Simulare Bacalaureat 2014 clasa a XI-a matematica

Prezentam o simulare bacalaureat 2014 clasa a XI-a la matematica subiectul I.
Dupa cum bine stiti inca din calsa a X-a ecuatiile exponentiale joaca un rol important si se pune accent pe ele cand se realizeaza subiectele la bacalaureat.

Subiecte simulare bacalaureat 2014

1) Sa se rezolve ecuatia
3^{x}+2\cdot 3^{x+1}=7
2) Sa se determine toate valorile reale ale lui x pentru care x\left(x-1\right)\leq x+15.
3) Sa se determine valoarile reale ale numarului m, astfel incat reprezentarea grafica a functiei f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=x^{2}-\left(m+1\right)x-m sa fie tangenta la axa Ox.
4) Sa se rezolve ecuatia \lg\left(x+4\right)+\lg\left(2x+3\right)=\lg\left(1-2x\right)
5) Sa se calculeze cosinusul unghiului ascutit format de diagonalele dreptunghiului ABCD stiind ca AB=16 cm, si BC=12 cm.
6) Se considera triunghiul echilateral ABC de centru O. Daca punctul M este mijlocul segmentului BC, sa se determine numarul real astfel incat \vec{AO}=a\cdot\vec{AM}.
Solutie
1) Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus mai intai observam ca ecuatia putem sa o scriem:
3^{x}+2\cdot 3^{x+1}=7\Rightarrow 3^{x}+2\cdot 3^{x}\cdot 3^{1}=7
Astfel daca notam cu
t=3^{x} si astfel ecuatia devine
t+2\cdot t\cdot 3=7\Rightarrow t+6t=7\Rightarrow 7t=7\Rightarrow t=1
Astfel stim ca
3^{x}=1\Rightarrow 3^{x}=3^{0}\Rightarrow x=0
2) Acum sa aflam valorile reale ale lui x care verifica inegalitatea
x\left(x-1\right)\leq x+15\Rightarrow x^{2}-x-x-15\leq 0\rightarrow x^{2}-2x-15\leq 0.
Acum calculam
\Delta=\left(-2\right)^{2}-4\cdot 1\cdot \left(-15\right)=4+60=64
Calculam acum
x_{1}=\frac{-b+\sqrt{64}}{2\cdot a}=\frac{2+8}{2}=\frac{10}{2}=5
x_{2}=\frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot 1}=\frac{2-8}{2}=\frac{-6}{2}=-3
Acum sa efectuam tabelul de variatie
cum stabilim solutia unei inecuatii de gradul II
Deci solutia inecuatiei este intervalul \left[-3, 5\right]
3) Mai intai calculam valoarea minima a functiei V\left(\frac{-b}{2\cdot a}, 0\right)
Astfel avem ca
\frac{-b}{2\cdot a}=\frac{-\left[-\left(m-1\right)\right]}{2\cdot 1}=\frac{m-1}{2}
Astfel avem urmatoarea ecuatie :
x^{2}-\left(m+1\right)\cdot x-m=0
Conditia ca reprezentarea grafica sa fie tangenta la axa OX este ca \Delta =0
Astfel mai intai calculam Delta
\Delta =\left[-\left(m-1\right)\right]^{2}-4\cdot 1\cdot\left(-m\right)=\left(m-1\right)^{2}+4m
Acum avem conditia \Delta =0\Rightarrow\left(m-1\right)^{2}+4m=0
\Rightarrow m^{2}-2m+1+4m=0\Rightarrow m^{2}+2m+1=0\Rightarrow\left(m+1\right)^{2}=0
\Rightarrow m=-1
deci pentru m=-1 reprezentarea grafica este tangenta la axa Ox.
4) Pentru a rezolva ecuatia avem mai intai conditiile:
x+4>0\Rightarrow x>-4\;\; I_{1}=\left(-4, +\infty\right)  \\ 2x+3>0\Rightarrow x>\frac{-3}{2}\;\; I_{2}=\left(-\frac{3}{2}, +\infty\right)  \\1-2x>0\Rightarrow x<\frac{1}{2}\;\; I_{3}=\left(-\infty; \frac{1}{2}\right)
Acum I=I_{1}\cap I_{2}\cap I_{3}=\left(-4;\infty\right)\cap\left(-\frac{3}{2}; \infty\right)\cap\left(-\infty;\frac{1}{2}\right)=\left(-\frac{3}{2};\frac{1}{2}\right)
Astfel ecuatia devine:
\lg\left(x+4\right)\cdot\left(2x+3\right)=\lg\left(1-2x\right)\Rightarrow \left(x+4\right)\cdot\left(2x+3\right)=\left(1-2x\right)\Rightarrow 2x^{2}+3x+8x+12=1-2x\Rightarrow 2x^{2}+13x+11=0
Observam ca am obtinut o ecuatie de gradul II
Calculam
\Delta =13^{2}-4\cdot 2\cdot 11=169-88=81
Calculam acum
x_{1}=\frac{-13+9}{2\cdot 2}=\frac{-4}{4}=-1\in I
x_{2}=\frac{-13-9}{4}=\frac{-22}{4}=\frac{-11}{2}\notin I
Deci solutia ecuatiei este x=-1
5) cum aflam cosinusul unghiului format de diagonalele unui dreptunghi
In triunghiul ABC aplicam Teorema lui Pitagora
AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}\Rightarrow AC^{2}=256+144\Rightarrow AC=\sqrt{400}\Rightarrow AC=20 cm.
Stim ca OB=OC=\frac{AC}{2}=\frac{20}{2}=10
Acum daca aplicam Teorema cosinusului gasim ca
BC^{2}=OB^{2}+OC^{2}-2\cdot OB\cdot OC\cdot cos\widehat{BOC}\Rightarrow 144=100+100-2\cdot 10\cdot 10\cdot\cos\widehat{BOC}\Rightarrow 144-200=-200\cdot\cos\widehat{BOC}\Rightarrow -56=-200\cdot\cos\widehat{BOC}\Rightarrow \cos\widehat{BOC}=\frac{56}{200}\Rightarrow \cos\widehat{BOC}=\frac{7}{25}
6) Problema rezolvata cu vectori
Stim ca O este centrul de greutate al triunghiului (intr-un triunghi echilateral medianele, mediatoarele, bisectoarele si inaltimile coincid), atunci
\vec{AO}=\frac{2}{3}\vec{AM}, deci gasim cs
a=\frac{2}{3}
deci stim ca punctul de intersectie al medianelor este situat la doua treimi fata de varf si o treime fata de baza.

