Probleme rezolvate cu ajutorul ecuatiilor

La un concurs se acorda 6 puncte pentru o problema rezolvata corect si se scad 2 puncte pentru o problema rezolvata gresit.Maria a trimis la concurs 12 probleme rezolvate si a primit 48 de puncte .Cate probleme a rezolvat corect si cate a rezolvat gresit

Solutie:

Notam cu x problemele rezolvate corect

y problemele rezolvate gresit

Si acum formam ecutiile

x+y=12 (12 probleme rezolvate corecte sau incorecte)

6x-2y=48 (se acorda 6 puncte pentru un raspuns corect si se scad 2 puncte pentru un raspuns gresit)

Deci avem ecuatiile

x+y=12

dar si

6x-2y=48|:2\Rightarrow 3x-y=24

Acum din prima ecuatie avem:

x+y=12\Rightarrow y=12-x

Si daca inlocuim in cea de-a doua obtinem:

3x-y=24\Rightarrow 3x-\left(12-x\right)=24\Rightarrow 3x-12+x=24\Rightarrow 4x-12=24\Rightarrow 4x=24+12\Rightarrow 4x=36\Rightarrow x=36:4\Rightarrow x=9

Deci numarul problemelor rezolvate corect sunt 9, iar cele incorecte sunt in numar de:

y=12-9=3

Asadar numarul problemelor rezolvate incorect sunt in numar de 3

Acum daca efectuam proba obtinem:

6x-2y=48 ?

Adica 6\cdot 9-2\cdot 3=54-6=48 (Adica punctajul obtinut de Maria la concurs)

Probleme rezolvate cu ajutorul ecuatiilor

Astazi revenim cu 2 rezolvari foarte simple care folosesc ecuatii. Pentru a rezolva problemele cu ajutorul ecuatiilor trebuie sa tinem cont de etapele pe care trebuie sa le parcurgem pentru a rezolva ecuatiile, cei care nu vi le mai reamintiti click aici

Un taran are de 5 ori mai multe gaini decat rate. Daca vinde 5 gaini si cumpara 3 rate, atunci numarul gainilor devine de 3 ori mai mare decat al ratelor. Cate gaini si cate rate a avut taranul?

Solutie:

Notam cu x numarul gainilor si y numarul ratelor

Astfel formam ecuatia:

x=5\cdot y de 5 ori mai multe gaini decat rate

Dar si ecuatia x-5=3\cdot\left(y+3\right)

Cum am format cele doua ecuatii rezolvam ecuatia:

x-5=3\cdot y+3\cdot 3\Rightarrow x-5=3y+9\Rightarrow x=3y+9+5\Rightarrow x=3y+14

Astfel cu prima relatie obtinem: 5y=3y+14\Rightarrow 5y-3y=14\Rightarrow 2y=14\Rightarrow y=14:2\Rightarrow y=7

Asadar am obtinut ca numarul ratelor este 7

Acum sa aflam numarul gainilor.

y=5\cdot y=5\cdot 7=35, deci numarul gainilor este 35.

2. Ionut cheltuieste o suma de bani astfel: prima data \frac{2}{5}  din suma, a doua oara \frac{5}{6} din rest, ramanandu-i 5 lei ce suma a avut?

Solutie

Notam cu S suma de bani.

Stim ca prima data cheltuieste \frac{2}{5} din suma, astfel formam ecuatia:

S-\frac{2}{5}\cdot S=\frac{5S-2S}{5}=\frac{3S}{5}

A doua oara \frac{5}{6}\cdot\frac{3S}{5}=\frac{S}{2}

Adica ^{2)}\frac{3S}{5}-^{5)}\frac{S}{2}=\frac{6S}{10}-\frac{5S}{10}=\frac{6S-5S}{10}=\frac{S}{10}

Iar ultima data i au ramas 5 lei astfel avem ecuatia \frac{x}{10}-2=0\Rightarrow \frac{x}{10}=2\Rightarrow x=20\;\; lei

Deci suma pe care a avuta ionut este de 20 lei

Asadar este foarte important sa cunoastem etapele pe care trebuie sa le parcurgem pentru a rezolva problemele, dar si sa formam ecuatiile corect, cu notiunile din ipoteza.

