Rezolvarea ecuatiilor exponentiale si logaritmice

Astazi ne ocupam de rezolvari pentru vizitatori si vom trata rezolvarea ecuatiilor exponentiale si logaritmice.

Prezentam mai multe ecuatii exponentiale si logaritmice rezolvate, astfel incepem prin a rezolva o ecuatie exponentiala:

ecuatii logaritmice

a) 5^{x}-5^{3-x}=20

Ca sa rezolvam aceasta ecuatie mai intai ne folosim de regulile de calcul cu puteri si rescriem ecuatia: 5^{x}-5^{3}\cdot 5^{-x}=20 deoarece stim ca a^{-1}=\frac{1}{a}

Ecuatia devine ^{5^{x})}5^{x}-^{1)}5^{3}\cdot\frac{1}{5^{x}}=^{5^{x})}20

Acum daca aducem la acelasi numitor obtinem:

\frac{5^{x}\cdot 5^{x}-1\cdot 5^{3}}{5^{x}}=\frac{5^{x}\cdot 20}{5^{x}}\Rightarrow 5^{2x}-125-20\cdot 5^{x}=0

Aceasta ecuatie putem sa o rescriem:

\left(5^{x}\right)^{2}-20\cdot 5^{x}-125=0

Observati ca am folosit regulile de calcul cu puteri.

Acum daca notam 5^{x}=t ecuatia devine:

t^{2}-20\cdot t-125=0

Si astfel am obtinut o ecuatie de gradul al doilea, unde a=1, b=-20 si c=-125

Acum calculam \Delta =b^{2}-4\cdot a\cdot c=\left(-20\right)^{2}-4\cdot 1\cdot\left(-125\right)=400+500=900

Acum calculam t_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{4\cdot a}=\frac{-\left(-20\right)+\sqrt{900}}{2\cdot 1}=\frac{20+30}{2}=\frac{50}{2}=25

Si t_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{4\cdot a}=\frac{-\left(-20\right)-\sqrt{900}}{2\cdot 1}=\frac{20-30}{2}=\frac{-10}{2}=-5

Deci am obtinut doua solutii ale ecuatiei dar deorece 5^{x}>0, rezulta ca -5 nu poate sa fie egal cu 5^{x} si deci singura solutie a ecuatiei se obtine din 5^{x}=t_{1}\Rightarrow 5^{x}=25\Rightarrow 5^{x}=5^{2}\Rightarrow x=2

b)  9^{\sqrt{x}}-4\cdot 3^{\sqrt{x}}+3=0

Observam ca la fel ca la exercitiul de mai sus avem o ecuatie exponentiala, astfel stim ca

3^{2}=9

Deci ecuatia devine \left(3^{2}\right)^{\sqrt{x}}-4\cdot 3^{\sqrt{x}}+3=0

Sau cu regula de calcul \left(a^{m}\right)^{n}=a^{m\cdot n}=a^{n\cdot m}

\left(3^{\sqrt{x}}\right)^{2}-4\cdot 3^{\sqrt{x}}+3=0

Si daca notam 3^{\sqrt{x}}=t

Ecuatia devine t^{2}-4\cdot t+3=0

Iar cu \Delta =\left(-4\right)^{2}-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4

Si t_{1}=\frac{-\left(-4\right)+\sqrt{4}}{2\cdot 1}=\frac{4+2}{2}=\frac{6}{2}=3

Dar si t_{1}=\frac{-\left(-4\right)\sqrt{4}}{2\cdot 1}=\frac{4-2}{2}=\frac{2}{2}=1

Deci avem doua solutii pozitive  si avem 3^{\sqrt{x}}=t_{1}\Rightarrow 3^{\sqrt{x}}=3\Rightarrow \sqrt{x}=1\Rightarrow x=1

Deoarece avem functia radical pentru a exista radicalul de ordinul doi punem conditia ca x\geq 0\Rightarrow x\in\left[0; +\infty\right)

Dar mai avem si ca 3^{\sqrt{x}}=t_{2}\Rightarrow 3^{\sqrt{x}}=1\Rightarrow

3^{\sqrt{x}}=3^{0} \Rightarrow x=0

Pentru a fi siguri ca solutiile obtinute sunt corecte inlocuim x=0 in ecuatia initiala si obtinem:

