Exercitii rezolvate cu factorul comun

Prezentam exercitii pe care le rezolvam dand factorul comun, dar si folosind regulile de calcul cu puteri, cat si proprietatile relatiei de divizibilitate.

1. Calculati suma 8+16+24+32___+4000

Daca dam factor comun numarul 8 suma devine:

8+16+24+32+...+4000=8\left(1+2+3+4+...+500\right)

Acum ca sa calculam suma 1+2+3+…+500

Folosim formula 1+2+3+...+n=\frac{n\cdot\left(n+1\right)}{2}

Deci in cazul sumei noastre avem: 1+2+3+4+...+500=\frac{500\cdot\left(500+1\right)}{2}=250\cdot 501=125250

Dar avem de calculat 8\cdot\left(1+2+3+4+...+500\right)=8\cdot 12520=1002000

2. Aflati x, daca 2a+b=5 si 4ax+2bx+2=22

Ca sa aflam x in relatia a doua dam factor comun pe x , dar si pe 2x si obtinem:

4ax+2bx+2=22\Rightarrow 4ax+2bx=22-2\Rightarrow 4ax+2bx=20\Rightarrow 2x\left(2a+b\right)=20\Rightarrow 2x\cdot 5=20\Rightarrow 10x=20\Rightarrow x=20:10\Rightarrow x=2

3. Aratati ca numarul A=2^{n}\cdot 3^{n}\cdot 5^{n}+2^{n}\cdot 15^{n}\cdot 4+3^{n}\cdot 10^{n}\cdot 2\vdots 17, pentru orice n numar natural

Ca sa aratam ca numarul este divizibil cu 17 folosim regulile de calcul cu puteri, adica stim ca a^{n}\cdot b^{n}=\left(a\cdot b\right)^{n}

Astfeln A=\left(2\cdot 3\cdot 5\right)^{n}+\left(2\cdot 15\right)^{n}\cdot 14+\left(3\cdot 10\right)^{n}\cdot 2

Acum efectuam produsul in parantezele pe care le avem mai sus:

A=30^{n}\cdot 1+30^{n}\cdot 14+30^{n}\cdot 2

Acum daca dam factor comun numarul 30^{n}

Si obtinem: A=30^{n}\left(1+14+2\right)=30^{n}\cdot 17\vdots 17

Si obtinem ca este divizibila cu 17, deoarece cu ajutorul proprietatilor de la divizibilitate stim ca:

Daca b|a si m\in N, atunci b|m\cdot a (daca b divide a, atunci b divide orice multiplu al lui a)

Asadar este foarte important sa cunoastem notiunea de factor comun, dar si proprietatile relatiei de divizibilitate.

Doua exercitii rezolvate cu simplificarea fractiilor

Iarasi venim in ajutorul vostru cu rezolvari simple. Desi am explicat si in alte articole asemanatoare despre simplificarea fractiilor iata ca mai sunt unii dintre voi care nu au inteles. Nu-i nimic, pana la urma trebuie sa invatati sa rezolvati exercitii cu simplificarea fractiilor. Va sfatuim ca inainte sa ne trimiteti un exercitiu spre a fi rezolvat sa rasfoiti prin articolele deja postate pe site pentru a gasi modele asemanatoare deja rezolvate.

Scopul nostru nu e acela de a va rezolva temele. Noi va ajutam explicandu-va ceea ce nu intelegeti pentru ca pe viitor sa stiti sa rezolvati singuri exercitii si probleme de matematica.

Ajutor vreau si eu urgent rezolvarea prin simplificarea fractiei :x3+x2-9x-9 supra x4+4×3+3×2 =?

Banuim ca fractia este \frac{x^{3}+x^{2}-9x-9}{x^{4}+4x^{3}+3x^{2}}=

Ca sa simplificam fractia de mai sus, mai intai, la numarator intre primii doi termeni, termenul x^{2}, iar intre ultimii doi numarul intreg -9, iar la numitor am dat factor comun la termenul x^{2}

\frac{x^{2}\left(x+1\right)-9\left(x+1\right)}{x^{2}\left(x^{2}+4x+3\right)}=

Apoi la fractia obtinuta am dat la numarator factor comun termenul (x+1), si am obtinut \left(x+1\right)\left(x^{2}-9\right), iar la numitor termenii din paranteza, adica 4x, l-am scris ca find 3x+x.