Acesta a fost subiectul I simulare bacalaureat 2014 cls. XI SI XII .

Ecuatii si inecuatii exponentiale

Dupa ce am invatat despre functiile logaritimice si functiile exponentiale, astazi o sa vorbim despre ecuatii si inecuatii exponentiale.

Incepem cu ecuatiile exponentiale:

Ecuatiile exponentiale sunt ecuatiile in care necunoscuta este exponent.

Probabil ca despre ecuatii exponentiale ati ma invatat si in gimnaziu, dar nu ati stiut ca sunt ecuatii exponentiale. Propun sa rezolvam cateva ecuatii in care sa stim care modalitatile de rezolvare:

1) Sa se rezole ecutiile:
a 2^{2x}=64  \\2^{2x}=2^{6}\Rightarrow 2x=6\Rightarrow x=3
Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus am scris numarul 64 in baza 2 si astfel gasim 64=2^{6}, dupa ce am adus ambele parti la aceiasi baza, egalam exponetii si rezolvam ecautia asa cum stiam inca din clasele mai mici.

b) 5^{x^{2}-x-2}=625  \\5^{x^{2}-x-2}=5^{4}  \\x^{2}-x-2=4 \Rightarrow x^{2}-x-6=0  \\\Delta=b^{2}-4\cdot a \cdot c=\left(-1\right)^{2}-4\cdot 1\cdot \left(-6\right)  \\\Delta= 1+24  \\\Delta=25  \\x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2\cdot a}=\frac{-\left(-1\right)+\sqrt{25}}{2\cdot 1}=\frac{1+5}{2\cdot 1}=\frac{6}{2}=3  \\x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2\cdot a}=\frac{-\left(-1\right)-\sqrt{25}}{2\cdot 1}=\frac{1-5}{2\cdot 1}=\frac{-4}{2}=-2
Am gasit solutiiile ecuatiei.
Ca sa rezlvam ecuatia de mai sus  am adus numarul 625 la aceiasi baza ca si membrul stang, iar apoi am egalat exponentii, obtinand o ecuatie de gradul al doilea pe care am rezolvat-o cum am invatat in clasele mai mici.

c) 3^{2\sqrt{x}}-4\cdot 3^{\sqrt{x}}+3=0
Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus notam 3^{x}=y si obtinem
\left(3^{x}\right)^{2}-4\cdot 3^{\sqrt{x}}+3=0    \\y^{2}-4y+3=0  \\\Delta=16-4\cdot 3  \\\Delta=16-12  \\\Delta=4  \\y_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2\cdot a}=\frac{-\left(-4\right)+\sqrt{4}}{2\cdot 1}=\frac{4+2}{2\cdot 1}=\frac{6}{2}=3  \\y_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2\cdot a}=\frac{-\left(-4\right)-\sqrt{4}}{2\cdot 1}=\frac{4-2}{2\cdot 1}=\frac{2}{2}=1
Cum stim ca am notat 3^{x}=y obtinem
3^{x}=3\Rightarrow x=1  \\3^{x}=1\Rightarrow x=0
Dupa ce am facut substiutia am obtinut o ecuatie de gradul al doilea pe care am rezolvat-o iar solutiile pe care le-am gasit le-am inlocuit in substitutia pe care am facut-o si astfel am gasit solutiile ecuatiei.

Inecuatiile exponentiale

Rezolvarea inecuatilor exponentiale se bazeaaza pe proprietatile de monotonie ale functiilor exponentiale. Stiti ca functiile exponetiale sunt crescatoare cand au bazele supraunitare si descrescatoare cand bazele sunt subunitare.
Exemplu:

2) Sa se rezolve inecuatiile:
a) 2^{x}>8
Inecutia de mai sus putem sa o scriem 2^{x}>2^{3}, iar daca studiem monotonia functiei f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=2^{x} obtinem ca functia este crescatoare, deoarece baza este mai mare decat 1. Si astfel obtinem: x>3