Cum rezolvam inecuatiile de gradul al doilea

Sa vedem, inca o data, cum rezolvam inecuatiile de gradul al doilea !

O aplicatie a semnului functiei de gradul al doilea f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=ax^{2}+bx+c,a,b, c\in R, a\neq 0 o reprezinta rezolvarea inecuatiei ax^{2}+bx+c\leq 0,\left(geq, <,1.\right), a\neq 0.
Rezolvarea unei astfel de inecuatii revine la a determina multimea solutiilor, pentru acesta se studiaza semnul functiei de gradul al doilea, dupa care se alege solutia inecuatiei.
Exemplu:
1) Sa se rezolve inecuatia si sa se interpreteze geometric rezultatele:
a) -2x^{2}+4x+6\geq 0
Astfel consideram functia f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=-2x^{2}+4x+6
Astfel stim ca
f\left(x\right)=\Rightarrow -2x^{2}+4x+6=0
Astfel
\Delta=4^{2}-4\cdot\left(-2\right)\cdot 6=16+48=64
Astfel ecuatia are solutiile
x_{1}=\frac{-4+\sqrt{64}}{2\cdot\left(-2\right)}=\frac{-4+8}{-4}=\frac{4}{-4}=-1
Dar si
x_{2}=\frac{-4-\sqrt{64}}{2\cdot\left(-2\right)}=\frac{-4-8}{-4}=\frac{-12}{-4}=3
Acum realizam tabelul de semn pentru functia f.
cum rezolvam inecuatia de gradul al doilea
Din tabelul functie observam ca x\in\left[-1;3\right]
Deoarece functia f este pozitiva pe intervalul de mai sus.
b) \frac{x^{2}-3x-4}{4x-x^{2}}
Solutie:
Mai intai stabilim omeniul de existenta al functie astfel punem conditia ca:
4x-x^{2}\neq 0\Rightarrow x\left(x-4\right)\neq 0
Astfel fie
x\neq 0
Sau
x-4\neq 0\Rightarrow x\neq 4
Deci domeniul de existenta este:
D=R-\left\{0,4\right\}(adica numitorul trebuie sa fie diferit de 0.)
Acum ca sa aflam solutia inecuatiei consideram functiile
f,g:R\rightarrow R si
f\left(x\right)=x^{2}-3x-4
Acum rezolvam ecuatia
f\left(x\right)=0\Rightarrow x^{2}-3x-4=0
Astfel
\Delta=\left(-3\right)^{2}-4\cdot 1\cdot\left(-4\right)=9+16=25
Acum
x_{1}=\frac{-\left(-3\right)+\sqrt{25}}{2\cdot 1}=\frac{3+5}{2}=\frac{8}{2}=4
x_{2}=\frac{-\left(-3\right)-\sqrt{25}}{2\cdot 1}=\frac{3-5}{2}=\frac{-2}{2}=-1

Dar si
g\left(x\right)=4x-x^{2}
Adica
g\left(x\right)=0\Rightarrow 4x-x^{2}=0\Rightarrow x=0
Sau
4-x=0\Rightarrow x=4
Acum realizam tabelul celor doua functii si astfel afla solutia inecuatiei:
cum aflam solutia unei inecuatii de gradul al doilea
Din tabelul celor doua functii reiese ca solutia inecuatiei este S=[-1,0)

Daca nu ati inteles cum se rezolva inecuatiile de gradul al doilea va asteptam sa ne trimiteti si alte exercitii pentru a va ajuta sa le rezolvati. Accesati pagina REZOLVARI !

Combinatorica Multimi finite ordonate Permutari

Incepem prin a invata o notiune noua si anume Combinatorica, iar in cadrul acestui capitol o sa vorbim despre  Multimi finite ordonate Permutari.

Despre multimi finite am mai discutat si in clasa a IX-a, notiunea noua pe care o introducem o sa fie Permutari.

Multimi finite ordonate

Definitie:

Multimea A se numeste finita daca exista o functie bijectiva  f:\left\{1,2,...,n\right\}\rightarrow A. Numarul n al elemenelor lui A se numeste cardinalul lui A si se noteaza card A sau |A|. Prin conventie: card \oslash=0

Proprietati:

1) card\left(A\cup B\right)=card\left(A\right)+card\left(B\right)-card\left(A\cap B\right)

2) card\left(A-B\right)=card\left(A\right)-card\left(A\cap B\right)

3) card\left(A\times B\right)=card\left(A\right)\cdot card\left(B\right)

Teorema. Fie A si B doua multimi finite, card\left(A\right)=n si card\left(B\right)=m. Atunci numarul tuturor functiilor f:A\rightarrow B este m^{n}.

Propozitie. Numarul tuturor submultimilor unei multimi cu n elemente este 2^{n}

Exemplu:

1) Dintr-un grup de 50 de turisti, 35 cunosc engleza, iar 25 franceza Cati turisti cunosc ambele limbi?

Solutie:

Fie A multimea turistilor , B multimea turistilor care cunosc engleza, C multimea turistilor care cunosc franceza.