\frac{\left(x+1\right)\left(x^{2}-9\right)}{x^{2}\left(x^{2}+3x+x+3\right)}=

Apoi la numitor intre termenii obtinuti, am dat factor comun intre primi doi termenul x, iar  ultimii doi  i-am scris in paranteza \frac{\left(x+1\right)\left(x^{2}-9\right)}{x^{2}\left[x\cdot\left(x+3\right)+\left(x+3\right)\right]}=

Apoi la numarator pentru expresia x^{2}-9, am folosit formula de calcul prescurtat a^{2}-b^{2}=\left(a+b\right)\left(a-b\right), iar la numitor in paranteza dreapta am dat factor comun expresia (x+3) si am obtinut \left(x+3\right)\left(x+1\right)

\frac{\left(x+1\right)\left(x+3\right)\left(x-3\right)}{x^{2}\cdot\left[\left(x+3\right)\left(x+1\right)\right]}^{(\left(x+3\right)\cdot\left(x+1\right)}=\frac{x-3}{x^{2}}

b) simplificati raportul:x la puterea 2-5/x+radical din 5

\frac{x^{2}-5}{x+\sqrt{5}}=\frac{\left(x-\sqrt{5}\right)\cdot\left(x+\sqrt{5}\right)}{x+\sqrt{5}}^{(\left(x+\sqrt{5}\right)}=x-\sqrt{5}

In cazul exercitiului de mai sus, la numarator, am folosit formula a^{2}-b^{2}=\left(a+b\right)\left(a-b\right) unde a=x si b=\sqrt{5}

iar apoi am simplificat prin x\sqrt{5} si am obtinut rezultatul x-\sqrt{5}

 

Exercitiu rezolvat cu rapoarte algebrice

Aceasta rezolvare este pentru unul dintre voi care a trimis mesaj in care spunea ca este URGENT !!! de rezolvat. Totusi niciun MULTUMESC nu era atasat la finalul mailului. Iata ca a trecut o saptamana si contrar asteptarilor nu l-am lasat de izbeliste si l-am rezolvat. Este ultimul exercitiu pe care il rezolvam fara sa indeplineasca termenii noi de rezolvare pe care ii vedeti scrisi foarte citet in pagina REZOLVARI.

 Si cum astazi incep scolile va uram si noi mult succes si multe note de 10.

Asadar in acest articol prezentam un exercitiu rezolvat cu rapoarte algebrice
cum simplificam un raport

In cadrul acestui exercitiu trebuie sa simplificam o fractie algebrica, dar si sa calculam valoarea unei fractii algebrice.
Asadar avem fractia algebrica de mai jos pe care trebuie sa o simplificam:
\frac{x^{2}+x-6}{x+3}=\frac{x^{2}+3x-2x-6}{x+3}=\frac{x\left(x+3\right)-2\left(x+3\right)}{x+3}=\frac{\left(x+3\right)\cdot\left(x-2\right)}{x+3}^{(\left(x+3\right)}=\frac{1\cdot \left(x-2\right)}{1}=x-2
Ca sa simplificam fractia algebrica de mai sus, observam ca am scris termenul din mijloc, adica x, ca diferenta a doua numere, adica 3x-2x, iar apoi am dat factor comun intre primii doi termeni pe x, iar in ultimi doi cifra 2, iar apoi din rezultatul obtinut am dat factor comun pe (x+3) si apoi am simplificat si am obtinut rezultatul x-2.
b) Acum ca sa calculam valoarea fractiei algebrice pentru x=2,012, ne folosim de rezultatul obtinut de la punctul a.
Deoarece stim ca \frac{x^{2}+x-6}{x+3}=x-2
Adica calculam:
x-2=2,012-2=0,012