9^{\sqrt{0}}-4\cdot 3^{\sqrt{0}}+3=1-4\cdot 1+3=-3+3=0

Deci se verifica.

c) \log_{5}{x^{2}-11x+43}=2

Observam ca in cazul de mai sus avem o ecuatie logartimica, deci mai intai punem conditia ca argumentul sa fie mai mare ca 0, astfel x^{2}-11x+43>0 si studiem semnul functiei sau solutiile ecuatiei gasite la inlocuim in ecuatie sa vedem care o verifica si astfel aflam si solutia astfel ecuatia devine x^{2}-11x+43=5^{2} \Rightarrow x^{2}-11x+43=25\Rightarrow x^{2}-11x+43-25=0\Rightarrow x^{2}-11x+18=0

Acum calculam \Delta=\left(-11\right)^{2}-4\cdot 1\cdot 18=121-72=49

Acum calculam x_{1}=\frac{-\left(-11\right)+\sqrt{49}}{2\cdot 1}=\frac{11+7}{2}=\frac{18}{2}=9

Dar si x_{2}=\frac{-\left(-11\right)-\sqrt{49}}{2\cdot 1}=\frac{11-7}{2}=\frac{4}{2}=2

Iar acum daca inlocuim in ecuatia logaritmica  fiecare solutie gasita, obtinem:

\log_{5}{9^{2}-11\cdot 9+43}=\log_{5}{81-99+43}=\log_{5}{25}=5

Deci se verifica si am obtinut ca o solutie a ecuatiei este 5, acum

\log_{5}{2^{2}-11\cdot 2+43}=\log_{5}{4-22+43}=\log_{5}{25}=5

deci si ce-a de-a doua solutie se verifica si astfel am obtinut ca solutiile ecuatiei sunt 2 si 9.

d) \log_{x+1}{3x^{2}+2x-3}=2

In cazul ecuatiei de mai sus punem conditiile:

x+1>0\Rightarrow x>-1\Rightarrow x\i\left(-1; +\infty\right)

3x^{2}+2x-3>0

Si consideram functia: f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=3x^{2}+2x-3

Si studiem semnul functiei \Delta=2^{2}-4\cdot 3\cdot\left(-3\right)=4+36=40

Calculam: x_{1}=\frac{-2+\sqrt{40}}{2\cdot 3}=\frac{-2+2\sqrt{10}}{6}=\frac{2\left(-1+\sqrt{10}\right)}{6}=\frac{-1+\sqrt{10}}{3}

x_{2}=\frac{-2-\sqrt{40}}{2\cdot 3}=\frac{-2-2\sqrt{10}}{6}=\frac{2\left(-1-\sqrt{10}\right)}{6}=\frac{-1-\sqrt{10}}{3}

Acum intocmim tabelul de valori:

cum stabilim semnul functie de gradul al doilea

Astfel inecuatia are solutii in intervalul \left(-\infty; -1-\sqrt{10}\right)\cup\left(-1+\sqrt{10}; +\infty\right)

Dar stim si ca x>-1 deci solutia ecuatiei se afla in intervalul \left(-1+\sqrt{10}; +\infty\right)\cap\left(-1; +\infty\right)=\left(-1+\sqrt{10}; +\infty\right)

\log_{x+1}{3x^{2}+2x-3}=2\Rightarrow 3x^{2}+2x-3=\left(x+1\right)^{2}\Rightarrow 3x^{2}+2x-3=x^{2}+2x+1\Rightarrow 3x^{2}+2x-3-x^{2}-2x-1=0\Rightarrow 2x^{2}-4=0\Rightarrow 2\left(x^{2}-2\right)=0\Rightarrow x^{2}-2=0\Rightarrow x^{2}=2\Rightarrow x=\pm\sqrt{2}.

