Probleme rezolvate cu unghiuri Cum transformam fractiile zecimale in fractii ordinare

In acest articol prezentam un exercitiu de algebra de calasa a VI- a prin care ne reamintim cum transformam o fractie zecimala in fractie ordinara, cat si notiunea de fractie ireductibila, dar si o problema rezolvata de geometrie cu unghiuri.

1. Scrie ca fractie ordinara ireductibila :
A) 1,16 egal ……..
B) 1,15 egal ………
C) 1,00016 egal………
Soluite:
Mai intai transformam fractiile zecimale in fractii ordinare si apoi simplificam.
Observam ca avem doar fractii zecimale finitie

Astfel obtinem:
A) 1,16=\frac{116}{100}^{(4}=\frac{116:4}{100:4}=\frac{29}{25}
Cum 29 si 25 sunt prime intre ele obtinem ca fractia de mai sus este ireductibila.

B) \frac{115}{100}^{(5}=\frac{115:5}{100:5}=\frac{23}{20}
Si la fel ca mai sus numerele 23 si 20 fiind prime intre ele rezulta ca fractia este ireductibila, adica (23, 20)=1

C) 1,00016=\frac{100016}{100000}^{(4}=\frac{25004}{25000}^{(4}=\frac{25004:4}{25000:4}=\frac{6251}{6250}

Observam ca mai intai am transformat fractia zecimala in fractie ordinara pentru cei care nu va mai remaintiti click aici.

Mai intai am simplificat fractia ordinara prin 4, apoi iar printr-un 4 si astfel am obtinut la numarator numarul 6251 si la numitor numarul 6250, astfel daca descompunem fiecare numar in parte obtinem ca:
cum descompunem numerele in produs de factori primi
Astfel obtinem 6251=7\cdot 19\cdot 47\cdot 1
Dar si 6250=2\cdot 5^{5}\cdot 1
Iar cel mai mare divizor comun al numerelor este:
(6251,6250)=1, adica numerele sunt prime intre ele, la cel mai mare divizor comun al numerelor luam factorii comuni o singura data la puterea cea mai mica.

Deci important sa stim sa transformam fractiile  zecimale in fractii ordinare, dar si sa cunoastem notiunea de simplificare, adica a simplifica inseamna a imparti atat numitorul cat si numaratorul la acelasi numar, iar o fractie se numeste ireductibila daca cel mai mare divizor comun  a numitorului si numaratorului este 1, adica numerele sunt prime intre ele.

 Problema :Se considera doua drepte a si b concurente in O.Calculati masura fiecarui unghi cu varful in O stiind ca:

a)suma masurilor a doua dintre unghiuri este 108°;
b)suma masurilor a trei dintre unghiuri este 208°
Solutie:
cum arata unghiurile opue la varf
Stim ca suma masurilor a doua dintre unghiuri este de 108^{0}
Daca unghiurile ar fi opuse la varf am avea m\left(\widehat{O_{1}}\right)+m\left(\widehat{O_{3}}\right)=108^{0}

Dar stim ca unghiurile opuse la varf sunt congruente, adica m\left(\widehat{O_{1}}\right)=m\left(\widehat{O_{3}}\right)
Si obtinem: 2m\left(\widehat{O_{1}}\right)=108^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{O_{1}}\right)=108^{0}:2=54^{0}=m\left(\widehat{O_{3}}\right) iar m\left(\widehat{O_{2}}\right)=180^{0}-54^{0}=126^{0}=m\left(\widehat{O_{4}}\right)

Am folosit faptul ca m\left(\widehat{O_{2}}\right)+m\left(\widehat{O_{1}}\right)=180^{0}, iar unghiurile \widehat{O_{2}}, \widehat{O_{4}} sunt unghiuri opuse la varf.
cum aflam masura unghiurilor opuse la varf
b) suma masurilor a trei dintre unghiuri este 208°
Astfel avem ca: m\left(\widehat{O_{1}}\right)+m\left(\widehat{O_{2}}\right)+m\left(\widehat{O_{3}}\right)=208^{0}

Cum unghiurile O_{1} si o_{2} sunt situate pe aceiasi dreapta b  stim ca
m\left(\widehat{O_{1}}\right)+m\left(\widehat{O_{2}}\right)=180^{0}
Iar din relatia de mai sus obtinem 180^{0}+m\left(\widehat{O_{3}}\right)=208^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{O_{3}}\right)=208^{0}-180^{0}=28^{0}
Dar observam ca unghiurile O_{1} si O_{3} sunt opuse la varf adica congruente
Astfel obtinem 28^{0}+m\left(\widehat{O_{2}}\right)+28^{0}=208^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{O_{2}}\right)=208^{0}-56^{0}=152^{0}

Si cum unghiurile O_{4} si O_{2} sunt opuse la varf obtinem si ca
m\left(\widehat{O_{4}}\right)=152^{0}

Asadar e foarte important sa cunoastem notiunile referitoare la unghiuri, adica unghiuri opuse la varf, cum arata un unghi alungit si ce masura are acesta.

