Procentele Cresteri si scaderi cu procente

Despre Procente am mai discutat si in clasa a V-a, dar acum notiunea noua pe care o introducem este Cresteri si scaderi cu procente .

Astfel,inainte de a aprofunda notiunea de cresteri si scaderi cu procente, sa ne reamintim cea ce am invatat, adica ce sunt procentele:

Stim ca, daca p% din x este egal cu y, scriem: \frac{p}{100}x=y.

In relatia de mai sus p% reprezinta raportul procentual, x se numeste intregul, iar y reprezinta parte corespunzatoare din intreg .

Determinarea a p% dintr-un numar x dat (ne lipseste y)

p% din x=\frac{p}{100}x

Exemplu:

O banca da dobanda anuala de 17%. Ce dobanda va primi dupa un an un client care are o depunere de 500 lei.

Solutie

Calculam \frac{17}{100}\cdot 500=\frac{17\cdot 500}{100}=\frac{8500}{100}=85 lei.

Deci dobanda pe care o va primi clientul va fi de 85 de lei.

Aflarea unui numar cand se stie p% din el (lipseste x).

p\%\;\; din x=y\Rightarrow \frac{p}{100}x=y\Rightarrow y=x:\frac{p}{100}=x\cdot\frac{100}{p}.

Exemplu:

O gospodina a cheltuit la piata 60% din suma pe care o avea, adica 90 de lei . Ce suma avea o gospodina la ea?

Solutie:

Observati ca stim raportul procentual, dar nu stim cea ce este dupa „din”, adica intregul, Deci problema o sa o rezolvam cu ajutorul unei ecuatii.

-fie x suma de bani

Deci obtinem:

60\%\;\; din x=90\;\;\;lei\Rightarrow \frac{60}{100}^{(20}\cdot x=90\;\;\;lei\Rightarrow

\frac{3}{5}\cdot x=90\Rightarrow

x=90:\frac{3}{5}\Rightarrow

x=90\cdot\frac{5}{3}\Rightarrow

x=\frac{90\cdot 5}{3}\Rightarrow x=\frac{450}{3}\Rightarrow x=150\;\;\; lei

Deci gospodina a avut la piata 150 de lei.

Cum aflam raportul procentual? (lipseste p%)

\frac{p}{100}\cdot x=y

Exemplu:

O gospodina cheltuieste la piata 90 de lei din cei 150 de lei pe care ii avea. Cat la suta din suma a cheltuit la piata?

Astfel avem:

p\% 150=90\;\;\;lei\Rightarrow \frac{p}{100}\cdot 150=90\Rightarrow p=\frac{100\cdot 90}{150}\Rightarrow p=\frac{9000}{150}\Rightarrow p=60. Deci

p\%=60\%.

Cresteri si scaderi cu p%.

Exemplu

Un produs ce costa 400 de lei se scumpeste cu 20%. Cat costa produsul?

Solutie

Calculam mai intai cu cat se scumpeste produsul, astfel avem:

\frac{20}{100}\cdot 400=\frac{20\cdot 400}{100}=\frac{8000}{100}^{(100}=\frac{80}{1}=80\;\;lei

Deci produsul costa:

400+80=480 lei.

Probleme

1) Se stie ca 21% dintr-o cantitate de lapte este smantana, iar 25% dintr-o cantitate de smantana este unt.Aflati din cate kilograme de lapte se pot obtine 52,5 kg de unt.

Solutie:

Fie x- cantitatea de lapte

y- cantitatea de smantana

z- cantitatea de unt

Astfel obtinem ecuatia:

21\%\;\;\;din\;\;\; x=y

Si

25\%\;\;\; din \;\;\;y=z

Dar stim ca z=52,5 kg.

Astfel obtinem:

25\%\;\;\; din \;\;\;y=z\Rightarrow \frac{25}{100}y=52,5\Rightarrow \frac{1}{4}y=52,5\Rightarrow y=4\cdot 52,5\Rightarrow y=210

Deci avem 210 kg de smantana

Acum ca sa aflam cantitatea de lapte calculam

21\%\;\;\;din\;\;\; x=y\Rightarrow\frac{21}{100}\cdot x=y\Rightarrow

\frac{21}{100}\cdot x=210\Rightarrow x=210:\frac{21}{100}\Rightarrow

x=210\cdot \frac{100}{21}\Rightarrow x=\frac{21000}{21}^{(21}\Rightarrow x=1000

Deci cantitatea de lapte este de 1000 de kg.

2) Dupa o reducere de 6% si o alta de 5% un produs  costa 178,6 lei. Aflati pretul initial.