Am gasit ca solutiile ecuatiei sunt -\sqrt{2} si \sqrt{2}

Dar nu se afla in intersectia conditiilor de mai sus, deci nu convin.

e) \lg x\cdot\left(\lg x-8\right)+16=0

In cazul ecuatiei de mai sus efectuam calculul

\lg x\cdot \lg x-\lg x\cdot 8+16=0\Rightarrow \lg^{2}x-8\lg x+16=0

Punem conditia ca x>0, deci x\in\left(0; +\infty\right)

Acum daca notam \lg x=y

ecuatia devine y^{2}-8y+16=0

Acum calculam \Delta=\left(-8\right)^{2}-4\cdot 1\cdot 16=64-64=0

Deci solutia ecuatiei este: y_{1}=\frac{-\left(-8\right)+0}{2\cdot 1}=\frac{8}{2}=4=y_{2}

Deci solutia ecuatiei este: \lg x=4\Rightarrow x=10^{4}=10000

Acum inlocuim solutia gasita in ecuatie obtinem \lg 10^{4}\left(\lg 10^{4}-8\right)+16=4\cdot 1\left(4\cdot 1-8\right)+16=4\cdot\left(4-8\right)+16=4\cdot\left(-4\right)+16=-16+16=0

Deci se verifica solutia ecuatiei.

Exercitii rezolvate pentru Bacalaureat

Subiectul I
1. Sa se calculez suma 2+12+22+...+92
2. Sa se arate ca varful parabolei f:R\rightarrow R,f\left(x\right)=x^{2}-2x-3 se afla pe dreapta de ecuatie 3x+y+1=0
3. Sa se rezolve in multimea numerelor reale ecuatia \log_{4}\left(2^{x+1}-1\right)=0
4. Sa se determine cate numere de trei cifre se pot scrie folosind elementele din multimea \left\{1,2\right\}.
5. Se considera hexagonul regulat ABCDEF de centru O. Sa se arate ca \vec{AB}+\vec{AF}=\vec{AO}
6. Sa se calculeze \lg{\left(\tan 40^{0}\right)}\cdot\lg{\left(\tan 41^{0}\right)}\cdot ...\cdot\lg{\left(\tan 45^{0}\right)}
Solutie:
1. Ca sa calculam suma de la exercitiu 1, observam ca termenii sumei
2, 12, 22, …, 92 sunt in progresie aritmetica cu ratia r=12-2=10 deci r=10, a_{1}=2, a_{n}=92
Ca sa calculam suma mai intai trebuie sa aflam cati termeni are suma, adica sa aflam n.
Astfel stim ca
a_{n}=a_{1}+\left(n-1\right)\cdot r\Rightarrow 92=2+\left(n-1\right)\cdot 10\Rightarrow 92-2=\left(n-1\right)\cdot 10\Rightarrow 90=\left(n-1\right)\cdot 10\Rightarrow 90:10=n-1\Rightarrow n-1=9\Rightarrow n=9+1\Rightarrow n=10
Mai stim si ca
S_{n}=\frac{\left(a_{1}+a_{n}\right)\cdot n}{2}=\frac{\left(2+92\right)\cdot 10}{2}=\frac{94\cdot 10}{2}=\frac{940}{2}=470
2. Mai inati aflam varful parabolei functiei:
Dar mai intai calculam
\Delta=\left(-2\right)^{2}-4\cdot 1\cdot\left(-3\right)=4+12=16
Iar varful parabolei este:
V\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right)=V\left(-\frac{-2}{2\cdot 1},-\frac{16}{4\cdot 1}\right)=V\left(\frac{2}{2},\frac{-16}{4}\right)=V\left(1,-4\right)
Acum trebuie sa aratam ca varful parabolie se afla pe dreapta d, astfel avem:
V\in \left(d\right):3x+y+1=0 daca 3\cdot 1-4+1=0\Rightarrow 3-4+1=0\Rightarrow 4-4=0\Rightarrow 0=0
deci varful parabolei se afla pe dreapta d.
3. Ecuatia are sens daca
2^{x+1}-1>0\Rightarrow 2^{x+1}>1\Leftrightarrow2^{x+1}>2^{0}\Leftrightarrow x+1>0\Leftrightarrow x>-1
Deci gasim ca x\in \left(-1,+\infty\right)
Acum rezolvam ecuatia:
\log_{4}\left(2^{x+1}-1\right)=0\Leftrightarrow 2^{x+1}-1=4^{0}\Leftrightarrow 2^{x+1}=1+1\Leftrightarrow 2^{x+1}=2\Leftrightarrow 2^{x+1}=2^{1}\Leftrightarrow x+1=1\Leftrightarrow x=1-1\Leftrightarrow x=0
4. Fie \bar{abc} numerele care pot si scrise cu elementele din multimea \left\{1,2\right\}. Astfel numarul functiilor f:\left\{a,b,c\right\}\rightarrow {1, 2} este 2^{3}=8
Observatie stim ca
Numarul functiilor definitie pe o multime finita cu valori intr-o multime finita.
Fie A si B doua multimi finite astfe |A|=m si |B|=n. Atunci numarul functiilor de la multimea A la multimea B este n^{m}.
5. cum aplicam regula triunghiului in spatii vectoriale
Astfel cu regului triunghiului stim ca in triunghiul AFO:
\vec{AO}=\vec{AF}+\vec{FO}
Dar sin in triunghiul AOB, avem ca
\vec{AO}=\vec{AB}+\vec{BO}
adunand cele doua relatii obtinem ca
\vec{AO}+\vec{AO}=\vec{AF}+\vec{FO}+\vec{AB}+\vec{BO}\Leftrightarrow 2\vec{AO}=2\vec{AF}+2\vec{AB}\Leftrightarrow \vec{AO}=\vec{AF}+\vec{AB}
Deoarece observam ca:
\vec{AF}=\vec{BO} dar si \vec{AB}=\vec{FO}
6. Stim ca \tan 45^{0}=1
Astfel gasim ca \lg 1=0
astfel avem ca:

\lg{\left(tan 40^{0}\right)}\cdot\lg{\left(\tan 41^{0}\right)}\cdot ...\cdot\lg{\left(\tan 45^{0}\right)}=\lg{\left(tan 40^{0}\right)}\cdot\lg{\left(\tan 41^{0}\right)}\cdot ...\cdot 0=0

Simulare Bacalaureat 2014 clasa a XI-a matematica

Prezentam o simulare bacalaureat 2014 clasa a XI-a la matematica subiectul I.
Dupa cum bine stiti inca din calsa a X-a ecuatiile exponentiale joaca un rol important si se pune accent pe ele cand se realizeaza subiectele la bacalaureat.

Subiecte simulare bacalaureat 2014

1) Sa se rezolve ecuatia
3^{x}+2\cdot 3^{x+1}=7
2) Sa se determine toate valorile reale ale lui x pentru care x\left(x-1\right)\leq x+15.
3) Sa se determine valoarile reale ale numarului m, astfel incat reprezentarea grafica a functiei f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=x^{2}-\left(m+1\right)x-m sa fie tangenta la axa Ox.
4) Sa se rezolve ecuatia \lg\left(x+4\right)+\lg\left(2x+3\right)=\lg\left(1-2x\right)
5) Sa se calculeze cosinusul unghiului ascutit format de diagonalele dreptunghiului ABCD stiind ca AB=16 cm, si BC=12 cm.
6) Se considera triunghiul echilateral ABC de centru O. Daca punctul M este mijlocul segmentului BC, sa se determine numarul real astfel incat \vec{AO}=a\cdot\vec{AM}.
Solutie
1) Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus mai intai observam ca ecuatia putem sa o scriem:
3^{x}+2\cdot 3^{x+1}=7\Rightarrow 3^{x}+2\cdot 3^{x}\cdot 3^{1}=7
Astfel daca notam cu
t=3^{x} si astfel ecuatia devine
t+2\cdot t\cdot 3=7\Rightarrow t+6t=7\Rightarrow 7t=7\Rightarrow t=1
Astfel stim ca
3^{x}=1\Rightarrow 3^{x}=3^{0}\Rightarrow x=0
2) Acum sa aflam valorile reale ale lui x care verifica inegalitatea
x\left(x-1\right)\leq x+15\Rightarrow x^{2}-x-x-15\leq 0\rightarrow x^{2}-2x-15\leq 0.
Acum calculam
\Delta=\left(-2\right)^{2}-4\cdot 1\cdot \left(-15\right)=4+60=64
Calculam acum
x_{1}=\frac{-b+\sqrt{64}}{2\cdot a}=\frac{2+8}{2}=\frac{10}{2}=5
x_{2}=\frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot 1}=\frac{2-8}{2}=\frac{-6}{2}=-3
Acum sa efectuam tabelul de variatie
cum stabilim solutia unei inecuatii de gradul II
Deci solutia inecuatiei este intervalul \left[-3, 5\right]
3) Mai intai calculam valoarea minima a functiei V\left(\frac{-b}{2\cdot a}, 0\right)
Astfel avem ca
\frac{-b}{2\cdot a}=\frac{-\left[-\left(m-1\right)\right]}{2\cdot 1}=\frac{m-1}{2}
Astfel avem urmatoarea ecuatie :
x^{2}-\left(m+1\right)\cdot x-m=0
