Exercitii rezolvate cu ordinea efectuarii operatiilor

Prezentam un exercitiu rezolvat unde folosim ordinea efectuarii operatiilor si folosirea parantezelor.

\left\{0,2+\left[\left(\frac{3}{2}\right)^{2}\cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{3} + \left(-\frac{1}{3}\right) :\left(\frac{2}{3}\right)^{2}\right] :\left(-^{2)}\frac{2}{3}+^{3)}\frac{1}{2}\right)\right\}\cdot\left(\sqrt{-5}\right)^{2}

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus  respectam ordinea efectuarii operatiilor si folosirea parantezelor. Adica mai intai in paranteza dreapta efectuam ridicarea la putere prin folosirea regulilor de calcul cu puteri \left\{\frac{2}{10}^{(2}+\left[\frac{3^{2}}{2^{2}}\cdot\frac{2^{3}}{3^{3}}+\left(-\frac{1}{3}\right):\frac{2^{2}}{3^{2}}\right]:\left(-\frac{2\cdot 2}{6}+\frac{3\cdot 1}{6}\right)\right\}\cdot 5

Ca sa intelegem de ce \left(\sqrt{-5}\right)^{2}=\sqrt{-5}\cdot\sqrt{-5}=+5

Acum efectuam ridicarea la putere si obtinem \left\{\frac{1}{5}+\left[\frac{9}{4}\cdot\frac{8}{27}+\left(-\frac{1}{3}\right):\frac{4}{9}\right]:\left(-\frac{4}{6}+\frac{3}{6}\right)\right\}\cdot 5=    \left\{\frac{1}{5}+\left[\frac{1}{1}\cdot\frac{2}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)\cdot\frac{9}{4}^{(3}\right]:\left(\frac{-4+3}{6}\right)\right\}\cdot 5

Observati ca am mai efectuat anumite simplificari pentru a ne simplifica calculele, acum observam ca ne dispare paranteza rotunda, iar cea dreapta se transforma in rotunda si acolada in dreapta.

\left[\frac{1}{5}+\left(\frac{2}{3}-\frac{3}{4}\right):\left(-\frac{1}{6}\right) \right]\cdot 5=

Acum in prima paranteza aducem la acelasi numitor

Observat ca numitorul comun este 12 si obtinem \left[\frac{1}{5}+\left(\frac{8}{12}-\frac{9}{12}\right)\cdot\left(-\frac{6}{1}\right)\right]\cdot 5

Observati ca mai sus am efectuat si impartirea celor doua paranteze, adica prima fractie inmultita cu inversul celei de-a doua \left[\frac{1}{5}+\left(\frac{8-9}{12}\right)\cdot\left(-\frac{6}{1}\right)\right]\cdot 5=    \left[\frac{1}{5}+\left(-\frac{1}{12}\right)\cdot\left(-\frac{6}{1}^{(6}\right)\right]\cdot 5=    \left[\frac{1}{5}+\left(+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1}\right)\right]\cdot 5=    \left(^{2)}\frac{1}{5}+^{5)}\frac{1}{2}\right)\cdot 5=    \left(\frac{2\cdot 1}{10}+\frac{5\cdot 1}{10}\right)\cdot 5=\left(\frac{2}{10}+\frac{5}{10}\right)\cdot 5=\frac{2+5}{10}\cdot 5=\frac{7}{10}\cdot 5^{(5}=\frac{7}{2}\cdot 1=\frac{7}{2}

Si astfel am obtinut rezultatul \frac{7}{2}

2. Irina are de rezolvat 16 probleme de matematica . Poate sa rezolve in timp de doua zile repartizand un nr egal de probleme in fiecare zi ? Dar in trei zile ? Dar in patru ? Justificati.

Poate sa rezolve cele 16 probleme in doua zile si in fiecare zi acelasi numar de probleme, deoarece 16:2=8

Daca ar fi sa rezolve cele 16 probleme in 3 zile, nu se poate deoarece 16:3=5 rest 1, adica in 2 zile ar rezolva 5 probleme si in a treia zi ar rezolva 6 probleme.

Iar in patru zile poate sa rezolve problemele, adica in fiecare zi ar rezolva cate 4 probleme.

 

Cum comparam doua numere

Prezentam cateva exercitii in care evidentiem modalitati in care comparam doua numere.

1. Comparati numerele:
a=3^{2000}-3^{1999}-3^{1997} si b=2^{2002}-2^{2001}+2^{1997}.
Solutie:

Ca sa comparam cele doua numere mai intai aducem numerele la forma cea simpla:
Astfel, pentru numarul a dam factor comun numarul 3^{1997}
a=3^{1997}\left(3^{3}-3^{2}-3^{0}\right)

Acum efectuam operatiile in paranteza rotunda, adica ridicarea la putere si scaderea.
a=3^{1997}\left(27-9-1\right)
Si obtinem rezultatul 3^{1997}\cdot 17
Iar in cazul numarului b, dam factor comun numarul 2^{1997}
b=2^{1997}\left(2^{5}-2^{4}+2^{0}\right)

Acum, ca si mai sus, efectuam operatiile din paranteza rotunda, adica ridicarea la putere dar si diferentele b=2^{1997}\left(32-16+1\right)
Si obtinem: 2^{1997}\cdot 17
Deci obtinem numerele: a=3^{1997}\cdot 17 si b=2^{1997}\cdot 17
Acum pentru a compara cele doua numere ne folosim de regulile de comparare a puterilor pe care le-am  invatat.

Astfel  observam ca in ambele numere avem numarul 17 deci acum trebuie sa comparam numerele cu puteri, astfel stim ca  avem acelasi exponent, deci comparam bazele si cum 3>2 obtinem si ca a>b.

b) a=5\sqrt{2} si b=4\sqrt{3}

Observam ca avem doua numere irationale, deci pentru a compara cele doua numere introducem mai intai factorii sub radicali si obtinem:

a=5\sqrt{2}=\sqrt{5^{2}\cdot 2}=\sqrt{25\cdot 2}=\sqrt{50}

Dar si la b obtinemn b=4\sqrt{3}=\sqrt{4^{2}\cdot 3}=\sqrt{16\cdot 3}=\sqrt{48}.

Acum comparand numerele de sub radicali obtinem:

50>48, deci obtinem si ca \sqrt{50}>\sqrt{48}\Rightarrow 5\sqrt{2}>4\sqrt{3}

O alta modalitate de comparare a celor doua numere este sa calculam fiecare numar in parte, astfel avem ca:

a=5\sqrt{2}=5\cdot 1,41=7,04

Deoarece stim ca \sqrt{2}\approx 1, 41

Iar b=4\sqrt{3}=4\cdot 1, 73=6,92

Deoarece stim ca \sqrt{3}\approx 1,73

Deci obtinem ca 1,73<6,92, adica obtinem si ca 5\sqrt{2}>4\sqrt{3}\Rightarrow a>b.

c) a=16^{15} cu b=8^{20}

Ca sa comparam cele doua numere folosim regulile de comparare a puterilor astfel pentru a compara cele doua numere, fie aducem numerele la aceiasi baza, fie la acelasi exponent, pentru a le putea compara.

Astfel a=\left(2^{4}\right)^{15}=2^{4\cdot 15}=2^{60}

Observati ca folosim si regulile de calcul cu puteri.

Acum pentru b, incercam sa-l aducem la aceiasi baza ca si numarul a

a=\left(2^{3}\right)^{20}=2^{3\cdot 20}=2^{60}

Astfel, cum avem si aceiasi baza si acelasi exponent, obtinem ca cele doua numere sunt egale, adica a=b.