Fie x-pretul initial al produsului, astfel obtinem ecuatia:

x-6\%\cdot x-5\%\left(x-6\%\cdot x\right)=178,6\;\;\;lei

Acum rezolvam ecuatia:

x-\frac{6}{100}^{(2}\cdot x-\frac{5}{100}^{(5}\left(x-\frac{6}{100^{(2}}x\right)=178,6\Rightarrow    x-\frac{3}{50}\cdot x-\frac{1}{20}\left(x-\frac{3}{50}x\right)=178,6\Rightarrow    \frac{50x-3x}{50}-\frac{1}{20}\left(\frac{50x-3x}{50}\right)=178,\Rightarrow    \frac{47x}{50}-\frac{1}{20}\cdot\frac{47x}{50}=178,6\Rightarrow    \frac{47x}{50}-\frac{1\cdot 47x}{20\cdot 50}=178,6\Rightarrow    ^{20)}\frac{47x}{50}-^{1)}\frac{47x}{1000}=178,6\Rightarrow \frac{20\cdot 47x-1\cdot 47x}{1000}=178,6\Rightarrow \frac{940x-47x}{1000}=178,6\Rightarrow \frac{893x}{1000}=178,6\Rightarrow x=178,6:\frac{893}{1000}\Rightarrow x=178,6\cdot \frac{1000}{893}\Rightarrow x=\frac{178,6\cdot 1000}{893}\Rightarrow x=\frac{178600}{893}\Rightarrow x=200

Deci pretul initial al produsului este de 200 lei.

Probleme rezolvate cu fractii ordinare pentru clasa a V-a

Prezentam probleme rezolvate cu fractii ordinare cu ajutorul carora o sa fixam cat mai bine notiunile care tin de fractii ordinare.

Astfel rezolvam urmatoarele probleme:

1) Lia descarca de pe internet \frac{4}{13}  dintr-un fisier. Seara continua operatiunea cu inca \frac{7}{13} din marimea fisierului. Cat a mai ramas de descarcat?

Solutie:

Stim ca prima data rezolva \frac{4}{13}\cdot x, am notat cu 1-fisierul, observati ca scriem 1=\frac{13}{13}

Deci avem

\frac{13}{13}-\frac{4}{13}

seara mai descarca \frac{7}{13}, deci obtinem

\frac{13}{13}-\frac{4}{13}-\frac{7}{13},

\frac{13-4-7}{13}=\frac{9-7}{13}=\frac{2}{13}.

Deci mai are de descarcat \frac{2}{13}.

2 ) La banca dobanda anuala este de 7 %. Ce suma are  la finalul unui an o persoana care depune intial suma de 3 500 de lei?

Solutie

Cum stim ca dobanda este de 7 procente  trebuie sa calculam

\frac{7}{100}\cdot 3500=\frac{7\cdot 35 00}{100}=\frac{}{100}=\frac{24500}{100}^{(100}=\frac{24500:100}{100:100}=\frac{245}{1}=245\;\; lei

Deci la final suma pe care o are acea persoana la banca este de 3 500+245=3 745 lei.

Observati ca cu ajutorul matematici si cu notiunile pe care le-am invatat acum putem sa calculam anumite aspecte din viata cotidiana.

Deci putem sa calculam dobanda la banii nostri de la banca.

3) Cristinel isi planifica rezolvarea temei la matematica pentru 3 zile.  In prima zi rezolva \frac{3}{7} din tema, a doua zi \frac{2}{7} din tema, iar in a treia zi restul. Tema consta in 28 de probleme.

Calculati cat a rezolvat Cristinel in fiecare zi.

Solutie:

Rescriem problema:

In prima zi rezolva :

\frac{3}{7}\cdot 28=\frac{3\cdot 28}{7}=\frac{3\cdot 4}{1}=12

In a doua zi elevul rezolva :

\frac{2}{7}\cdot 28=\frac{2\cdot 28}{7}=\frac{2\cdot 4}{1}=8

Ca sa aflam cat a rezolvat in ultima zi calculam 28-20=8

Deci in ultima zi a rezolvat 8 probleme.

3) George pleaca cu bicicleta in excursie de doua zile. In prima zi parcurge \frac{2}{5} din traseu, iar a doua zi restul de 15 km. Ce lungime a avut traseul?

Solutie:

In prima zi George parcurge :

Notam cu x- traseul pe care il parcurge George

\frac{2}{5}\cdot x

Astfel :

x=\frac{2}{5}\cdot x+15|\cdot 5 \Rightarrow5x=2x+15\cdot 5\Rightarrow 5x=2x+75\Rightarrow 5x-2x=75\Rightarrow 3x=75|:3\Rightarrow x=75:3\Rightarrow x=25.

Deci traseul parcurs de George este de 25 km.