Problema rezolvata cu Teorema celor trei perpendiculare cand baza este dreptunghi

Prezentam o Problema rezolvata cu Teorema celor trei perpendiculare cand baza este dreptunghi

Pe planul dreptunghiului ABCD, AC intersecteaza BD in punctul O, AB = 32 cm si BC = 18 cm, se ridica perpendiculara OM, cu OM = 12 cm.
Aflati distantele de la punctul M la laturile dreptunghiului.

Ipoteza

ABCD dreptunghi

AC\cap BD=\left\{O\right\}

AB=32 cm BC=18 cm

OM\perp\left(ABCD\right)

Concluzie:

d\left(M, AB\right)=?    \\d\left(M, BC\right)=?    \\d\left(M, CD\right)=?    \\d\left(M, AD\right)=?

Demonstratie:

Cum aplicam Teorema celor trei perpendiculare

 

 

 

 

 

 

 

Observati ca mai intai aflam distanta de la puncul M la dreapta AB, iar apoi la dreapta CD, deoarece dupa cum o sa vedeti distanta de la punctul M la cele doua drepte are aceeasi lungime.

Stim din ipoteza ca :

MO\perp \left(ABC\right)

de asemenea

OQ\perp AB    \\OQ, AB\subset\left(ABC\right)

OQ este perpendicular pe AB deoarece triunghiul AOB e isoscel, iar intr-un triunghi isoscel mediana, mediatoatrea, inaltimea corespunzatoare bazei coincid, deci OQ perpendicular pe AB, iar cu Teorema celor trei perpendiculare gasim si ca :

MQ\perp AB, deci distant de la punctul M la dreapta AB este dreapta MQ.

Din ipoteza stim ca MO= 12 cm, dar ca sa aplicam Teorema lui Pitagora trebuie sa aflam OQ, astfel observam ca OQ=AD=BC=18 cm, dar mai observam si ca O este mijlocul segmentului RQ, deci QO=OR=\frac{OQ}{2}=\frac{18}{2}=9 cm.

Acum aplicam Teorema lui Pitagora in triunghiul Dreptunghic MOQ si gasim :

MQ^{2}=MO^{2}+OQ^{2}\Rightarrow =MQ^{2}=144+81\Rightarrow MQ=\sqrt{225}\Rightarrow MQ=15\;\; cm

Iar daca calculam acum distanta de la M la dreapta CD observam ca :

MO\perp\left(BCD\right)    \\OR\perp DC    \\OR, DC\subset\left(BCD\right)\Rightarrow MR\perp DC

Acum stim  MO din ipoteza OR l-am aflat mai sus trebuie acum sa aflam MR, astfel aplicam Teorema lui Pitagora in triunghiul dreptunghic MOR si obtinem:

MR^{2}=MO^{2}+OR^{2}\Rightarrow MR^{2}=12^{2}+9^{2}\Rightarrow MR^{2}=144+81\Rightarrow MR=\sqrt{225}\Rightarrow MR=15 cm

Deci d\left(m, AB\right)=d\left(M, CD\right)=15 cm

Acum trebuie sa aflam distanta de la M la AD si distanta de la M la BC care de asemenea au aceeasi lungime

 

Distanta de la un punct la o dreapta

 

 

 

 

 

Acum stim ca

MO\perp BD    \\OE\perp AD,    OE, AD\subset\left(ABD\right)\Rightarrow ME\perp AD

Astfel cu teorema celor Trei perpendiculare gasim ca d\left(M, AD\right)=ME

Din ipoteza stim MO, acum aflam pe OE

Observati ca am format segmentul EF, unde O este mijlocul sau , mai observam ca EF=AB=CD=32 cm, cum stim ca O este mijlocul segmentului putem afla OE=OF=\frac{EF}{2}=\frac{32}{2}=16 cm

Acum dupa ce am aflat si EO putem aplica Teorema lui Pitagora in triunghiul dreptunghic MOE si astfel obtinem :

ME^{2}=MO^{2}+OE^{2}\Rightarrow ME^{2}=12^{2}+16^{2}\Rightarrow ME=\sqrt{144+256}\Rightarrow ME=\sqrt{400}\Rightarrow ME=20 cm.

Acum ca sa aflam d\left(M, BC\right)=MF la fel aplicam Teorema celor trei perpendiculare, astfel

MO\perp BCD    \\OF\perp BC    \\OF, BC\subset\left(BCD\right)\Rightarrow MF\perp BC

Deci am aflat distanta de la punctul M la dreapta BC este MF, acum stiind cele doua catete aplicam Teorema lui Pitagora

MF^{2}=MO^{2}+OF^{2}\Rightarrow MF^{2}=12^{2}+16^{2}\Rightarrow MF^{2}=144+256\Rightarrow MF=\sqrt{400}=20

Deci distanta de la d\left(M, AD\right)=d\left(M, BC\right)=20 cm.

