Cum comparam doua numere

Prezentam cateva exercitii in care evidentiem modalitati in care comparam doua numere.

1. Comparati numerele:
a=3^{2000}-3^{1999}-3^{1997} si b=2^{2002}-2^{2001}+2^{1997}.
Solutie:

Ca sa comparam cele doua numere mai intai aducem numerele la forma cea simpla:
Astfel, pentru numarul a dam factor comun numarul 3^{1997}
a=3^{1997}\left(3^{3}-3^{2}-3^{0}\right)

Acum efectuam operatiile in paranteza rotunda, adica ridicarea la putere si scaderea.
a=3^{1997}\left(27-9-1\right)
Si obtinem rezultatul 3^{1997}\cdot 17
Iar in cazul numarului b, dam factor comun numarul 2^{1997}
b=2^{1997}\left(2^{5}-2^{4}+2^{0}\right)

Acum, ca si mai sus, efectuam operatiile din paranteza rotunda, adica ridicarea la putere dar si diferentele b=2^{1997}\left(32-16+1\right)
Si obtinem: 2^{1997}\cdot 17
Deci obtinem numerele: a=3^{1997}\cdot 17 si b=2^{1997}\cdot 17
Acum pentru a compara cele doua numere ne folosim de regulile de comparare a puterilor pe care le-am  invatat.

Astfel  observam ca in ambele numere avem numarul 17 deci acum trebuie sa comparam numerele cu puteri, astfel stim ca  avem acelasi exponent, deci comparam bazele si cum 3>2 obtinem si ca a>b.

b) a=5\sqrt{2} si b=4\sqrt{3}

Observam ca avem doua numere irationale, deci pentru a compara cele doua numere introducem mai intai factorii sub radicali si obtinem:

a=5\sqrt{2}=\sqrt{5^{2}\cdot 2}=\sqrt{25\cdot 2}=\sqrt{50}

Dar si la b obtinemn b=4\sqrt{3}=\sqrt{4^{2}\cdot 3}=\sqrt{16\cdot 3}=\sqrt{48}.

Acum comparand numerele de sub radicali obtinem:

50>48, deci obtinem si ca \sqrt{50}>\sqrt{48}\Rightarrow 5\sqrt{2}>4\sqrt{3}

O alta modalitate de comparare a celor doua numere este sa calculam fiecare numar in parte, astfel avem ca:

a=5\sqrt{2}=5\cdot 1,41=7,04

Deoarece stim ca \sqrt{2}\approx 1, 41

Iar b=4\sqrt{3}=4\cdot 1, 73=6,92

Deoarece stim ca \sqrt{3}\approx 1,73

Deci obtinem ca 1,73<6,92, adica obtinem si ca 5\sqrt{2}>4\sqrt{3}\Rightarrow a>b.

c) a=16^{15} cu b=8^{20}

Ca sa comparam cele doua numere folosim regulile de comparare a puterilor astfel pentru a compara cele doua numere, fie aducem numerele la aceiasi baza, fie la acelasi exponent, pentru a le putea compara.

Astfel a=\left(2^{4}\right)^{15}=2^{4\cdot 15}=2^{60}

Observati ca folosim si regulile de calcul cu puteri.

Acum pentru b, incercam sa-l aducem la aceiasi baza ca si numarul a

a=\left(2^{3}\right)^{20}=2^{3\cdot 20}=2^{60}

Astfel, cum avem si aceiasi baza si acelasi exponent, obtinem ca cele doua numere sunt egale, adica a=b.

Reguli de calcul cu radicali Scoaterea factorilor de sub radical Compararea radicalilor

Dupa ce am invatat cum sa extragem radicali, adica algoritmul de extragere a radicalilor si am aflat si radacina patrata a unui numar natural , astazi o sa invatam  reguli de calcul cu radicali astfel:

Produsul radicalilor

Daca a\geq 0 si b\geq 0, atunci \sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}.

Consecinta \left(\sqrt{a}\right)^{n}=\sqrt{a^{n}}, n\in N.