Cum rezolvam problemele cu ajutorul ecuatiilor

Inca o data o sa rezolvam problemele trimise de voi cu ajutorul ecuatiilor.

1. Intr-un bloc sunt in total 60 apartamente de 2 si 4 camere. Aflati cate apartamente de fiecare fel sunt, daca blocul are 190 de camere.

Solutie:

Notam cu x apartamentele cu 2 camere si y apartamentele cu 4 camere.

Astfel formam ecuatiile:

x+y=60 (in bloc sunt 60 de apartamente)

2x+4y=190 (in bloc sunt 190 de camere)

Astfel am obtinut doua ecuatii cu doua necunoscute

x+y=60

Si 2x+4y=190\Rightarrow 2\left(x+2y\right)=190|:2\Rightarrow x+2y=95\Rightarrow x=95-2y

Acum daca inlocuim in prima ecuatie obtinem:

x+y=60\Rightarrow 95-2y+y=60\Rightarrow 95-60=2y-y\Rightarrow 35=y\Rightarrow y=35

Deci numarul apartamentelor cu 4 camere este de 35, iar cele cu 2 camere sunt:

x=95-2\cdot y\Rightarrow x=95-2\cdot 35\Rightarrow x=95-70\Rightarrow x=25

Deci numarul apartamentelor cu 2 camere este de 25.

2. O treime din suprafata unei gradini este acoperita cu flori, o sesime cu legume, iar pe restul de 100 m patrati este gazon. Care este suprafata gradinii?

Solutie:

Notam cu x suprafata gradinii

stim ca \frac{1}{3}\cdot x  o treime din suprafata unei gradini este acoperita cu flori

\frac{1}{6}\cdot x o sesime cu legume si restul de 100 mp cu gazon

Deci formam ecuatia: x-\frac{1}{3}x-\frac{1}{6}x-100=0 (deci din suprafata intreaga a gradinii o treime este acoperita cu flori, o sesime cu legume si restul de 100 mp cu gazon ) si astfel obtinem o ecuatie , pe care trebuie sa o rezolvam: ^{6)}x-^{2)}\frac{1}{3}x-^{1)}\frac{1}{6}x-^{6)}100=0

Deci ecuatia obbinuta am amplificat-o pentru a puta elimina numitorul comun al fractiilor:

\frac{6x}{6}-\frac{2x}{6}-\frac{x}{6}-600=0\Rightarrow \frac{6x-2x-x-600}{6}=0\Rightarrow 6x-2x-x-600=0\Rightarrow 3x-600=0\Rightarrow 3x=600|:3\Rightarrow x=200 m^{2}

Deci suprafata intregii gradini este de 200 mp.

Iar suprafata acoperita cu flori este \frac{1}{3}\cdot x=\frac{1}{3}\cdot 200=\frac{200}{3}\;\; m^{2}

Iar suprafata cultivata cu legume este de \frac{1}{6}\cdot x=\frac{1}{6}\cdot 200=\frac{200}{6}^{(2}=\frac{100}{3}

Si restul de 100 mp sunt plantati cu  gazon.

3. Afla scazatorul daca descazutul este 900 si diferenta este cu 175 mai mica decat descazutul

Stim ca D= descazutul si S= scazatorul  si diferenta

dar din ipoteza problemei stim ca D=900 D-S=Diferenta

deci stim ca diferenta este cu 175 mai mica decat descazutul

Diferenta=D-175=900-175=725

Iar daca inlocuim in relatia de mai sus D-S=Diferenta obtinem 900-S=725, deci obtinem ca S=scazatorul este: S=900-725

Deci scazatorul este 175 daca efectuam proba obtinem D-S=Diferenta 900-175=725

Deci diferenta este 725.