Conditia ca reprezentarea grafica sa fie tangenta la axa OX este ca \Delta =0
Astfel mai intai calculam Delta
\Delta =\left[-\left(m-1\right)\right]^{2}-4\cdot 1\cdot\left(-m\right)=\left(m-1\right)^{2}+4m
Acum avem conditia \Delta =0\Rightarrow\left(m-1\right)^{2}+4m=0
\Rightarrow m^{2}-2m+1+4m=0\Rightarrow m^{2}+2m+1=0\Rightarrow\left(m+1\right)^{2}=0
\Rightarrow m=-1
deci pentru m=-1 reprezentarea grafica este tangenta la axa Ox.
4) Pentru a rezolva ecuatia avem mai intai conditiile:
x+4>0\Rightarrow x>-4\;\; I_{1}=\left(-4, +\infty\right)  \\ 2x+3>0\Rightarrow x>\frac{-3}{2}\;\; I_{2}=\left(-\frac{3}{2}, +\infty\right)  \\1-2x>0\Rightarrow x<\frac{1}{2}\;\; I_{3}=\left(-\infty; \frac{1}{2}\right)
Acum I=I_{1}\cap I_{2}\cap I_{3}=\left(-4;\infty\right)\cap\left(-\frac{3}{2}; \infty\right)\cap\left(-\infty;\frac{1}{2}\right)=\left(-\frac{3}{2};\frac{1}{2}\right)
Astfel ecuatia devine:
\lg\left(x+4\right)\cdot\left(2x+3\right)=\lg\left(1-2x\right)\Rightarrow \left(x+4\right)\cdot\left(2x+3\right)=\left(1-2x\right)\Rightarrow 2x^{2}+3x+8x+12=1-2x\Rightarrow 2x^{2}+13x+11=0
Observam ca am obtinut o ecuatie de gradul II
Calculam
\Delta =13^{2}-4\cdot 2\cdot 11=169-88=81
Calculam acum
x_{1}=\frac{-13+9}{2\cdot 2}=\frac{-4}{4}=-1\in I
x_{2}=\frac{-13-9}{4}=\frac{-22}{4}=\frac{-11}{2}\notin I
Deci solutia ecuatiei este x=-1
5) cum aflam cosinusul unghiului format de diagonalele unui dreptunghi
In triunghiul ABC aplicam Teorema lui Pitagora
AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}\Rightarrow AC^{2}=256+144\Rightarrow AC=\sqrt{400}\Rightarrow AC=20 cm.
Stim ca OB=OC=\frac{AC}{2}=\frac{20}{2}=10
Acum daca aplicam Teorema cosinusului gasim ca
BC^{2}=OB^{2}+OC^{2}-2\cdot OB\cdot OC\cdot cos\widehat{BOC}\Rightarrow 144=100+100-2\cdot 10\cdot 10\cdot\cos\widehat{BOC}\Rightarrow 144-200=-200\cdot\cos\widehat{BOC}\Rightarrow -56=-200\cdot\cos\widehat{BOC}\Rightarrow \cos\widehat{BOC}=\frac{56}{200}\Rightarrow \cos\widehat{BOC}=\frac{7}{25}
6) Problema rezolvata cu vectori
Stim ca O este centrul de greutate al triunghiului (intr-un triunghi echilateral medianele, mediatoarele, bisectoarele si inaltimile coincid), atunci
\vec{AO}=\frac{2}{3}\vec{AM}, deci gasim cs
a=\frac{2}{3}
deci stim ca punctul de intersectie al medianelor este situat la doua treimi fata de varf si o treime fata de baza.

Acesta a fost subiectul I simulare bacalaureat 2014 cls. XI SI XII .