Stim deja ca \left(\sqrt{a}\right)^{2}=a pentru a\in R.

Foarte importat sa stiti ca \sqrt{a^{2}+b^{2}}\neq \sqrt{a^{2}}+\sqrt{^{2}}, deoarece majoritatea dintre voi faceti aceasta greseala.

Catul radicalilor

Oricare ar fi a\geq 0, b>0, \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}.

Scoaterea factorilor de sub radical

Daca n\geq 0, n=a^{2}b, atunci \sqrt{n}=\sqrt{a^{2}\cdot b}=|a|\sqrt{b}, daca a>0 si -a\sqrt{b} daca a<0

Stiati inca de la radacina patrata a unui numar natural ca \sqrt{a^{2}}=|a| si cu produsul radicalilor am obtinut scoaterea factorilor de sub radical. Mai pe intelesul vostru scoatem de sub radical doar numerele, cifrele care au puterea a doua.

Exp:

\sqrt{648}

cum scoatem factori de sub radical

 

Dupa ce am descompus numarul in produs de numere prime, o sa scriem radicalul astfel

\sqrt{648}=\sqrt{2\cdot 2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 3^{2}}=2\cdot 3\cdot 3\sqrt{2}=18\sqrt{2}

Introducerea factorilor sub radical

Daca b\geq 0, atunci a\sqrt{b}=\sqrt{a^{2}b} daca a>0 si

-a\sqrt{b}=-\sqrt{a^{2}b} daca a<0

Exemplu:

2\sqrt{2}=\sqrt{2^{2}\cdot 2}=\sqrt{4\cdot 2}=\sqrt{8}\\    -5\sqrt{3}=-\sqrt{5^{2}\cdot 3}=-\sqrt{25\cdot 3}=-\sqrt{75}

Dupa cum bine observati introducerea factorilor sub radical este opusul scoaterea factorilor de sub radical, putem sa ne verificam daca am scos factori bine de sub radicali prin introducerea lor sub radicali astfel incat sa obtinem acelasi rezultat.

Exercitiu:

Comparati numerele:

a) a=7\sqrt{15} si b=15\sqrt{7}

Ca sa comparam cele doua numere mai usor introducem factorii sub radicali astfel obtinem:

a=\sqrt{7^{2}\cdot 15}=\sqrt{49\cdot 15}=\sqrt{735}

b=\sqrt{15^{2}\cdot 7}=\sqrt{225\cdot 7}=\sqrt{1575}

Observam ca 753<1575, deci si \sqrt{735}<\sqrt{1575}

b) a=19 si b=6\sqrt{10}

Ca sa comparam aceste doua numere observam ca numarul a este natural, iar numarul b este numar irational si astfel scriem numarul 19 astfel :

a= 19=\sqrt{19^{2}}=\sqrt{361}

b=\sqrt{6^{2}\cdot 10}=\sqrt{36\cdot 10}=\sqrt{360}

La numarul b am introdus  intregii in fractii asa cum am invatat si astfel obtinem radical din 360 si radical din 361.

Deci a>b.

2) Calculati

a) \sqrt{\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}}+\sqrt{\left(3-\sqrt{5}\right)^{2}}=|2-\sqrt{5}|+|3-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-2+3-\sqrt{5}=1

Ca sa rezolvam acest exercitiu am folosit faptul ca \sqrt{a^{2}}=|a|, iar dupa cum stiti |a|=a daca a>0 si -a daca a<0, in cazul nostu \sqrt{2-\sqrt{5}}=\sqrt{2-2,23} deci mai mic ca 0 si astfel ca sa calculam , comutam termenii si obtinem \sqrt{5}-2, la cel de-al doilea radical avem \sqrt{3-\sqrt{5}}=\sqrt{3-2, 23} mai mare ca zero, deci nu mai inversam termenii . Apoi termenii asemenea s-au redus iar -2+3=1 ceea ce am obtinut.

Ca sa stim sa introducem factorii de sub radicali, dar si sa scoatem factorii de sub radicali trebuie sa invatam regulile.