Teza clasa a VIII model Semestrul I

                                                Lucrare scrisa la matematica pe semestrul I

Nume:
Prenume:

Subiectul I

1. Rezultatul calculului \left(2\sqrt{2}-1\right)^{2}+2\sqrt{8} este……

2. Daca multimea A=\left\{x\in N^{*}||\frac{2x-1}{3}|< 5\right\}, atunci cel mai mare numar natural din multimea A este…..

3. Media geometrica a numerelor  a=\frac{2}{\sqrt{3}+1}+3-\sqrt{3} si b=\frac{2}{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}}+\left(2+\sqrt{2}\right)^{2} este egala cu ….

4. Scris sub forma de fractie ordinara ireductibila, numarul 0,08(3) este egal cu …

5. Rezultatul calculului 3\sqrt{48}-4\sqrt{12} este egal cu ….

6. Cubul ABCDA’B’C’D’ are muchia de lungime egala cu 8 cm.

a)  Determinati masura unghiului dintre dreptele AC si A’D’, m\left(\widehat{B'C, DC'}\right), precum si m\left(\widehat{AB',\left(ABC\right)}\right), \sin\left(\widehat{BD',\left(ABC\right)}\right)

b) Distanta de la punctul A’ la dreapta BC’

c) Lungimea diagonalei cubului

Subiectul II

1.a) Calculati \frac{20}{\sqrt{12}-\sqrt{2}}-\sqrt{6}\left(2\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)-|\sqrt{2}-2|

b)  Aratati ca numarul x=\left(\frac{2}{\sqrt{20}+3\sqrt{2}}\right)-|3\sqrt{2}-2\sqrt{5}|+\sqrt{\left(-4\right)^{2}} este este patrat perfect.

2. Fie E\left(x\right)=\left(x-1-\frac{x^{2}-1}{x+2}\right):\frac{x-1}{x+2}

a) Determinati valorile lui x pentru care expresia este bine definita

b) Aduceti expresia la forma cea mai simpla

c) Determinati valorile intregi a, pentru care \frac{6}{x+1}\cdot E(a) este numar intreg

3. Consideram tetraedrul ABCD de varf A, cu lungimea lui AB=8 cm

a) Calculati lungimea proiectiei segmentului AB pe planul (BCD)

b) Calculati distanta de la A la CD

c) Calculati distanta  de la A la planul (BCD)

d) Determinati sinusul unghiului dintre dreapta AB si planul (BCD)

Solutie:

1. Ca sa aflam rezultatul calculului folosim formulele de calcul prescurtat ar si scoaterea factorilor e sub radicali:

\left(2\sqrt{2}-1\right)^{2}+2\sqrt{8}=\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-2\cdot 2\sqrt{2}\cdot 1+1^{2}+2\cdot 2\sqrt{2}=8-4\sqrt{2}+1+4\sqrt{2}=9

Deci rezultatul calculului este 9.

2. Ca sa aflam cel mai mare element al multimii, mai intai aflam carui interval apartine elementul x

|\frac{2x-1}{3}|<5\Rightarrow -5<\frac{2x-1}{3}<5|\cdot 3\Rightarrow -15\cdot 3<2x-1<15|+1\Rightarrow -15+1<2x-1+1<15+1\Rightarrow -14<2x<16|:2\Rightarrow -7<x<8

Ca sa rezolvam moului de mai sus am tinut cont de regula

|x|<a\Rightarrow -a<x<a

Iar la inegalitatea gasita, am inmultit cu 3 pentru a obtine o inegalitate cu numitorul 1, apoi am adunat cifra 1 pentru toata inegalitatea si nu in ultimul rand am impartit printr-un 2 si astfel am obtinut intervalul x\in \left(-7, 8\right), adica multimea, dar frara elementul 0, deoarece

x\in N^{*}

A=\left\{1,2, 3, 4, 5, 6, 7\right\}

Deci cel mai mare element al multimii este 7.

3. Ca sa calculam media geometrica a numerelor mai intai calculam numerele:

a=\frac{2}{\sqrt{3}+1}+3-\sqrt{3}=\frac{2\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}+3-\sqrt{3}=\frac{2\left(\sqrt{3}-1\right)}{3-1}+3-\sqrt{3}=\sqrt{3}-1+3-\sqrt{3}=2

Acum calculam b

b=\frac{2}{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}}+\left(2+\sqrt{2}\right)^{2}=\frac{2}{2+2\cdot \sqrt{2}\cdot 1+1^{2}}+4+2\cdot 2\cdot \sqrt{2}+2=\frac{2}{2+2\sqrt{2}+1}+6+4\sqrt{2}=\frac{2}{3+2\sqrt{2}}+6+4\sqrt{2}=\frac{2\left(3-\sqrt{2}\right)}{3^{2}-\left(2\sqrt{2}\right)^{2}}+6+4\sqrt{2}=\frac{6-4\sqrt{2}}{9-8}+6+4\sqrt{2}=6-4\sqrt{2}+6+4\sqrt{2}=6+6=12

Observati ca in cazul exercitiului de mai sus am folosit formulele de calcul prescurtat \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}, dar si rationalizarea  numitorilor de forma \sqrt{a}+b.