Problema rezolvata cu ecuatii (Inca una)

Stela a procurat 18 albume si 24 de carti pentru copii la acelasi pret. A achitat cumparaturile cu o bancnota de 500 lei si a primit rest 17 lei. Cit costa un album si cit costa o carte?

Rezolvarea este simpla. Trebuie sa stim regulile de rezolvare a problemelor cu ajutorul ecuatiilor. Cu ajutorul datelor din problema se stabilesc necunoscutele si se formeaza ecuatiile.

Solutie:

Notam

x- pretul unui albun

y- pretul unei carti

Stim ca a achitat cumparatura cu 500 de lei si a primit rest 17 lei, adica 500-17=483 lei

Astfel avem ecuatia 18x+24y=483\;\; lei

Dar stim ca albumul si cartea au acelasi pret, adica x=y

Deci ecuatia devine 18y+24y=483\Rightarrow 42y=483\Rightarrow y=483:42\Rightarrow y=11, 5\;\; lei

Cum x=y, obtinem si ca pretul albumului este tot de 11,5 lei.

Simplu, nu. Incercati si voi sa rezolvati probleme cu ecuatii folosind modele asemanatoare rezolvate pe MatePedia.

Rezolvarea problemelor simple cu ajutorul ecuatiilor

1)  5 kg de mere si 3 kg pere au costat 27000 lei,iar 7 kg mere si 3 kg pere au costat 34200 lei. Cati lei a costat 1 kg mere si cati lei a costat 1 kg pere?

Solutie: Notam cu

– x Kg de mere

– y Kg de pere

astfel obtinem ecuatiile

5x+3y=27000    \\7x+3y=34200

Daca din prima ecuatie scoatem 3y obtinem:

3y=27000-5x

Iar acum daca inlocuim in cea dea doua ecuatie obtinem

7x+27000-5x=34200\Rightarrow 7x-5x=34200-27000\Rightarrow 2x=7200\Rightarrow x=3600\;\; lei

Deci  1 Kg de mere costa 3600 lei

Acum sa aflam cat costa 1 Kg de pere

3y=27000-5\cdot 3600\Rightarrow 3y=27000-18000\Rightarrow 3y=9000\Rightarrow y=9000:3\Rightarrow y=3000

Deci kg de pere costa 3000 lei.

2) O echipa avea de asfaltat o portiune de sosea.A asfaltat in prima saptamana 2/5 din lungimea soselei, a doua saptamana 5/6 din rest, iar a treia saptamana restul de 568 m. Ce lungime avea soseaua ce a fost asfaltata?

Solutie notam cu x lungimea soselei

Astfel in prima saptamana a asfaltat

\frac{2}{5}\cdot x

A doau saptamana

\frac{5}{6}\left(x-\frac{2}{5}\cdot x\right)

A treia saptamana  568 de metri.

Astfel formam ecuatia

x-\frac{2}{5}x+\frac{5}{6}\left(x-\frac{2}{5}x\right)-568=0\Rightarrow    x-\frac{2}{5}x-\frac{5}{6}\left(\frac{5x-2x}{5}\right)-568=0\Rightarrow    \frac{5x-2x}{5}-\frac{5}{6}\cdot \frac{3x}{5}-568=0\Rightarrow    \frac{3x}{5}-\frac{x}{2}-568=0\Rightarrow    \frac{2\cdot 3x-5\cdot x}{10}=568\Rightarrow \frac{6x-5x}{10}=568\Rightarrow \frac{x}{10}=568\Rightarrow x=10\cdot 568\Rightarrow x=5680

Deci soseaua avea o lungime de 5680 m

 

Inca 3 rezolvari probleme cu ecuatii

Prezentam inca un un articol cu probleme cu ecuatii prin care aratam cum rezolvam problemele cu ajutorul ecuatiilor.

