{x^{2}}{2}-x-\ln x-2\cdot\frac{x^{-1}}{-1}=\frac{x^{2}}{2}-x-\ln x+2\cdot\frac{1}{x}+C=\frac{x^{2}}{2}-x-\ln x+\frac{2}{x}+C

 

b) \int\frac{x^{2}}{x^{2}-1}dx, x<-1

Ca sa calculam integrala de mai sus scadem la numarator cifra 1 si adunam la fel cifra 1., astfel integrala devine \int\frac{x^{2}-1+1}{x^{2}-1}dx=\int\left(\frac{x^{2}-1}{x^{2}-1}+\frac{1}{x^{2}-1}\right)dx=\int\frac{x^{2}-1}{x^{2}-1}dx+\int\frac{1}{x^{2}-1}dx=\int 1dx+\int\frac{1}{x^{2}-1}dx

Iar ca sa calculam integrala nedefinta folosim formulele uzulae:

\int dx=x+C

Dar si \int\frac{dx}{x^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2\cdot a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C astfel integrala devine:

x+\frac{1}{2\cdot 1}\ln|\frac{x-1}{x+1}|+C=x+\frac{1}{2}\ln|\frac{x-1}{x+1}|+C

unde a=1.

\int\frac{1}{4x^{2}-9} dx, x>\frac{3}{2}

Ca sa calculam integrala nedefintia de mai sus

 

Mai intai rescriem numitorul 4x^{2}-9=2^{2}x^{2}-3^{2}=\left(2x\right)^{2}-3^{2}

Astfel integrala devine:

\int\frac{1}{\left(2x\right)^{2}-3^{2}} dx

Dar si  folosim un din formulele uzuale, adica stim ca \int\frac{1}{x^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2\cdot a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|

unde in cazul de mai sus x=2x si a=3

Astfel obtinem:

\int\frac{1}{\left(2x\right)^{2}-3^{2}} dx=\frac{1}{2\cdot 3}\ln|\frac{2x-3}{2x+3}|=\frac{1}{6}\ln|\frac{2x-3}{2x+3}|+C

Asadar important la primitive si integrala nedefintia a unei functii sa invatam integralele uzuale, dar si cum sa le calculam cu ajutorul anumitor artificii.

 

Integrale definite

Dupa cum bine stiti rezolvarea integralelor joaca un rol importat pentru examenul de Bacalaureat si din acest motiv propunem sa ne reamintim si sa si invatam metode de rezolvare integrale definite.

Stiti ca integralele definite putem sa le rezolvam cu ajutorul urmatoarelor metode:
-metoda directa (cu tabloul si proprietatile integrale nedefinite)
metoda de integrare prin parti
metoda de schimbare a variabilelor

Dar daca si integralele sunt definite folosim si formula lui Leibniz-Newton.
Incepem prin a rezolva cateva exercitii si in acel moment spunem ce metoda am folosit astfel:

1) Folosind formula lui Leibniz-Newton, sa se calculeze:
a)\int_{1}{2}\left(x^{2}-3x+2\right)dx

Observam ca integrala de mai sus putem sa o calculam cu metoda directa, adica cu una din formulele din tablou \int x^{n}=\frac{x^{n+1}}{n+1}
Astfel obtinem:

\int^{2}_{1}\left(x^{2}-3x+2\right)dx=\left(\int^{2}_{1} x^{2}-\int^{2}_{1} 3x+\int^{2}_{1} 2=\frac{x^{2+1}}{2+1}-3\frac{x^{1+1}}{1+1}+2x\right)^{2}_{1}=\left(\frac{x^{3}}{3}-3\frac{x^{2}}{2}+2x\right)^{2}_{1}=\frac{2^{3}}{3}-\frac{1^{3}}{3}-3\left(\frac{2^{2}}{2}-\frac{1^{2}}{2}\right)+2\cdot2-2\cdot 1=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}-3\cdot\frac{4}{2}+3\cdot\frac{1}{2}+4-2=\frac{8-1}{3}-\frac{12}{2}+\frac{3}{2}+2=\frac{7}{3}-\frac{6}{1}+\frac{3}{2}+2=\frac{7}{3}+\frac{3}{2}-4=\frac{2\cdot 7+3\cdot 3-6\cdot 4}{6}=\frac{14+9-24}{6}=\frac{-1}{6}=-\frac{1}{6}.

