Numere complexe Multimea numerelor complexe

Pana acum stiti ca am discutat despre Multimea numerelor naturale, Multimea numerelor intregi, Multimea numerelor rationale, Multimea numerelor reale .  Acum introducem o noua multime si anume Multimea numerelor complexe.

Multimea numerelor complexe a aparut din nevoia de a rezolva unele ecuatii care pana acum nu au avut rezovare in multimea numerelor pe care noi le stiam pana acum, astfel ecuatia x^{2}+1=0, nu are solutie in multimea numerelor reale. Din acest motiv a aparut nevoia de a extinde notiunea de numar. Aceasta extindere conduce la notiunea de numar complex.

Astfel incepem prin a defini Numerele complexe

Definitie: Un numar complex este o pereche ordonata de numere reale, adica:

C=\left\{\left(a,b\right)|a,b\in R\right\}

Forma algebrica a unui numar complex z=\left(a,b\right) este z=a+ib cu a, b\in R si  i^{2}=-1

Notam :

Re\left(z\right)=a– se numeste partea reala a numarului si daca a=0 z se numeste imaginar

Im\left(z\right)=b– se numeste partea imaginara a numarului si daca b=0 z se numeste real.

Numere complexe conjugate

Definitie: Conjugatul numarului complex z=a+bi este \bar{z}=a-ib

Proprietati:

1. \overline{z}=z\Leftrightarrow z\in R

2. \overline{\overline{z}}=z

3. \overline{z_{1}+z_{2}}=\overline{z_{1}}+\overline{z_{2}}

4. \overline{z_{1}\cdot z_{2}}=\overline{z_{1}}\cdot\overline{z_{2}}

5. \overline{\frac{z_{1}}{z_{2}}}=\frac{\overline{z_{1}}}{\overline{z_{2}}}

Modulul unui numar complex

Definitie: Fie z\in C\;\;\; z=a+ib. Numim  modulul lui z, numarul real pozitiv |z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}

Proprietati:

1. |z|\geq 0

2. |z|=0\Leftrightarrow z=0

3. |z|=|\overline{z}|

4. |z_{1}\cdot z_{2}|=|z_{1}|\cdot |z_{2}|

5. |\frac{z_{1}}{x_{2}}|=\frac{|z_{1}|}{|z_{2}|}

6. z\cdot\overline{z}=|z|^{2}

7. |z_{1}+z_{2}|\leq |z_{1}|+|z_{2}| (inegalitatea triunghiului).

Exercitiu:

1) Sa se calculeze:

a) \frac{1+2i}{2-i}-\frac{3+i}{2+i}=\frac{\left(1+2i\right)\cdot\left(2+i\right)}{2^{2}-i^{2}}-\frac{\left(3+i\right)\cdot\left(2-i\right)}{2^{2}-i^{2}}=\frac{2+i+4i+2i^{2}}{4-\left(-1\right)}-\frac{6-3i+2i-i^{2}}{4-\left(-1\right)}=\frac{2+5i+2\cdot\left(-1\right)}{5}-\frac{6-i-\left(-1\right)}{5}=\frac{2+5i-2}{5}-\frac{6-i+1}{5}=\frac{5i}{5}-\frac{7-i}{5}=\frac{5i-7+i}{5}=\frac{6i-7}{5}

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus trebuie sa tinem cont de regula de impartire a doua numere complexe, astfel doua numere complexe se impart aplificand cu conjugatul numitorului, iar pentru  numitor ridicam fiecare numar la puterea a doua . De exemplu la prima fractie obtinem numitorul 5, prin ridicarea fiecarui numar la puterea a doua, iar apoi la numarator am efectuat inmultirea numerelor complexe si astfel am obtinut rezultatul de mai sus.

b) i^{6}+i^{16}+i^{26}+i^{36}+i^{46}

Solutie:

Noi stim ca i^{2}=-1, iar de la acest numar putem calcula celelalte numere, astfel :

i^{6}=\left(i^{2}\right)^{3}=\left(-1\right)^{3}=-1

i^{16}=\left(i^{2}\right)^{8}=\left(-1\right)^{8}=1, deoarece orice numar negativ ridicat la o putere para ne da un numar pozitiv.

i^{26}=\left(i^{2}\right)^{13}=\left(-1\right)^{13}=-1, deoarece orice numar negativ ridicat la o putere impara ne da un numar negativ.

i^{36}=\left(i^{2}\right)^{18}=\left(-1\right)^{18}=1, obtinem 1, datorita aceluiasi argument ca mai sus.

i^{46}=\left(i^{2}\right)^{23}=\left(-1\right)^{23}=-1.

Astfel acum daca calculam obtinem:

i^{6}+i^{16}+i^{26}+i^{36}+i^{46}=-1+1-1+1-1=-1

 

c) \left[i\left(2-i\right)\right]^{2}=i^{2}\left(2-i\right)^{2}=-1\left(2^{2}-2\cdot 2\cdot i+i^{2}\right)=-1\left(4-4i-\left(-1\right)\right)=-1\left(4-4i-1\right)=-4+4i+1=4i-3

Observati ca la acest exercitiu am aplicat prima data regulile de calcul cu puteri, adica regula \left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}, iar apoi formula de calcul prescurtat \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}, iar restul este doar calcul.