Avem card\left(A\right)= 50, card\left(B\right)=35, card\left(C\right)=25

Stim ca card\left(A\right)=card\left(B\cup C\right)

astfel,

card\left(B\cup C\right)=

card\left(B\right)+card\left(C\right)-card\left(B\cap C\right)

\Rightarrow

50=35+25-card\left(B\cap C\right)\Rightarrow 50=60-card\left(B\cap C\right)\Rightarrow

card\left(B\cap C\right)=60-50\Rightarrow

card\left(B\cap C\right)=10,

deci numarul turistilor care cunosc ambele limbi sunt 10.

2) Fie multimea A=\left\{1,2,...,8\right\}

a) Cate submultimi ale lui A contin numai numere pare

b) Cate submultimi ale lui A care contin elementul 1 exista.

Solutie:

a) Ca  sa aflam numarul submultimilor lui A care contin numai numere pare scriem multimea elementelor pare astfel

\left\{2,4,6,8\right\} si numarul submultimilor lui A sunt 2^{4}-1=8-1=7 (multimea vida nu convine)

b) 2^{7}=128 submultimi.

Permutari

Definitie:  Multimile ordonate cu n elemente ce se obtin prin ordonarea unei multimi finite cu n elemente se numesc permutari ale unei multimi.

Teorema: Numarul P_{n} al tuturor permutarilor unei multimi cu n elemente este P_{n}=n! unde n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot...\cdot n, n\in N^{*}. Prin convenctie 0!=1=P_{0}

Exemple

1) In cate moduri pot fi asezate 9 vagoane ale unui tren la o locomotiva?

Solutie:

Trebuie sa determinam  numarul de permutari  ale unei multimi cu 9 elemente (vagoane), adica

P_{9}=9!=1\cdot2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 4\cdot...\cdot 9

2) Rezolvati ecuatiile:

a) $latex \frac{P_{n}}{P_{n-2}}=72\Rightarrow \frac{n!}{\left(n-2\right)!}=72\Rightarrow \frac{\left(n-2\right)\cdot\left(n-1\right)\cdot n}{\left(n-2\right)}=72\Rightarrow \frac{\left(n-1\right)\cdot n}{1}=72\Rightarrow \left(n-1\right)\cdot n=72\Rightarrow n^{2}-n=72\Rightarrow n^{2}-n-72=0$

\Delta=b^{2}-4\cdot a\cdot c=\left(-1\right)^{2}-4\cdot 1\cdot\left(-72\right)=1+288=289;

n_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2\cdot a}=\frac{1+\sqrt{289}}{2\cdot 1}=\frac{1+17}{2}=\frac{18}{2}=9;

n_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2\cdot a}=

\frac{1-\sqrt{289}}{2\cdot 1}=

\frac{1-17}{2}=\frac{-16}{2}=-8(nu convine ).

Cum n\in N, observam ca doar pentru n=9 este o solutie a ecuatiei.

Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus folosim pentru inceput teorema care am enuntat-o mai sus, apoi am simplificat pe unde am putut, observam ca pana la n factorial  la numarator mai avem de la n-2 factorial mai avem n-1 si evident 2, de unde am simplificat n-2 cu n-2 si ne-a ramas \left(n-1\right)\cdot n, evident in membrul stang. Restul este cu calcul normal a unei ecuatii de gradul al doilea.

b) \frac{\left(n+1\right)!}{\left(n-1\right)!}<30\Rightarrow \frac{\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)}{n-1}<30\Rightarrow n\cdot\left(n+1\right)<30\Rightarrow n^{2}+n<30\Rightarrow n^{2}+n-30<0

 

\Delta=b^{2}-4\cdot a\cdot c=1^{2}-4\cdot 1\cdot\left(- 30\right)=1+120=121;

Observam ca Delta este mai mare ca 0 si a>0, deci inecuatia noastra are multimea solutiilor inecutiilor este S=\left(n_{1}, n_{2}\right)

n_{1}=\frac{-1+\sqrt{121}}{2\cdot 1}=\frac{-1+11}{2}=\frac{10}{2}=5;

\\n_{2}=\frac{-1-\sqrt{121}}{2\cdot 1}=

\frac{-1-11}{2}=

\frac{-12}{2}=-6\Rightarrow n_{2}

Deci n\in \left(-6, 5\right), pune acum conditiile:

n+1\geq 0 si n-1\geq 0

Astfel avem

n+1\geq 0\Rightarrow n\geq -1;    n-1\geq 0\Rightarrow n\geq 1  si n\in N

Deci n\in \left[-1,\infty\right) si n\in\left[1,\infty\right)\Rightarrow n\in\left[1, \infty\right) (calculam intersectia ccelor doua sulutii ale inecuatiei).

Si astfel gasim ca n\in\left\{1, 2, 3, 4\right\}

Ca sa rezovam inecuatia de mai sus am folosit ca si  la exercitiul a) teorema care am enuntat-o mai sus, am simplificat ce am putut. Observati mai sus cum am scris si numitorul si numaratorul si ce am simplificat. Am obtinut o inecuatie de gradul al doilea pe care am rezolvat-o folosind regulile de rezolvare a inecuatiilor de gradul a II-lea. Important sa tinem cont de conditiile de mai sus ca sa gasim solutiile inecuatiei.