 

Teorema celor trei perpendiculare Reciprocele celor trei perpendiculare

Stiti ca am invatat sa calculam distanta de la un punct la o dreapta, distanta de la un punct la un plan, dar si distanta dintre dou plane, ca sa gasim mai usor distanta de la un punct la un plan si toate cele care le-am enuntat mai sus o sa aplicam Teorema celor trei perpendiculare, dar si Reciprocele celor trei perpendiculare.

Definim prima data Teorema celor trei perpendiculare

Teorema:

Daca o dreapta d este perpendiculara pe un plan \alpha si prin piciorul ei trece o dreapta a, continuta in plan, care este perpendiculara pe o alta dreapta b continuta in plan, atunci o dreapta c care uneste orice punct M al dreptei d cu intersectia P a celor doua drepte a si b, este perpendiculara pe cea de-a treia latura.

Cum aplicam Teorema celor trei perpendiculare

d\perp\alpha    \\a\subset\alpha, O\in a

a\perp b, b\subset\alpha, a\cap b=\left\{P\right\}, M\in D

\Rightarrow MP\perp b

Acum cele doua reciproce sunt foarte importante deoarece  putem afla distanta de la un punct la altul sau distanta de la un punct la un plan.

 Reciprocele teoremei  celor trei perpendiculare

R.T.3\perp 1

Cum aplicam prima reciproca a celor trei perpendiculare

 

d\perp \alpha, d\cap\alpha=\left\{O\right\}    a\subset\alpha, O\in a, b\subset\alpha , a\cap b=\left\{P\right\},    M\in d, MP\perp b\Rightarrow a\perp b

R.T.3\perp 2

Cum aplicam Reciproca a doua a celor trei perpendiculare

d\perp a, d\cap a=\left\{O\right\}, a\subset\alpha

a\perp b, a, b\subset\alpha, a\cap b=\left\{P\right\}, M\in d,

 

MP\perp b\Rightarrow d\perp \alpha

 

Rezolvam probleme in care aplicam teorema celor trei perpendiculare

1) Pe planul triunghiului isoscel ABC  cu AB=AC=20 cm  si BC=32 cm se ridica perpendiculara AP, cu AP=12\sqrt{3} cm. Aflati:

a) distanta de la punctul P la dreapta BC

b) distanta de la  punctul A la planul  (PBC).

cum aplicam teorema celor trei perpendiculare

 

Stim ca

AP\perp\left(ABC\right)

Construim AD\perp BC, deci prin piciorul dreptei BC trece o dreapta perpendiculara pe o alta dreapta, atunci rezulta ca AD\perp BC

AP\perp\left(ABC\right)

AD\perp BC, BC\subset \left(ABC\right), AD\cap BC=\left\{P\right\}\Rightarrow AD\perp BC

Am aplicat Teorema celor trei perpendiculare si astfel am gasit ca d\left(    A, BC\right)=AD.

Acum aflam valoarea numerica a distantei

Cum Ad este inaltime, stim ca intr-un triunghi isoscel mediana, mediatoarea, bisectoarea si inaltimea coincid, deci observam  ca AD  este si mediana, astfel BD=\frac{BC}{2}\Rightarrow BD=\frac{32}{2}\Rightarrow BD=16 cm, acum aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul ABD pentru a afla AD

AD^{2}=AB^{2}-BD^{2}\Rightarrow AD^{2}=400-256\Rightarrow AD^{2}=144\Rightarrow AD=\sqrt{144}\Rightarrow AD=12 cm.

Acum aplicam Teorema lui Pitagora in triunghiul PAD

PD^{2}=AP^{2}+AD^{2}\Rightarrow PD^{2}=\left(12\sqrt{3}\right)^{2}+12^{2}\Rightarrow PD^{2}=144\cdot 3+144\Rightarrow PD^{2}=144\left(3+1\right)\Rightarrow PD^{2}=144\cdot 4\Rightarrow PD=\sqrt{144\cdot 4}\Rightarrow PD=12\cdot 2\Rightarrow PD=24 cm.

b)d\left(A, \left(PBC\right)\right)=

CUM CALCULAM DISTANTA DE LA UN PUNCT LA UN PLAN

 

Daca AE\perp PD, PD\subset \left(PDC\right), rezulta cu cea de doua reciproca a teoremei celor trei perpendiculare ca AE\perp \left(PBC\right), deci trebuie sa aflam pe AE, cum stim ca triunghiul PAD este dreptunghic in A, aplicam teorema inaltimii

AD=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{ipotenuza}\Rightarrow AD=\frac{12\sqrt{3}\cdot 12}{24}\Rightarrow AD=\frac{144\sqrt{3}}{24}=6\sqrt{3}.

Deci important sa intelegem atat teorema celor trei perpendiculare, dar si reciprocele teoremei celor trei perpendiculare.