1) Suma a trei numere este 1141. Aflati numerele stiind ca daca din primul numar scadem 65, din al doilea 72 si al treilea 80, raman numere egale.
Solutie
Notam cu
– x primul numar
– y cel de-al doilea numar
– z cel de-al treilea numar
Astfel formam ecuatiile:
x+y+z=1141
x-65=y-72=z-80
Acum ca sa aflam cele trei numere din primele doua egalitati obtinem :
x-65=y-72\Rightarrow y=x-65+72\Rightarrow y=x+7
Iar din prima si a treia egalitate gasim ca:
x-65=z-80\Rightarrow z=x-65+80\Rightarrow z=x+15
Acum daca inlocuim in prima ecuatie obtinem :
x+x+7+x+15=1141\Rightarrow 3x=1141-15-7\Rightarrow 3x=1141-22\Rightarrow 3x=1119\Rightarrow x=1119:3\Rightarrow x=373
Acum stim si ca y=x+7\Rightarrow y=373+7\Rightarrow y=380
Iar pentru z stim ca :
z=x+15\Rightarrow z=373+15\Rightarrow z=388
Acum sa efectuam proba:
x+y+z=1141\Rightarrow 373+380+388=1141
Dar mai stim si ca :
x-65=373-65=308  \\y-72=380-72=308  \\ z-80=388-80=308
Si astfel am gasit si numerele, dar am efectuat si proba.
2) Mama este mai in varsta decat fiica ei cu 20 ani . Acum 4 ani varsta mamei era de 3 ori mai mare decat a fiicei. Sa se afle varsta mamei si a fiicei.
Solutie
Notam cu x varsta mamei
y varsta ficei
Acum formam ecuatiile:
x=y+20  \\ x-4=3\left(y-4\right)
Acum daca inlocuim in cea de-a doua ecuatie obtinem:
y+20-4=3y-12\Rightarrow y+16=3y-12\Rightarrow y-3y=-16-12\rightarrow -2y=28\Rightarrow y=14
Deci fiica are 14 ani. Acum sa calculam si varsta mamei:
x=y+20\Rightarrow x=14+20\Rightarrow x=34
Deci mama are 34 de ani.
Acum sa efectuam proba:
x-4=34-4=30
Dar mai stim si ca
3\left(y-4\right)=3\left(14-4\right)=3\cdot 10=30
Deci mama are 34 de ani, iar fiica 14 ani.

3)Pentru o cabana s-au folosit 195 grinzi de brad si de stejar care cantaresc in total 17820 kg. O grinda de brad cantareste 72 kg, iar una de stejar cat 3/2 din una de brad. Cate grinzi din fiecare fel s-au folosit?
Solutie:
Notam cu
x-grinzile de brad
y- grinzile de stejar
Formam ecuatiile:
x+y=195 (stim ca grinzile sunt in numar de 195)
Stim ca o grinda de grad cantareste 72 kg, iar una de stejar cantareste
\frac{3}{2}\cdot 72=\frac{3\cdot 72}{2}=\frac{216}{2}=108
Astel mai stim si ca
72x+108y=17820
Din prima ecuatie estim ca
x+y=195\Rightarrow x=195-y
Acum daca inlocuim in cea de-a doua ecuatie obtinem:
72\left(195-y\right)+108y=17820\Rightarrow 72\cdot 195-72\cdot y+108y=17820\Rightarrow 14040-72y+108y=17820\Rightarrow 14040+36y=17820\Rightarrow 36y=17820-14040\Rightarrow 36y=3780\Rightarrow y=\frac{3780}{36}\Rightarrow y=105
Deci am aflat numarul grinzilor de stejar, acum sa aflam si numarul grinzilor de brad
x=195-105\Rightarrow x=90
Deci numarul grinzilor de brad este de 90.
Acum efectuam proba:
72\cdot x+108\cdot y=72\cdot 90+108\cdot 105=6480+11340=17820
Deci am gasit 17820 kg.
4) Calculati 5% din 25
\frac{5}{100}\cdot 25=\frac{5\cdot 25}{100}=\frac{125}{100}^{(25}==\frac{125:25}{100:25}\frac{5}{4}
Ca sa rezolvam exercitiu prima data am scris procentul sub forma de fractie, iar apoi am inmultit numaratorul cu numarul 25 si numitorul l-am copiat, rezultatul pe care l-am obtinut l-am simplificat prin 25