Iar media geometrica a numarelor este:

M_{g}=\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{2\cdot 12}=\sqrt{2\cdot 2^{2}\cdot 3}=2\sqrt{6}

Observati ca am scos factorii de sub radicali.

4. Cum transformam fractia zecimala in fractie ordinara 0,08(3)=\frac{83-8}{900}=\frac{75}{900}^{(15}=\frac{75:15}{900:15}=\frac{5}{60}^{(5}=\frac{5:5}{60:5}=\frac{1}{12}

Si am obtinut o fractie ordinara ireductibila.

5. Ca sa aflam rezultatul calculului mai intai scoatem factorii de sub radicali

3\sqrt{48}-4\sqrt{12}=3\sqrt{2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 3}-4\sqrt{2^{2}\cdot 3}=3\cdot 2\cdot 2\sqrt{3}-4\cdot 2\sqrt{3}=12\sqrt{3}-8\sqrt{2}=4\sqrt{3}

 

Exercitii recapitulative clasa a 8 a rezolvate Partea 1

Am primit spre rezolvare un test pentru clasa a 8 a.  O sa il rezolvam in doua articole deoarece este destul de mult de scris.

Primul exercitiu fiind foarte simplu nu l-am mai rezolvat. Daca totusi aveti neclaritati cu privire la el sau la alt punct din test, lasati-ne un mesaj pe pagina de Facebook.

Partea 1. De la punctele 2 la 9.

probleme rezolvate pentru clasa a viii a
2. Daca -6 este solutie a ecuatiei, atunci ecuatia devine:

2\left(-6+3a\right)+5=11

Iar acum rezolvam ecuatia pe care am obtinut-o

2\left(-6+3a\right)=11-5\Rightarrow 2\left(-6+3a\right)=6|:2\Rightarrow -6+3a=3\Rightarrow 3a=3+6\Rightarrow 3a=9\Rightarrow a=3

Deci am obtinut a=3

Iar varianta corecta este B.

3. In cazul acestui exercitiu avem doua expresii, iar pentru a-l aduce la forma simplificata, folosim formulele de calcul prescurtat:

\left(-x+3\right)^{2}+4\left(x+1\right)=\left(-x\right)^{2}-2\cdot x\cdot 3+3^{2}+4\cdot x+4\cdot 1=    x^{2}-6x+9+4x+4=x^{2}-2x+13

Deci am folosit formula de calcul prescurtat:

\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2}

unde a=x si b=3

Iar raspunsul care l-am gasit este C.

4. Stim ca x+y=2\sqrt{2} si x^{2}+y^{2}=2, iar acum trebuie sa calculam media geometrica a numerelor x si y, cu ajutorul formulei de calcul prescurtat \left(x+y\right)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}

Dar cu informatiile de mai sus obtinem:

\left(2\sqrt{2}\right)^{2}=2^{2}+2\cdot xy\Rightarrow

8=4+2\cdot xy\Rightarrow 2\cdot xy=8-4\Rightarrow 2\cdot xy=4\Rightarrow

xy=4:2\Rightarrow xy=2

Iar media gemoetrica a numerelor x si y este M_{g}=\sqrt{xy}=\sqrt{2}

Deci litera corecta este D.

5. Stim ca triunghiul este dreptunghic, mai stim si ca inaltimea triunghiului este de 12 cm, adica in cazul figurii noastre AD=12 cm, dar mai stim si lungimea proiectiei unei catete pe ipotenuza, adica BD=16 cm

cum aplicam Teorema inaltimii

Astfel din teorema inaltimii obtinem

AD^{2}=BD\cdot DC\Rightarrow 144=16\cdot DC\Rightarrow DC=144:16\Rightarrow DC=9\;\; cm

Iar lungimea ipotenuzei este BC=BD+DC=16+9=25

deci aria triunghiului este A_{ABC}=\frac{baza\cdot h}{2}=\frac{25\cdot 16}{2}=25\cdot 8=150\;\; cm^{2}

Iar raspunsul gasit este D.