Rezolvare teste pentru Evaluarea Nationala, exercitii rezolvate pentru Evaluarea Nationala

Incepem prin a rezolva teste pentru Evaluarea Nationala, in cadrul aceste sectiuni o sa prezentam execitii rezolvate pentru Evaluarea Nationala, astfel o sa incepem cu subiectul I in care o sa explicam pentru fiecare exercitiu in parte ceea e am facut.

Subiectul I
1. Rezultatul calculului 68-6\cdot 8=68-48=20
2. Daca a=\sqrt{2}-1 si b=3+2\sqrt{2}, atunci multimea \left[a,b\right]\cap N are … elemente.
Stim ca a=\sqrt{2}-1\approx 1,41-1=0,41
b=3+2\sqrt{2}=3+2\cdot 1,41\approx 3+2,82=5,82
Adica \left[a,b\right]\cap N=\left[\sqrt{2}-1, 3+2\sqrt{2}\right]\cap N=\left[0,41; 5,82\right]\cap N=\left\{1, 2, 3, 4, 5\right\}, deci multimea are 5 elemente.
3. Cel mai mare numar natural prin care se simplifica fractia  \frac{112}{84} este….
\frac{112}{84}\frac{112:4}{84:4}=\frac{28:7}{21:7}=\frac{4}{3}. Deci cel mai mare numar prin care simplificam fractia este 28.
4. Fie D si E mijloacele laturilor (AC) si (AB) ale triunghiului echilateral ABC, de latura A=8 cm. Aria trapezului BCDE este ….
Trapezul isoscel
In triunghiul ABC, DE este linie mijloocie, deci DE=\frac{1}{2}\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 12=6 cm.Cum D este mijlocul lui AC rezulta ca DC=6 cm, asemanator si EB=6 cm.
Aria trapezului este:A_{trapez}=\frac{\left(B+b\right)\cdot h}{2}, baza mica si baza mare le cunoastem, trebuie sa mai aflam inaltimea, fie DT\bot BC , cum triunghiul ABC este echilateral, rezulta m\left(\prec ACB\right)=60^{0}, cum DT\bot BC \Rightarrow m\left(\prec DTC\right)=90^{0} , deci m\left(\prec CDT\right)=30^{0}.
trapez isoscel
Cum DE=6 cm, DE=TF, CT+TF+FB=BC\rightarrow 12=CT+6+FB\rightarrow CT+FB=6 cm Cum CT=FB rezulta ca CT=FB=3 cm .In triunghiul CDT aplicam teorema  30^{0}-60^{0}-90^{0}, deci DT=\frac{1}{2}\cdot DC\Rightarrow DT=\frac{1}{2}\cdot 6\Rightarrow DT=3 cm. Deci A_{trapez}=\frac{\left(12+6\right)\cdot 3}{2}=\frac{12\cdot 3}{2}=18 cm.
5. Prisma dreapta ABCA’B’C’ are baza triunghi echilateral cu AB=12 cm si inaltimea AA’=9 cm. Volumul prismei este…
Pentru a rezolva problema de mai sus trebuie sa stim formula pentru volumul prismei, astfel pentru orice prisma volumul este V=A_{b}\cdot h unde A_{b} este aria bazei, iar „h” dupa cum bine stiti este inaltimea prismei. In cazul nostu prisma este triunghiulara cu baza triunghi echilateral, deci  V=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot h unde  \frac{l^{2}\sqrt{3}}{4} este aria triunghiului echilateral. Deci volumul este
V=\frac{12^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot 9=\frac{144\sqrt{3}}{4}\cdot 9=36\sqrt{3}\cdot 9=324\sqrt{3}.
Volumul unei prisme cu baza triunghi echilateral

6. Lungimea raului Arges este de 275 km, Siretul este cu 195 km mai lung, iar Oltul are cu 55 km mai mult decat Siretul, Atunci Oltul are… km.
notam raul Arges cu litera A, Siretul cu litera S, iar raul Olt cu O.
 A=275 km
Si obtinem
S+195 km=275+195 km= 470 km
Iar .
 O=55 km+470 km= 525 km