Dupa ce am calculat integrala cu metoda directa am aplicat formula lui Leibniz-Newton adica:

Teorema: Fie f:\left[a,b\right]\rightarrow R continua si F:\left[a,b\right]\rightarrow R este o primitiva a lui f atunci:

\int^{b}_{a}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right) (formula lui Leibniz- Newton).

Deci ca sa aplicam formula lui Leibniz-Newton mai intai am gasit o primitiva  a functiei de mai sus, iar dupa ce am gasit-o am aplicat formula.

b) \int^{2}_{1}\sqrt[3]{x}dx

Determinam o primitiva a functiei f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}. Avem

\int \sqrt[3]{x}=\int x^{\frac{1}{3}}=\frac{x^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1}=\frac{x^{\frac{1+3}{3}}}{\frac{1+3}{3}}=\frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}}+C, deci o primitiva este:

F\left(x\right)=\frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}}

Deci \int\sqrt[3]{x}dx=\left(\frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}}\right)^{2}_{1}

=\frac{2^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}}-\frac{1^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}}=

\frac{\sqrt[3]{2^{4}}}{\frac{4}{3}} -\frac{\sqrt[3]{1^{4}}}{\frac{4}{3}}=    \sqrt[3]{2^{4}}\cdot\frac{3}{4}-\sqrt[3]{1^{4}}\cdot\frac{3}{4}=    2\sqrt[3]{2}\cdot\frac{3}{4}-\frac{3}{4}\cdot 1=\frac{6\sqrt[3]{2}-3}{4}

Ca sa rezolvam integrala de mai sus am scris functia radical sub forma de functie exponentiala, iar apoi am aplicat metoda directa (cu tabloul si proprietatile nedefinite) si astfel am gasit o primitiva iar apoi am aplicat formula Leibniz- Newton.Iar restul este calcul algebric (aducerea la acelasi numitor, transformarea functei exponentiale in functia radical).

c)\int^{1}_{0}\left(x+2\right)\cdot e^{x}=
Determinam o primitiva a functiei
f\left(x\right)=\left(x+2\right)\cdot e^{x}. Avem:
\int\left(x+2\right)\cdot e^{x}dx=\int x\cdot e^{x}+\int 2\cdot e^{x}=\int x\cdot\left(e^{x}\right)^{'}+\int2\cdot e^{x}=x\cdot e^{x}-\int e^{x}\cdot x^{'}+2\int e^{x}=x\cdot e^{x}-\int e^{x}+2\int e^{x}=x\cdot e^{x}+\int e^{x}=x\cdot e^{x}+e^{x}.
Deci \int^{1}_{0}\left(x+2\right)\cdot e^{x}=\left(\left(x+1\right)\cdot e^{x}\right)^{1}_{0}=\left(1+1\right)\cdot e^{1}-\left(0+1\right)\cdot e^{0}=2\cdot e-1\cdot 1=2\cdot e-1=2e-1

Ca sa rezolvam integrala de mai sus am gasit prima data o primitiva a acestei functii astfel prima data am folosit distributivitatea inmultirii fata de adunare si astfel am obtinut doua integrale pe care le-am rezolvat . Prima cu ajutorul metodei integrarii prin parti iar cea de-a doua integrala cu ajutorul metodei directe si apoi am aplicat formula Leibniz-Newton.
Metoda integrarii prin parti:

Teorema: Presupunem ca functiile f,g:\left[a,b\right]\rightarrow R sunt derivabile cu derivatele f'g':\left[a,b\right]\rightarrow continue atunci:

\int^{b}_{a}f\left(x\right)\cdot g'\left(x\right)dx=f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)-\int^{b}_{a}f'\left(x\right)\cdot g\left(x\right)dx