Rezolvare probleme cu ecuatii clasa a VI-a

Dupa cum bine stiti am mai rezolvat probleme cu ecuatii, in clasa a V-a cu rezolvarea ecuatiilor in multimea numerelor naturale. Dar acum o sa invatam probleme care se rezolva cu ajutorul ecuatiilor in multimea numerelor rationale pozitive. Despre Multimea numerelor rationale pozitive am mai discutat, cei care nu va mai remintiti, cititi aici. Astfel ne reamintim etapele pe care trebuie sa le parcurgem pentru rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuatiilor.

Pasi ca sa rezolvam probleme cu ecuatii

– Stabilim necunoscuta/necunoscutele si le notam

– Scriem datelor si relatiilor din problema pana la obtinerea ecuatiei/ecuatiilor

– Rezolvarea ecuatiei/ecuatiilor

– Interpretarea solutiei si formularea raspunsului la problema

– Proba Probleme cu ecuatii: Incepem cu o problema distractiva

1) Ma gandesc la un numar. Il adun cu 14,3. Rezultatul il inmultesc cu 2,5. Din noul rezultata scad 21,83 si obtin 20,17. Care este numarul la care m-am gandit?

Fie x- numarul la care m-am gandit x+14,3 numarul il adunam cu 14,3, apoi il inmultim cu 2,5

 

\left(x+14,3\right)\cdot 2,5 Acum din noul rezultat scad 21,83, deci obtinem:

\left(x+14,3\right)\cdot 2,5-21,83 si obtinem 20,17 \left(x+14,3\right)\cdot 2,5-21,83=20,17

Astfel dupa ce am obtinut ecuatia o rezolvam

\left(x+14,3\right)\cdot 2,5-21,83=20,17\Rightarrow \left(x+14,3\right)\cdot 2,5=20,17+21,83\Rightarrow \left(x+14,3\right)\cdot 2, 5=42,00\Rightarrow x+14,3=42:2, 5\Rightarrow x+14,3=420:25\Rightarrow x+14,3=16,8\Rightarrow x=16,8-14,3\Rightarrow x=2,5

Deci numarul la care m-am gandit este 2,5.

Acum efectuam proba :

\left(x+14,3\right)\cdot 2,5-21,83=20,17\Rightarrow \left(2,5+14,3\right)\cdot 2,5-21,83=16,8\cdot 2,5-21,83=42-21,83=20,17 ceea ce trebuie sa obtinem.

2) Diferenta a doua numere este 12,2, iar media lor aritmetica este egala cu 34,2. determinati numerele.

SolutieȘ

Fie a si b cele doa numere, astfel diferenta numerelor o scriem:

a-b=12,2 si media aritmetica a celor doua numere este 34,2 adica \frac{a+b}{2}=34,2,

Deci am obtinut ecuatiile:

a-b=12,2(**) si \frac{a+b}{2}=34,2\Rightarrow a+b=34,2\cdot 2\Rightarrow a+b=68,4 (**)

Din  (*) scoatem a si obtinem: a-b=12,2\Rightarrow a=12,2+b (***)

Si ca inlocuim in (**) obtinem:

12,2+b+b=68,4\Rightarrow 12,2+2b=68,4\Rightarrow 2b=68,4-12,2\Rightarrow 2b=56,2|:2\Rightarrow b=\frac{56,2}{2}\Rightarrow b=28,1

deci am gasit b=28,1

Acum ca sa aflam a inlocuim b in (***) si obtinem:

a=12,2+28,1\Rightarrow a=40,3 Si astfel am obtinut si a.

Acum efectuam proba, adica diferenta celor doua numere este 12,2 a-b=40,3-28,1=12,2

Iar media aritmetica a celor doua numere este 34,2, astfel

\frac{a+b}{2}=\frac{40,3+28,1}{2}=\frac{68,4}{2}=34,2.