6. In cazul acestei probleme stim ca avem un punct exterior unui cerc, iar punctul este situat la o distanta de 40 cm fata de centrul cercului, dar mai stim si raza cercului care este de r=24 cm

Fie B punctul de intersectie intre cerc si dreapta care are un singur punct in comun cu cercul.

Stim din teoremele care le-am invatat in clasa a VII a ca Tangenta la un cerc este perpendiculara pe raza in punctul de tangenta.

Astfel avem ca masura unghiului m\left(\widehat{B}\right)=90^{0}

tangenta la un cerc

Deci in triunghiul ABO aplicam Teorema lui Pitagora

AB^{2}=AO^{2}-OB^{2}\Rightarrow AB^{2}=40^{2}-24^{2}\Rightarrow AB^{2}=1600-576\Rightarrow AB^{2}=1024\Rightarrow AB=\sqrt{1024}=32

deci distanta din punctul a la cerc este de 32 cm, iar raspunsul gasit este B.

7. Stim ca DE||BC, deci putem aplica Teorema fundamentala a asemanarii:

\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}

Iar noi trebuie sa aflam perimetrul triunghiului ADE, stim din ipoteza AD, mai trebuie sa aflam AE si DE

cum aplicam teorema fundamentala a asemanarii

Astfel avem

\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\Rightarrow \frac{12}{36}=\frac{AE}{12}\Rightarrow AE=\frac{12\cdot 12}{36}=\frac{144}{36}=4

Deci AE=4 cm

Acum ca sa aflam DE stim ca

\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}

\Rightarrow \frac{12}{36}=\frac{DE}{30}\Rightarrow DE=\frac{30\cdot 12}{36}\Rightarrow DE=\frac{360}{36}=10

Cum stim si DE, putem afla perimetrul triunghiului

P_{\Delta ADE}=AD+AE+DE=12+4+10=26\;\; cm

Iar raspunsul gasit este C.

8. Stim ca perimetrul unui triunghi isoscel este de 108 cm, iar linia mijlocie paralela cu baza este de 24 cm, iar noi trebuie sa aflam aria triunghiului ADE

Stim ca linia mijlocie intr-un triunghi este paralela cu baza si masoara jumatate din cea de-a treia latura:

adica DE=\frac{1}{2}\cdot BC\Rightarrow 24=\frac{1}{2}\cdot BC\Rightarrow BC=48 cm

Cum stim baza putem sa aflam si cele doua laturi deoarece triunghiul ABC este isoscel, adica P_{\Delta ABC}=AB+AC+BC\Rightarrow 108=AB+AC+48\Rightarrow AB+AC=108-48\Rightarrow AB+AC=60

Dar cum stim ca AB=AC, obtinem

2\cdot AB=60\Rightarrow AB=30 cm=AC

Ca sa aflam aria triunghiului trebuie sa stim inaltimea triunghiului ABC, astfel ducem din A inaltimea perpendiculara pe baza BC

cum calculam linia mijlocie intr-un triunghi
Astfel fie AD\perp BC
Stim ca BC=48 cm , cum AD este inaltime corespunzatoare bazei, rezulta ca AD este si mediana deci BD=DC=24 cm.
Deci in triunghiul ADC, aplicam teorema lui Pitagora:
AD^{2}=AC^{2}-BD^{2}\Rightarrow AD^{2}=30^{2}-24^{2}\Rightarrow AD=\sqrt{900-576}=\sqrt{324}=18
Deci acum ca stim si inaltimea putem afla aria triunghiului
A_{\Delta ABC}=\frac{baza\cdot h}{2}=\frac{BC\cdot AD}{2}=\frac{48\cdot 18}{2}=\frac{24\cdot 18}{1}=432\;\; cm^{2}
Iar raspunsul corec este D.

9. Trebuie sa aflam solutiile unei ecuatii
x\left(x+1\right)\leq\left(x-3\right)^{2}\Rightarrow x^{2}+x\leq x^{2}-2\cdot x\cdot 3+3^{2}\Rightarrow x^{2}+x\leq x^{2}-6x+9\Rightarrow x^{2}-x^{2}+x+6x\leq 9\Rightarrow 7x\leq 9\Rightarrow x\leq\frac{9}{7}
Ca sa rezolvam inecuatia de mai sus in membrul drept am folosit formula de calcul prescurtat \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2}, am trecut apoi necunoscutele in membrul drept si cunoscutele in membrul stang, am efectuat calculele si am gasit solutia ecuatiei.
Deci solutia inecuatiei este:
x\in\left\{0, 1, 2,3 ...\frac{9}{7}\right\} dar noi trebuie sa afla solutia inecuatiei in multimea numerelor naturale este:
x\in\left\{0,1\right\} deci rezultatul gasit este C.