Reprezentarea grafica a functiei de gradul al doilea

Pana acum am invatat sa reprezentam grafic functia de gradul inai, acum o sa invatam reprezentarea grafica a functiei de gradul al doilea.
Astfel consideram functia
f:R\rightarrow R,f\left(x\right)=ax^{2}+bx+c, a,b, c\in R, a\neq 0
Pentru reprezentarea geometrica a graficului functiei de gradul al doilea se parcurg urmatorii pasi:

1. Se calculeaza mai intai punctul de intersectie cu axele de coordonate:
a) G_{f}\cap Ox=\left\{A\left(x_{1}, 0\right),B\left(x_{2},0\right)\right\}
Se rezolva ecuatia de gradul al doilea f\left(x\right)=0
Daca \Delta>0 punctele de intersectie sunt A\left(x_{1}, 0\right) si B\left(x_{2},0\right) unde x_{1}, x_{2} sunt solutiile reale ale ecuatiei de mai sus.
Daca \Delta=0 punctul de intersecite este A\left(\frac{-b}{2\cdot a},0\right)
Daca \Delta<0 nu existe puncte de intersectie. In acest caz graficul functiei este deasupra axei Ox, daca a>0 si graficul functiei este dedesubtul axei Ox, daca a<0.
b) Se calculeaza G_{f}\cap Oy=\left\{C\left(0,c\right)\right\}

2.Punctul de extrem al graficul functie este V\left(\frac{-b}{2\cdot a}, \frac{-\Delta}{4\cdot a}\right)
Daca a>0, punctul V este punct de minim
Daca a<0, punctul V este punct de maxim.

3. Curba G_{f} este simetric fata de dreapta x=\frac{-b}{2\cdot a}

4. Multimea valorilor functiei f este:

Daca a>0 Im f=\left[-\frac{\Delta}{4\cdot a},+\infty\right)
Daca a 5. Aspectul geometric al curbei este:
Daca a>0, aspectul este convex
Daca a<0, aspectul este concav

Exemplu:
1) Sa se reprezinte grafic functia f:R\rightarrow R in cazul
a) f\left(x\right)=x^{2}-4x-12
Observam mai intai ca in cazul ecuatiei de mai sus a=1, b=-4, c=-12
1. Calculam, mai intai G_{f}\cap Ox=\left\{A\left(6,0\right),B\left(-2,0\right)\right\}
Rezolvam ecuatia f\left(x\right)=0\Rightarrow x^{2}-4x-12=0
Astfel avem:
\Delta=b^{2}-4\cdot a\cdot c=\left(-4\right)^{2}-4\cdot 1\cdot\left(-12\right)=16+48=64
x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{4\cdot a}=\frac{4+\sqrt{64}}{2\cdot 1}=\frac{4+8}{2}=\frac{12}{2}=6
Astfel avem A\left(6,0\right)
x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{4\cdot a}=\frac{4-\sqrt{64}}{2\cdot 1}=\frac{4-8}{2}=\frac{-4}{2}=-2
si avem B\left(-2,0\right)
Acum calculam
G_{f}\cap Oy=\left\{C\left(0,-12\right)\right\}
f\left(0\right)=0^{2}-4\cdot 0-12=-12
Punctul de extrem al graficului functiei este
V\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right)=V\left(\frac{-\left(-4\right)}{2\cdot 1},-\frac{64}{4\cdot 1}\right)=V\left(2,-16\right)
Curba este simetrica fata de drepata x=-\frac{b}{2\cdot a}=-\frac{-4}{2\cdot 1}=\frac{4}{2}=2
Acum realizam tabelul de valori:
tabelul de valori pentru functia de gradul al doilea
Acum trasam graficul functiei:

cum trasam graficul functiei de gradul al doilea
b) f\left(x\right)=-x^{2}+4x-4
Calculam
G_{f}\cap Ox=\left\{A\left(2,0\right)\right\}
Rezolvam ecuatia: \left(x\right)=0\Rightarrow -x^{2}+4x-4=0
Astfel avem:
\Delta =16-4\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-4\right)=16-16=0
Deci obtinem
x_{12}=\frac{-b}{2\cdot a}=\frac{-4}{2\cdot\left(-1\right)}=\frac{-4}{-2}=2
Astfel avem A\left(2,0\right)
Acum
G_{f}\cap Oy=\left\{B\left(0,-4\right)\right\}
Astfel calculam:
f\left(0\right)=-0^{2}+4\cdot 0-4=-4
Punctul de extrem al graficului:
V\left(-\frac{4}{2\cdot\left(-1\right)},-\frac{0}{4\cdot 1}\right)=V\left(\frac{-4}{-2},0\right)=V\left(2,0\right)

Trasam tabelul de valori:
graficul functiei de gradul  al doilea
Acum trasam graficul functiei f:
graficul unei functii

c) f\left(x\right)=x^{2}+x+2
Solutie
Calculam mai intai
G_{f}\cap Ox
Astfel
f\left(x\right)=0\Rightarrow x^{2}+x+2=0
Calculam
\Delta =1^{2}-4\cdot 1\cdot 2=1-8=-7

Deci \Delta=-7<0 ecuatia nu are solutii reale, astfel ca nu existe puncte de intersectie.
Observam ca a=1>0, in acest caz graficul functiei este deasupra axei Ox
Acum calculam
G_{f}\cap Oy=\left\{A\left(0,2\right)\right\}
Calculam:
f\left(0\right)=2
Calculam Punctul de extrem al graficului functiei:
V\left(-\frac{1}{2\cdot 1}, -\frac{-7}{4\cdot 1}\right)=V\left(-\frac{1}{2},\frac{7}{4}\right)
Curba este simetrica fata de dreapa x=-\frac{1}{2\cdot 1}=-\frac{1}{2}
Calculam si
f\left(-2\right)=\left(-2\right)^{2}-2+2=4+0=4
ecuatia de gradul al doilea