cand douaunghiuri sunt complementare

Unghiuri adiacente, bisectoarea unui unghi, unghiuri suplementare si unghiuri complementare

Sa intelegem notiunile de unghiuri adiacente, unghiuri suplementare, unghiuri complementare si bisectoarea unui unghi. Incepem prin a defini notiunea de unghiuri adiacente, astfel:

Unghiuri adiacente

Def: Doua unghiuri proprii (unghiurile care nu sunt alungite si nu sunt nici nule)se numesc adiacente daca au o latura comuna si interioarele disjuncte (diferite, adica nu au aceiasi masura).

cand doua unghiuri sunt adiacente

Bisectoarea unui unghi

Def: Se numeste bisectoarea unui unghi, semidreapta cu originea in varful unghiului si care imparte unghiul in doua unghiuri congruente.

cum rezolvam problemele cu bisectoare
Unghiuri suplementare

Def: Doua unghiuri se numesc suplementare daca suma masurilor lor este egala cu 180^{0}.

cand doua unghiuri sunt suplementare
Unghiuri complementare

Def: Doua unghiuri se numesc complementare daca suma masurilor lor este egala cu 90^{0}.
cand douaunghiuri sunt complementare
Problema rezolvata pentru a intelege mai bine !

1) Unghiurile \prec AOB si \prec BOC sunt doua unghiuri adiacente si complementare. Aflati masurile lor stiind ca m\left(\prec AOB\right)=5 \cdot m\left(\prec BOC\right).

Solutie

Stim ca cele doua unghiuri sunt adiacente si complementare, deci scriem m\left(\prec AOB\right)+m\left(\prec BOC\right)= 90^{0}
Mai stim si ca m\left(\prec AOB\right)=5\cdot m\left(\prec BOC\right).
Inlocuind in prima relatie obtinem  5\cdot m\left(\prec BOC\right)+m\left(\prec BOC\right)=90^{0}\Rightarrow 6m\left(\prec BOC\right)=90^{0}\Rightarrow  \\m\left(\prec BOC\right)=90^{0}:6  \\m\left(\prec BOC\right)=15^{0}  \\m\left(\prec AOB\right)=5\cdot 15^{0}  \\m\left(\prec AOB\right)=65^{0}

Ca sa rezolvama problema de mai sus am tinut cont de faptul ca unghiurile sunt complementare, adica au masura de 90 de grade, dupa ce am scris suma celor doua unghiuri, am inlocuit unghiul AOB, cu notiunea pe care are o stim din ipoteza problemei, iar rezultatul obtinut l-am rezolvat ca si cum am fi rezolvat o ecuatie si am obtinut un unghi de 35 de grade si celalalt, adica complementul sau de 65 de grade.

Trapezul clasificare si proprietati

Dupa ce am invatat despre paralelogram si cazurile particulare ale acestuia adica: dreptunghiul, rombul si patratul, astazi o sa definim trapezul, astfel
Def: Patrulaterul cu doua laturi opuse paralele si celelalte doua neparalele se numeste trapez.
Trapezul are doua baze:
-baza mare AB
-baza mica CD
trapez reprezentare

Trapezul la randul lui are doua cazuri particulare:
-trapezul isoscel
-trapezul dreptunghic
Trapezul isoscel este trapezul care are laturile neparalele congruente.
proprietati trapezul isoscel
Trapezul dreptunghic este trapezul care are una din laturile neparalele perpendiculare pe baze.

probleme trapezul dreptunghic

Proprietatile trapezului isoscel:
Teorema. Intr-un trapez isoscel unghiurile alaturate bazei sunt congruente.
Stim de la proprietatile triunghiului isoscel ca unghiurile alaturate bazei sunt congruente, deci se pastreaza proprietatea si la trapezul isoscel, triunghiul isoscel este un trapez isoscel daca ii taiem varful paralel cu baza.
trapezul isoscel
<br /> AB|| CD<br /> AD=BC \Rightarrow<br /> m\left(\prec DAB\right)=m\left(\prec CBA\right)<br />
Este foarte important sa stim si reciproca teoremei deoarece ne ajuta la rezolvarea problemelor
Reciproca. Daca intr-un trapez unghiurile alaturate bazei sunt congruente, atunci trapezul este isoscel.
Teorema. Un trapez este isoscel daca si numai daca diagonalele sunt congruente.
Rezolvam cateva probleme sa vedem cun ne ajuta proprietatile trapezului:
1) Fie trapezul isoscel ABCD AB|| CD, AB>CD, cu CM perpendicular pe AB, M\in \left(AB\right). Daca m\left(\prec ABC\right)=45^{0}, CD=8 cm si CM=12 cm, calculati lungimea bazei mari.
Ip
ABCD trapez isocel
AB||CD, AB>CD, M\in \left(AB\right)
m\left(\prec ABC\right)=45^{0}, CD=8 cm si CM=12 cm
Cl
AB=?
Dem
Din ipoteza problemei avem ca unghiul B are 45 de grade, baza mica este de 8 cm si dreapta perpendiculara are lungimea de 12 cm, stim conform proprietatii enuntate mai sus ca intr-un trapez isoscel unghiurile alaturate bazei sunt congruente, deci si unghiul D are masura de asemenea de 45 de grade. Cum in triunghiul CMB masura unghiului CMB este de 90 de grade deoarece CM este perpendiculara pe AB si unghiul CBM este de 45 de grade, rezulta ca si unghiul BCM are de asemenea masura de 45 de grade, deci triunghiuul BCM este dreptunghic isoscel, cum CM=12 cm de asemenea ca si MB=12.
Ca sa aflam AB trebuie sa aflam AM, astfel ne folosim de o constructie ajutatoare, deci construim DT perpendicular pe AB, astfel si masura unghiului DTA este de 90 de grade.

problema rezolvata trapezul isoscel

Stim ca masura unghiului DAT este de 45 de grade din proprietatile trapezului isoscel si astfel gasim ca si masura unghiului ADT este de asemenea de 45 de grade. Cele doua triunghiuri fiind congruente gasim ca si AT=12 cm. Dupa ce am aflat AT si MB, trebuie sa aflam TM, in trapezul nostru isoscel a aparut o noua figura geometrica adica dreptunghiul DCMT, stim ca CM=DT si DC=TM= 8 cm si astfel AB=AT+TM+MB\Rightarrow AB=12+8+12\Rightarrow AB=32 cm.

Deci, important la problemele cu trapez ,trebuie sa stim proprietatile acestuia si sa ne folosim de anumite constructii ajutatoare.